6GEI540 Interfaces et instrumentation Laboratoire #2 Représentations MATLAB et Échantillonnage Hiver 2007 1. Objectifs Approfondir les connaissances de l échantillonnage Voir la correspondance entre le domaine temporel et fréquentiel en ce qui a trait a l échantillonnage Voir l aliasing et le relier aux phénomènes physiques 2. Méthodologie Dans ce laboratoire, il sera question d utiliser MATLAB pour enregistrer des sons et de les analyser. Vous examinerez les signaux dans le domaine du temps et dans le domaine de la fréquence. Vous aurez à échantillonner des sons a différentes fréquences et vous verrez l effet que ca a sur le contenu fréquentiel. En baissant la fréquence d échantillonnage, vous arriverez a un point ou vous aurez du aliasing. Vous pourrez voir son effet sur le contenu fréquentiel et entendre le résultat lorsque ca se produit. La représentation des signaux dans MATLAB n est pas toujours facile à comprendre. On va donc passer un peu de temps à essayer d interpréter et de faire en sorte que les axes soient bien faits a chaque fois qu on travaille. 3. Travail demandé Traçage de courbe et le domaine fréquentiel Dans la première partie, on ne va s occuper que de dessiner les courbes dans MATLAB. On va prendre un sinus et on va voir comment MATLAB le représente dans le domaine temporel et fréquentiel. 1
Commençons par IMAGINER un sinus de 500Hz. Ca voudrait dire qu en 1s, le sinus va se répéter 500 fois. Si on décidait d échantillonner ce signal à 10KHz, ca voudrait dire qu on aurait 10000 échantillons par secondes et donc, 20 échantillons de chaque sinus. Imaginons que ce sinus dure 2 secondes : ca voudrait dire qu on aura un total de 20000 échantillons de ce sinus. Entrons tout ca dans MATLAB : >> t=0 :1/10000 :2-1/10000; >> sinus=sin(2*pi*500*t); Dans la première ligne, j ai défini l axe du temps : je veux que ca aille de 0 a 2s (noninclusivement) et je veux que ca se fasse par incrément de 1/10000 (t sera 0, 0.0001, 0.0002,... jusqu a 2s). Dans la deuxième ligne, on a mis les valeurs du sinus dans un vecteur qu on appelle sinus. Traçons ce sinus à l écran pour s assurer que c est bon : >> plot(t, sinus) Regardez votre dessin et assurez-vous que l échelle en X va de 0 à 2 et que la période du sinus soit autour de 0.002s. On va maintenant examiner ce signal dans le domaine fréquentiel. Pour ce faire, on va prendre la transformée de Fourier du signal. >> fft(sinus) Le résultat de la transformée de Fourier nous donne parfois des composantes imaginaires. Ça ne nous dérange pas que ce soit imaginaire ou réel. On veut simplement connaitre sa grandeur et pour ce faire, on utilise la commande abs. >> abs(fft(sinus)) Traçons ca à l écran : >> plot(abs(fft(sinus))) Qu est-ce qu on voit? Imaginez que votre signal (avant échantillonnage) a une description en fréquence qui ressemble à ceci : 2
Ca voudrait dire que, quand il est échantillonné, son spectre sera répété à chaque f s. -f s 0 2f s MATLAB trouve que c est un gaspillage de temps et d espace et donc, ne se sert que d UNE SEULE répétition. f s -f s 0 Alors, ce qu on observe dans MATLAB, ce sont les fréquences de 0 à f s. f s En regardant l axe des X de la transformée de Fourier, il est difficile de comprendre ce que ça veut dire. Il serait donc pratique d arranger les axes pour que ça représente des valeurs qu on comprenne. 3
Dans un graphique du domaine fréquentiel de MATLAB, comme on l a vu, on ne voit que les fréquences qui vont de 0 à f s (non-inclusif). Par défaut, le nombre d éléments produit dans le transformée de Fourier sera la même que le nombre d échantillons. Chaque point sur le graphique de la transformée de Fourier sera séparé par f s /Échantillons. >> f=0 :10000/length(sinus) :10000-1/length(sinus) >> plot(f, abs(fft(sinus))) Vous devriez voir un pic qui se trouve à 500Hz ce qui veut dire qu il n y a qu un sinus/cosinus qui oscille avec une fréquence de 500Hz. Assurez-vous de bien avoir compris ces techniques de traçage, parce qu on va s en servir dans la prochaine partie. 1. Imprimez le graphique dans le temps et en fréquence avec les bonnes échelles. Enregistrement de la voix Avant de commencer cette partie, assurez-vous que les haut-parleurs de votre ordinateur fonctionnent et qu ils ne sont pas muets. Branchez le microphone dans l ordinateur. Pour une raison bizarre, ca ne semble pas fonctionner quand je le branche à l avant. En le branchant à l arrière, tout est correct. On va commencer par enregistrer un son du microphone. Pour ce faire, on commencer par définir un objet de type audiorecorder pour qu on puisse enregistrer le son. Cet objet, on va l appeler micro : >> micro = audiorecorder(20000, 16, 1) Les paramètres d audiorecorder sont, en ordre, la fréquence d échantillonnage, le nombre de bit et le nombre de canaux. Avec l objet défini, on peut enregistrer notre voix. Après avoir écrit la commande, dites «ABC» dans le microphone. La commande vous donne 2 secondes pour parler. On aurait pu augmenter la durée, mais pour ce laboratoire, on va se limiter à cette valeur. >> record(micro, 2) Pour entendre le son enregistre, vous pouvez utiliser la commande play : >> play(micro) 4
Assurez-vous que vous puissiez entendre votre voix. Au besoin, répétez la commande record et parlez plus fort. Ces commandes sont les commandes utilisées pour l acquisition de données venant de l extérieur. Bien qu on puisse enregistrer notre voix et la faire jouer sur les haut-parleurs, ces commandes ne nous permettent pas d en faire l analyse. Pour ce faire, il faudrait convertir l objet de type audiorecorder en une série d échantillons qui correspondent à notre voix. Quand notre voix est sous la forme d une série d échantillons, on sera capable de faire des choses comme tracer sur l écran ou d en faire la transformée de Fourier. On va vouloir convertir l objet audiorecorder (on l a appelé micro) en vecteur de valeurs en utilisant la commande getaudiodata : >> son=getaudiodata(micro) Dans la dernière commande, on a pris l objet micro, on l a transforme en vecteur et on l a mis dans la variable son. Quand notre donnée était de type audiorecorder, on pouvait le jouer avec la commande play. Sous cette nouvelle forme, on va se servir de la commande sound : >> sound(son, 20000) Le premier paramètre de sound est le vecteur qu on veut faire jouer. Le 2 e paramètre c est la fréquence à laquelle on a échantillonné le signal. C est donc la vitesse à laquelle il va faire sortir chaque échantillon. Je pourrais écrire la commande suivante qui dirait à MATLAB de faire sortir les échantillons plus rapidement (avoir un son différent) : >> sound(son, 25000) D autre part, ça pourrait vous intéresser de voir de quoi votre signal a l air. >> plot(son) L axe des X représente le numéro de l échantillon. Une façon de comprendre ce que ça veut dire c est en se rappelant qu on a échantillonné le signal a 20000 échantillons par seconde. Donc, le TEMPS entre chaque échantillon est de 1/20000s. Utilisons les techniques développées à la section précédente pour créer l axe des X : >> t=0 :1/20000 :(length(son)-1)/20000 >> plot(t, son) La première commande dit 3 choses : 5
- Notre axe commence à 0 - La séparation entre chaque échantillon est de 1/20000 - Notre axe se termine à (length(son)-1)/20000 On pourrait aussi tracer sa transformée de Fourier : >> plot(abs(fft(son))) L axe des X dans ce cas-ci va de 0 à f s. Si on remarque bien, le nombre de points dans la transformée de Fourier est le même que le nombre d échantillons (par défaut). Deux points consécutifs de la transformée de Fourier sont séparés par une fréquence de fs/length(son). Alors, on pourrait définir l axe des X comme allant de 0 jusqu à f s (non-inclusivement) : >> f=0 : 20000/length(son) :20000-1/length(son) >> plot(f, abs(fft(son))) Rappel : l axe va seulement jusqu à f s parce que la description dans le domaine fréquentiel se répète à chaque f s (échantillonnage fait un «cut and paste» avec la description du signal à tous les multiples entiers de f s ). On devrait voir que le gros de l énergie dans le signal est à basse fréquence. Le contenu fréquentiel devrait être nul (ou presque aux alentours de fs/2 parce que sinon, il y aura aliasing»). On voit qu avec un échantillonnage de 20KHz, on est correct parce que l énergie se trouve beaucoup plus bas que f s /2 (10KHz). Faites l analyse pour f s de : 10000Hz 1000Hz 300Hz 2. Imprimez le contenu en fréquences et le signal dans le temps pour f s =10000Hz 3. Imprimez le contenu en fréquences et le signal dans le temps pour f s =1000Hz 4. Imprimez le contenu en fréquences et le signal dans le temps pour f s =300Hz 5. Qu est-ce qui se passe dans le domaine fréquentiel quand on réduit la fréquence d échantillonnage? 6. Qu avez-vous observé dans le son qui sort des hauts parleurs? 4. Rapport Répondez aux questions qui ont été posées tout au long du document de laboratoire. Ajoutez quelques phrases, au besoin, pour justifier vos réponses. Ajoutez une section intitulée «Conclusions» a la fin de votre rapport. Dans cette section, vous devez 6
expliquer le lien entre les différents aspects que nous avons explore dans le laboratoire. Expliquez la raison d être des expériences qui vous ont été proposes («On nous a demande d ajouter X au circuit pour pouvoir augmenter Y puisque ca affecte Z de telle manière»). Dans la même section, je vous demanderais de me faire part de vos commentaires. N hésitez pas a me faire des reproches : ca ne comptera pas dans la note. 5. Barème 5 Points par question /30 10 Points pour la section «Conclusions» /5 7