DIC9305 Logique, informatique et sciences cognitives Logique modale II Roger Villemaire Département d informatique UQAM le 6 mars 2014
Plan 1 Choix d une logique modale 2 Relations de Allen 3 Logiques multi-modales 4 Extensions de la logique modale
Exemple aléthique Quelle logique modale pour ce contexte? i : il pleut. o : mon parapluie est ouvert. T : p p? (i o) (i o) 4 : p p? (i o) (i o), car sinon (i o). B : p p? i i. S5 semble donc un bon candidat.
Exemple temporel Quelle logique modale pour ce contexte? i : il pleut. T : p p? i i? 4 : p p? i i B : p p? i i? K4 ou S4 semblent de bons candidats.
Exemple épistémique Quelle logique modale pour ce contexte? po : la porte est ouverte. fo : la fenêtre est ouverte. T : Kp p? Kpo po 4 : Kp KKp? Analogie avec K (po fo), (Kpo Kfo) (incertitude sur des faits) K (Kpo Kfo), (KKpo KKfo) (incertitude sur mes connaissances) B : p K K p? po K po, mais po K ( K po)? KT ou S4 semblent de bons candidats.
Modélisation Lors de la modélisation à l aide de la logique modale, il faut toujours s interroger sur : le sens que prendront les modalités, la signification et l adéquation des règles supplémentaires. Il y a beaucoup de logiques modales (voir l outil par exemple). Il faut s assurer d en choisir une qui est adéquate. Mais du côté positif, on peut toujours compter sur des méthodes algorithmiques générales comme les tableaux!
Algèbre des intervalles de Allen James F. Allen (1983), intervalles de temps : before(x, Y ) : meets(x, Y ) : overlaps(x, Y ) : starts(x, Y ) : during(x, Y ) : finishes(x, Y ) : equals(x, Y ) : Allen considère aussi les relations inverses (donc 13 relations!)
Exemple Tourner la clé jusqu à ce que le moteur démarre. C = La clé est tournée. D = Le moteur est démarré. Réseau de contraintes : C m,o D On ne peut rouler que pendant que le moteur tourne! R = on roule. d,s,f,= Contrainte : R D Allen utilise la consistance de chemin pour la déduction. Par exemple, on déduit que : C b,m,o R
Algorithmes Allen montre que la consistance de chemin (qui est un algorithme polynomial) n est pas suffisante en général. Mais souvent en pratique! Vilain, Kautz et van Beek (1989) montrent que c est NP-complet. Nebel et Bürckert (1995) ont déterminé une classe maximale de relations (incluant celles de base) pour lesquelles la consistance de chemin est complète.
Logique de Halpern et Shoham Halpern et Shoham introduisent des connecteurs modaux pour chaque relation de Allen : X = [R]ϕ si pour tout Y tel que R(X, Y ) on a Y = ϕ, où R = before, meets, overlaps, starts, during, finishes, equals Cette logique est interprétée sur les structures temporelles = les intervalles d un ensemble ordonnée. ouverture du robinet = overlaps eau coule Si on a une structure temporelle finie, on peut vérifier en temps polynomial si un intervalle satisfait une propriété (model-checking). Mais si on se demande si une formule est valide sur toutes les structures temporelles (finies ou infinies), c est indécidable (pas d algorithme).
Logiques multimodales Plusieurs modalités : 1, 2, 3,... avec leurs duals 1, 2, 3,... i ϕ i ϕ. Une structure de Kripke doit maintenant contenir une relation d accessibilité R i pour chaque modalité i. i ϕ, si tous les R i -accessibles satisfont ϕ. i ϕ, si un R i -accessible satisfait ϕ.
Épistémique K i ϕ, l agent i sait ϕ. K i (K j p), l agent i sait que l agent j sait p. K 1 (K 2 p) K 1 p? T : K 2 p p. K : K 1 (K 2 p) K 1 p.
Dynamique Les modalités dynamiques peuvent exprimer la réalisation d actions différentes. c :faire un choix. (machine à thé et café). [c] après chaque façon de faire un choix. c après au moins une façon de faire un choix. [c](cafe the), c cafe, c the.
Aléthique, épistémique, temporelle, dynamique... Les modalités peuvent avoir des sens différents. K i p. c K i p. K i [c](cafe the). ATTENTION, les combinaisons de logiques modales ne sont pas toute décidables.
Modalités globales K : tous savent. [ ] : après une action quelconque. K 1,4,8 : les agents 1,4 et 8 savent. [a, b, c] : après une action de {a, b, c}.
Logiques temporelles PTL : Propositional Temporal Logic/LTL : Linear Temporal Logic /X : next, à l instant suivant. /F : eventually/finally, à un certain moment (dans le futur). U : Until,... jusqu à ce que... soit vrai. Temps linéaire, discret.
Logique dynamique PDL : Propositional dynamical logic (Fischer and Ladner [1979]) Formules :,,, [p], p où p est un programme. Programmes : a, programme atomique (action). (p; q), exécution séquentielle. p q, exécution non-déterministe. p, itération (Kleene star). ϕ?, test.
Nommer les mondes Logique hybride.,,,,, i : nous sommes dans le monde i, i, pour tous les mondes i, ϕ@i, ϕ est vraie dans le monde i, i, here, soit i le monde actuel. i i, je peux revenir dans le monde actuel. i i, je reste toujours dans le monde actuel.