Chapitre -N4- -Nombres décimaux- -Opérations- Dernière mise à jour le 1 er juin 2015 Sommaire 1.0.1 Le point sur le programme........................... 1 1.0.2 Ordre de grandeur d un résultat........................ 2 1.0.3 Addition/Soustraction.............................. 2 1.0.4 Premières équations............................... 4 1.0.5 Multiplicationet division par 10; 100; 1 000................... 4 1.0.6 Conversions de longueurs et de masses..................... 5 1.0.7 Multiplication................................... 6 1.0.8 Division Décimale................................ 7 1.0.1 Le point sur le programme Connaissances Capacités Commentaires 2.2 Opérations Addition, soustraction, multiplication et division. Connaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000. *Multiplier un nombre par 0,1; 0,01; 0,001. Multiples et diviseurs. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. Sens des opérations. Techniques élémentaires de calcul. Ordre de grandeur. Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. établir un ordre de grandeur d une somme, *d une différence, d un produit. 1 La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. La notion de multiple, introduite à l école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l aide d une suite de calculs, *ou à l aide de calculs avec parenthèses. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l objet d activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. L objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat.
1.0.2 Ordre de grandeur d un résultat Définition 1 : Un ORDREDEGRANDEUR d un nombre est unautre nombre proche du premier mais qui permet d effectuer les opérations plus simplement. Exemple : Un ordre de grandeur de 872,64 peut être : 872 à l unité près. 870 à la dizaine près. 900 à la centaine près. 872,6 au dixième près. Propriété 1 : (Méthode admise) Avant d effectuer un calcul ( mental, posé, ou à la machine ), il faut toujours connaître un ORDREDE GRANDEURdu résultat à obtenir en utilisant des ordres de grandeur des nombres constituant le calcul. Exemples : Je dois calculer 2731+6207 2731 est de l ordre de 3000 6207 est de l ordre de 6000 Donc le résultat de 2731+6207 est de l ordre de 3000+6000 c est à dire 9000. En effet, 2731+6207 machine = 8938, qui est bien de l ordre de nos prévisions. 127 8,5 est à calculer 127 est de l ordre de 125 8,5 est de l ordre de 8 donc le résultat de 127 8,5 est de l ordre de 125 8 c est à dire 1000. En effet, 1 2 7 8,5 6 3 5 1 0 1 6 1 0 7 9,5 qui est bien de l ordre prévu. J avais 10 en poche avant d aller à la boulangerie. Combien me reste t il? 10 (0,85+1,10+3,95) de l ordre de 10 (1+1+4) = 10 6 = 4 En effet, 10 (0,85+1,10+3,95) = 10 (1,95+3,95) = 10 5,90 = 4,10. 1.0.3 Addition/Soustraction Vocabulaire Définition 2 : Une SOMME c est le résultat d une suite d addition. Une DIFFÉRENCE c est le résultat d une soustraction. Les TERMES sont les nombres qui permettent de calculer une somme ou une différence. 2
35,5+10 = 45,5 19,8 7,6 = 12,3 3 5,5 + 1 0 4 5,5 TERMES SOMME 1 9,8 7,6 1 2,2 TERMES DIFFÉRENCE Calcul posé Rappels Pour la soustraction ou pour l addition les unités de chaque nombre doivent être alignées. Cela revient à aligner les virgules! Application 1 : Pose et effectue la somme de 1 557 et de 453,12. donc 1557+453,12 = 2010,12 + 1 1 1 1 5 5 7 4 5 3,1 2 2 0 1 0,1 2 Application 2 : Pose et effectue la différence de 147,7 et de 32,97. donc 147,7 32,97 = 114,73 Commutativité de l addition 1 4 7,7 0 3 2,9 7 1 1 4,7 3 Propriété 2 : (admise) Si on change la place des termes dans une somme alors cela ne change pas leur somme Exemple : Remarque 36+5,5+3 = 44,5 5,5+36+3 = 44,5 aussi! Ce n est pas le cas pour la soustraction! 38 26 = 12 mais 26 38 ne peut se calculer pour le moment Application (intérêt) : calculs astucieux 1/ Calcule astucieusement 53,75+3,7+12,25. 2/ Calcule astucieusement 3+14+7+6. 3
1.0.4 Premières équations Problème : Un(e) élève de la classe pense à un nombre et y ajoute 17,3. Il(elle) trouve 63,005. À quel nombre cet(te) élève a-t-il(elle) pensé? Plusieurs pistes : Traiter ce problème par le théâtre des équations. Faire un schéma avec des longueurs. 63,005 R S T? 17,3 Pour trouver ce nombre il faut effectuer 63,005 17,3 Propriété 3 : (admise) Si on veut déterminer un terme inconnu dans une somme alors il faut effectuer une soustraction Remarque En mathématique pour désigner les nombres inconnus on utilise des lettres. Application 2 : Un champ rectangulaire a un péimètre de 18,52m. Sachant que sa longueur mesure 5,17m quelle est sa largeur? 1.0.5 Multiplicationet division par 10; 100; 1 000... Propriété 4 : (admise) Multiplier un nombre : par 10, revient à rendre chacun de ses chiffres 10 fois plus grand. par 100, revient à rendre chacun de ses chiffres 100 fois plus grand. par 1 000, revient à rendre chacun de ses chiffres 1 000 fois plus grand. Exemples : 1/ Multiplions 0,47 par 10. Dans le nombre 0,47 il y a : 0 unités qui deviennent 0 dizaines 4 dixièmes qui deviennent 4 unités 7 centièmes qui deviennent 7 dixièmes donc 0,47 10 = 4,7 2/ Multiplions 35 par 100. Dans 35 il y a : 5 unités qui deviennent 5 centaines 3 dizaines qui deviennent 3 milliers 4
donc 35 100 = 3500 3/ Multiplions 9,82 par 1 000. Dans 9,82 il y a : 9 unités qui deviennent 9 milliers 8 dixièmes qui deviennent 8 centaines 2 centièmes qui deviennent 2 dizaines donc 9,82 1000 = 9820 Propriété 5 : (admise) Diviser un nombre : par 10, revient à rendre chacun de ses chiffres 10 fois plus petit. par 100, revient à rendre chacun de ses chiffres 100 fois plus petit. par 1 000, revient à rendre chacun de ses chiffres 1 000 fois plus petit. Exemples : 1/ Divisons 27 par 10. Dans le nombre 27 il y a : 2 dizaines qui deviennent 2 unités 7 unités qui deviennent 7 dixièmes donc 27 10 = 2,7 2/ Divisons 456,7 par 100. Dans 456,7 il y a : 6 unités qui deviennent 6 centièmes 5 dizaines qui deviennent 5 dixièmes... donc 456,7 100 = 4,567 3/ Divisons 0,3 par 1 000. Dans 0,3 il y a : 0 unités qui deviennent 9 milliè mes 3 dixièmes qui deviennent 3 dix-milliè mes donc 0,3 1000 = 0,0003 1.0.6 Conversions de longueurs et de masses unités de longueur unités de masse kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre km hm dam m dm cm mm 1 km = 1 000 m 1 hm = 100 m 1 dam = 10 m 1 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme milligramme kg hg dag g dg cg mg 1 kg = 1 000 g 1 hg = 100 g 1 dag = 10 g 1 g 1 dg = 0,1 g 1 cg = 0,01 g 1 mg = 0,001 g À retenir Notamment en agriculture d autres unités de masse sont utilisées : le quintal qui équivaut à 100 kg : 1 q = 100 kg; la tonne qui équivaut à 1 000kg : 1 t = 1 000 kg. 10 quintaux valent donc 1 tonne! 5
1.0.7 Multiplication par 0,1; par 0,01; par 0,001... Propriété 6 : (admise) Multiplier un nombre : par 0,1 (1 dixième) revient à le diviser par 10. par 0,01 (1 centième) revient à le diviser par 100. par 0,001 (1 millième) revient à le diviser par 1 000. Calcul posé Propriété 7 : (admise) Méthode pour calculer le produit de 2 nombres décimaux : 1/ On calcule le produit en ignorant les virgules. 2/ On place la virgule en sachant que le résultat doit avoir autant de décimales que les 2 facteurs réunis. Exemple : Pose et effectue la multiplication : 14, 58 7, 4. 1 4,5 8 7,4 5 8 3 2 1 0 2 0 6 1 0 7,8 9 2 remarque : Il y a 2 + 1 décimales pour les deux facteurs, donc il faut 3 décimales pour le résultat. Application 2 : Pose et effectue la multiplication : 0, 545 0, 89. 0,5 4 5 0,8 9 4 9 0 5 4 3 6 0 0,4 8 5 0 5 Cette fois il y a 3 + 2 décimales pour les deux facteurs, donc il faut 5 décimales pour le résultat. 6
1.0.8 Division Décimale Technique Application 4 : Pose et effectue la division décimale de 21,3 par 4. Divisions interminables Problème : Nous sommes 7 et nous avons 1 litre d eau à nous partager équitablement. Quelle quantité aura exactement chacun? 2 1,3 2 0 1 3 1 2 1 0 8 2 0 2 0 0 4 5,3 2 5 Dès que l on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende, on place la virgule dans le quotient. Le reste est nul, on s arrête là. 1 0 1 0 7 3 0 2 8 2 0 1 4 6 0 5 6 4 0 3 5 5 0 4 9 1 7 0,1 4 2 8 5 7 Remarque : La division ci-dessus à droite, est interminable on notera son résultat 1 7. 7