Chapitre 1 : principes d actualisation

Chapitre 1 : principes d actualisation 27.09.2013

Plan du cours Principes valeur actuelle arbitrage loi du prix unique Valeur temps valeur actuelle et valeur future valeur actuelle nette (VAN) annuités et perpétuités taux de rentabilité interne (TRI) Taux d intérêt taux nominal vs. taux réel courbe des taux taux risqués Bibliographie: Berk, DeMarzo: ch. 3-6 2

VAN, arbitrage et loi du prix unique Concept de valeur actuelle nette Concept d arbitrage : comparaison coût-bénéfice, comment tenir compte des risques et du décalages des flux dans le temps? Arbitrer = choisir rationnellement entre plusieurs alternatives (arbitrium agere, faire un choix), indépendamment de tout jugement de valeur La loi du prix unique : sur un marché concurrentiel, deux projets équivalents doivent avoir le même prix. 3

Prix de marché et valeur d un projet Exemple : on propose à un bijoutier l échange suivant : recevoir 10 onces d or contre 400 onces de platine. Prix de marché : Once d or = 900 Once de platine = 15 => Valeur nette de l échange 3 000. Les préférences les opinions sur le «juste prix» des métaux n interviennent pas dans la décision. 4

Prix de marché et valeur d un projet Le marché est supposé concurrentiel. Le bijoutier peut produire 8 000 de bijoux avec 10 onces d or ou 10 000 de bijoux avec 400 onces de platine. La valeur des bijoux produits avec 400 onces de platine est plus élevée que celle produite avec 10 onces d or. A-t-il toujours intérêt à échanger les 400 onces de platine qu il détient contre 10 onces d or? Oui. Le bijoutier peut vendre les 10 onces d or sur le marché contre 9 000. Avec cette somme, il peut acheter 9 000 / 15 = 600 onces de platine, soit 200 de plus qu il ne détenait. 5

Prix de marché et valeur d un projet Si les biens sont échangés sur un marché concurrentiel c est-àdire s ils peuvent être achetés et vendus au même prix, il est alors possible de calculer la valeur nette d un projet sans se soucier des goûts ou des opinions du décisionnaire. La valeur d un actif pour une entreprise ou pour un investisseur est déterminée par son prix sur un marché concurrentiel. Les coûts et les bénéfices doivent être évalués à l aune des prix de marché. Lorsque les bénéfices excèdent les coûts, l investissement augmente la valeur de marché de l entreprise. 6

Taux d intérêt et valeur temps de l argent Investissement de 100 000 aujourd hui pour un bénéfice de 102 000 dans un an La valeur nette du projet n est pas de : 102 000 100 000 = 2 000. Un euro aujourd hui n est pas équivalent à un euro demain. Principe de préférence pour le présent 7

Le taux d intérêt : un taux de change intertemporel Le taux d intérêt sans risque r f est le taux d intérêt auquel on peut prêter ou emprunter contre la promesse certaine d un remboursement futur. Par convention, le taux sans risque est exprimé en base annuelle. Ce taux permet de convertir une somme d argent «actuelle» en une somme d argent «future». 8

Le taux d intérêt : un taux de change intertemporel Un euro aujourd hui vaudra (1 + r f ) euro(s) dans un an. De manière symétrique, un euro dans un an vaut 1 / (1 + r f ) euro(s) aujourd hui. 9

Taux d intérêt et taux de change 10

Taux d intérêt et taux de change EUR/USD = 1,25 => 1 = 1,25 $ et 1 $ = 1 / 1,25 = 0,8 r f = 7 % => 1 aujourd hui = 1,07 dans un an => 1 dans un an = 1 / 1,07 = 0,93 aujourd'hui 11

Taux d intérêt et valeur temps de l argent Un investissement de 100 000 aujourd hui pour un bénéfice de 102 000 dans un an. r f = 3 %. Qu en est-il si on dispose des 100 000? Le placement de 100 000 aujourd hui rapporte 103 000 dans un an, davantage que le projet initial. 12

Valeur actuelle et valeur future Que vaut aujourd hui la promesse certaine de recevoir 102 000 dans un an? Combien faut-il placer aujourd hui au taux sans risque pour obtenir 102 000 dans un an? Avec un taux d intérêt égal à 3 %, il faut placer 102 000 / (1 + 3 %) = 99 029,13. Or, le projet requiert un investissement aujourd hui de 100 000 pour obtenir dans un an 102 000. Remarque : (100 000 99 029,13) (1 + 3 %) = 1 000. 13

Valeur actuelle et valeur future Termes à retenir : Valeur actuelle (ou valeur présente) Valeur future (ou valeur acquise, ou valeur à terme) Facteur d actualisation 14

La valeur actuelle nette VAN = VA (bénéfices) VA(coûts) = VA (Ensemble des flux) La VAN d un projet s interprète comme la valeur aujourd hui de la richesse créée par le projet. Un projet ne doit être retenu que si sa VAN est positive. 15

La valeur actuelle nette Exemple : investir 500 aujourd hui rapporte avec certitude 550 dans un an. Le taux d intérêt sans risque est de 5 %. Faut-il investir? VAN = 500 + 550 / (1 + 5 %) = 23,81 > 0 Qu en est-il si l on doit emprunter les 500? 16

Comparaison de projets Lorsqu on doit choisir entre plusieurs projets, il faut retenir celui dont la VAN est la plus élevée. Il faut retenir le projet B. Qu en est-il si l on souhaite absolument recevoir 42 aujourd hui? 17

Comparaison de projets Le critère de maximisation de la VAN est indépendant des préférences des agents. En empruntant ou en plaçant au taux sans risque, on peut modifier à sa guise la façon dont les flux se répartissent dans le temps. 18

Arbitrage et loi du prix unique On a supposé que les marchés étaient concurrentiels : un même bien s échange partout au même prix. Cette hypothèse est-elle réaliste? Raisonnons par l absurde : supposons que l once d or se négocie 250 $ à New York et 300 $ à Londres. Que se passera-t-il? 19

Arbitrage et loi du prix unique Une opportunité d arbitrage existe dans toute situation où il est possible de réaliser un profit sans risque et sans mise de fonds initiale. Par définition, une opportunité d arbitrage est un projet à VAN positive. Par définition, sur un marché normal, il n y a pas d opportunités d arbitrage Lorsqu un actif s échange simultanément sur plusieurs marchés concurrentiels, alors son prix est le même sur tous les marchés. «There is no free lunch» 20

Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Un actif financier désigne un titre, échangeable sur un marché financier, qui donne droit à des flux monétaires futurs. Acheter des titres = placer Émettre des titres = solliciter un financement Deux principaux types : titres de dette (obligations) titres de propriété (actions) 21

Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Exemple : Un actif financier (une obligation) offre un paiement certain de 1 000 dans un an. Le taux d intérêt sans risque est égal à 5 %. Quel est le prix de cet actif? Quel montant doit-on placer aujourd hui au taux d intérêt sans risque de façon à recevoir 1 000 dans un an? VA(1 000 dans un an) 1 000 / (1 + 5 %) = 952,38 22

Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Exemple (suite) : Il existe deux façons d obtenir 1 000 dans un an Acheter l obligation. Placer 952,38 au taux d intérêt sans risque de 5%. Ces transactions génèrent les mêmes flux. D après la Loi du prix unique, sur un marché normal, leur coût doit donc être identique. Autrement dit, le prix de l obligation doit être égal à 952,38. 23

Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Que se passe-t-il si l obligation s échange sur le marché au prix de 940? 24

Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Que se passe-t-il si l obligation s échange sur le marché au prix de 960? Remarque : Vente à découvert 25

Le prix en l absence d opportunité d arbitrage (AOA) Exemple 3.3 Un actif offre 100 aujourd hui et 100 dans un an. Le taux d intérêt sans risque est 10 %. Quel est le prix en cas d AOA (avant le paiement des 100 aujourd hui)? L actif s échange à 195 : quelle stratégie mettre en œuvre? 26

Le prix en l absence d opportunité d arbitrage VA = 100 + 100 1 / (1 + 10 %) = 190,91 L actif est surévalué. 27

Taux d intérêt et prix des obligations Une obligation sans risque verse 1 000 dans un an et s échange aujourd hui contre 929,8. On a donc : 929,8 = 1 000 / (1 + rf) <=> rf = (1 000 / 929,8) 1 = 7,55 %. 28

Le prix en l absence d opportunité d arbitrage AOA : la rentabilité d un actif sans risque est égal au taux d intérêt sans risque. Si l obligation offrait une rentabilité supérieure, les investisseurs réaliseraient un profit certain en s endettant au taux sans risque pour acheter l obligation sans risque. Si l obligation offrait une rentabilité inférieure, les investisseurs réaliseraient un profit certain en vendant l obligation et en prêtant l argent obtenu au taux sans risque. 29

Le prix en l absence d opportunité d arbitrage En l absence d opportunité d arbitrage, tous les investissements sans risque doivent offrir à leurs investisseurs la même rentabilité, égale au taux d intérêt sans risque. 30

Évaluer un portefeuille d actifs Afin de maximiser la valeur de l entreprise, ses dirigeants doivent prendre des décisions maximisant la VAN. La VAN d un projet représente la contribution du projet à la valeur totale de l entreprise. 31

La liquidité et le rôle informationnel des prix Début 2007 : augmentation du taux de défaut des prêts subprimes. Effondrement de la liquidité sur le marché des Mortgage- Backed Securities (MBS). Les détenteurs de MBS ne pouvaient plus se défaire de leurs actifs. Les investisseurs avaient perdu tout repère : les marchés étant illiquides, on manquait d informations pour évaluer les titres. Les valeurs bancaires ont également été victimes de ventes en détresse et leurs cours de Bourse se sont effondrés Les banques n étaient plus à même d accorder des crédits. Interventions massives des autorités pour fournir de la liquidité et pour renflouer les banques en difficulté. 32

Le prix du risque On considère deux actifs financiers : une obligation sans risque qui donne droit à un flux de 1 100 dans un an ; un actif risqué qui suit la performance du marché boursier : le portefeuille de marché. Celui-ci vaudra, dans un an : 1 400 si la conjoncture est bonne 800 si la conjoncture est mauvaise Les deux situations sont supposées équiprobables. Le taux d intérêt sans risque est de 4 %. 33

Le prix du risque L espérance de gain est la même. Mais le prix du portefeuille de marché est inférieur au prix de l obligation. 34

Aversion au risque et prime de risque Le coût pour un individu de perdre un euro quand la conjoncture est mauvaise est supérieur à la satisfaction que lui procure un euro supplémentaire quand la conjoncture est bonne. 35

La prime de risque Espérance de rentabilité de l actif risqué : = 100 / 1 000 = 10 % Mais, ex post : si la conjoncture est bonne : (1 400 1 000) / 1 000 = 40 % si la conjoncture est mauvaise : (800 1 000) /1 000 = 20 % Moyenne (pondérée) des rentabilités effectives : 0,5 (40 %) + 0,5 ( 20 %) = 10 % 36

La prime de risque La différence entre la rentabilité espérée de l actif risqué et le taux d intérêt sans risque représente la prime de risque. Lorsqu un actif est risqué, le taux d actualisation qu il faut retenir pour calculer sa valeur actuelle est égal au taux d intérêt sans risque auquel on ajoute une prime de risque. 37

Le prix de non-arbitrage d un actif risqué Quel est le prix de marché de l obligation? 800 / 1,04 = 769. Le prix de marché de l actif A est donc : 1 000 769 = 231. Si ce n était pas le cas? La loi du prix unique serait violée, faisant apparaître une opportunité d arbitrage. 38

Le prix de non-arbitrage d un actif risqué L actif A s échange aujourd hui au prix de 231 contre un paiement, en moyenne, égal à? 0,5 0 + 0,5 600 = 300. Quelle est ainsi l espérance de rentabilité de l actif A? (300 231) / 231 = 30 %. Cette espérance de rentabilité est supérieure à l espérance de rentabilité du portefeuille de marché qui n est que de 10 %. La prime de risque de l actif A est donc de 30 % 4 % = 26 %, alors que la prime de risque du portefeuille de marché est de 6 %. 39

Le prix de non-arbitrage d un actif risqué La prime de risque dépend du niveau de risque La différence entre les primes de risque s explique par le fait que l actif A est plus risqué que le portefeuille de marché. Quand la conjoncture économique est mauvaise, la rentabilité ex post est de 100 % (contre 20 % pour le portefeuille de marché). Quand la conjoncture économique est bonne, la rentabilité ex post est de (600 231) / 231 = 160 % (contre 40 % pour le portefeuille de marché). La rentabilité de l actif A est donc beaucoup plus variable que celle du portefeuille de marché. 40

Le risque d un actif est lié au risque de marché Prix de l obligation 1 400 / 1,04 = 1 346. Prix de l actif B 1 346 1 000 = 346. 41

Le risque d un actif est lié au risque de marché Si la conjoncture économique est mauvaise, l actif B offre une rentabilité de (600 346) / 346 = 73,4 %. Si la conjoncture est bonne, l actif B ne donne droit à rien ; sa rentabilité est donc de 100 %. Quelle est l espérance de rentabilité de l actif B? 0,5 73,4 + 0,5 ( 100) = 13,3 %. Quelle est la valeur de la prime de risque associée? 13,3 % 4 % = 17,3 % 42

Risque et prime de risque 43

Risque et prime de risque Le risque d un actif doit être évalué en tenant compte de la façon dont les autres actifs fluctuent. La prime de risque d un actif est d autant plus élevée que sa rentabilité est positivement liée à celle du marché boursier. Si la rentabilité d un actif est forte quand la conjoncture économique est mauvaise, l actif peut être utilisé comme assurance ; sa prime de risque est alors négative. 44

Risque, rentabilité et prix de marché D après la loi du prix unique, le prix de marché d un actif risqué est égal au coût de constitution d un portefeuille qui réplique les flux futurs de l actif en question. 45

Calcul du prix d un actif risqué et prime de risque Une obligation O paie 1 100 si la conjoncture est bonne et 1 000 sinon. La prime de risque est de 1%. Le taux d intérêt sans risque est de 4%. Quel est le prix actuel de cet actif? r O = r f + Prime de risque de l obligation = = 4 % + 1 % = 5 % Prix de l obligation = (Espérance des flux dans un an) / (1 + r O ) = 1 050 / 1,05 = 1 000 46

L échéancier Échéancier ou diagramme des flux (timeline) Prenons le cas d une banque s apprêtant à recevoir d un emprunteur 2 paiements égaux de 10 000, à la fin des deux prochaines années: 47

Flux et séquence de flux Prêt de 10 000 rembourser par deux versements de 6 000 : 48

Construction d un échéancier Frais de scolarité = 10 000 par an. La scolarité dure deux ans. Les paiements doivent être effectués à parts égales à chaque début de semestre. Quel est le diagramme de flux? 49

Les trois règles du «voyage dans le temps» 1. Pour comparer des flux se produisant à différentes dates, il faut tenir compte de la valeur temps de l argent. 2. Pour transposer un flux dans le futur, il faut le capitaliser. 3. Pour transposer un flux dans le passé, il faut l actualiser. 50

Transposer des flux dans le futur On dispose de 1 000 aujourd hui. Quel est le montant équivalent dans un an? Dans deux ans? Dans trois ans? 51

Transposer des flux dans le futur 52

La puissance de la capitalisation Placer 1 000 sur un compte rémunéré au taux annuel (fixe) de 10 % permet de recevoir 100 d intérêts à la fin de la 1 ère année, soit une richesse totale de 1 100. Qu en est-il dans 20 ans? Que se passe-t-il les 20 années suivantes? 53

La puissance de la capitalisation 54

Transposer des flux dans le passé Quelle est la valeur aujourd hui de 1 000 à recevoir dans un an alors que le taux d intérêt est de 10 %? Dans deux ans? Dans trois ans? 55

Valeur actuelle d un flux futur simple On envisage l achat d une obligation. Ce titre donne droit à un flux unique de 15 000 dans 10 ans. Le taux d intérêt, sur le marché, est de 6 %. Quelle est la valeur de l obligation aujourd hui? 56

Application des règles du «voyage dans le temps» On envisage de placer 1 000 aujourd hui et 1000 à la fin de chacune des deux prochaines années. Le taux d intérêt annuel est de 10 %. Quelle somme obtient-on dans 3 ans? => Plusieurs possibilités, mais une seule bonne réponse! 57

Application des règles du «voyage dans le temps» 1 ère possibilité 2 ème possibilité 58

Application des règles du «voyage dans le temps» 3 ème possibilité 59

Les trois règles du «voyage dans le temps»: synthèse 60

Calculer la valeur future d un flux Reprenons le diagramme des flux précédent : placement de 1 000 / an pendant 3 ans à partir d aujourd hui. Si le taux d intérêt annuel est de 10 %, de quelle somme disposera-ton dans 3 ans? Existe-t-il encore une autre approche pour répondre à cette question? 61

4.3. Valeur actuelle et future d une séquence de flux 62

Valeur actuelle et future d une séquence de flux 63

Valeur future et valeur actuelle d une séquence de flux 64

Valeur actuelle nette (VAN) d une séquence de flux 65

La VAN d un projet d investissement Possibilité d investir 1 000 aujourd hui en échange de 500 à la fin de chacune des trois prochaines années. Possibilité de placer au taux de 10 % par an. Doit-on investir dans ce projet? VAN = 1 000 + (500/1,1) + (500/1,12) + (500/1,13) = 243,43 66

Rentes perpétuelles, annuités et autres cas particuliers Les formules développées jusqu à maintenant permettent de calculer les valeurs actuelles et futures de n importe quelle séquence de flux. En pratique, lorsque les flux s étalent sur plus de quatre ou cinq périodes (ce qui est souvent le cas), les calculs peuvent être longs et fastidieux. Dans certains cas particuliers, il existe toutefois des formules simplifiées. 67

Les rentes perpétuelles 68

Les rentes perpétuelles En plaçant 100 on crée donc une rente perpétuelle de 5 par an. D après la Loi du prix unique, la VA d une rente perpétuelle de 5 par an doit être de 100. Généralisons : en plaçant P euros sur un compte bancaire, il est possible de retirer chaque année les intérêts, F = r P, et laisser le principal, P, sur le compte. 69

Exemple: créer une rente perpétuelle L association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel. Le coût annuel d un gala est de 30 000. Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. Le premier gala est prévu dans un an. Quelle somme l association doit-elle placer afin de pouvoir financer l organisation du gala chaque année éternellement? 70

Les annuités constantes 71

Les annuités constantes 72

Exemple: valeur actuelle d une annuité constante La loterie nationale propose à ses gagnants de recevoir : 1 M tous les ans pendant 30 ans (le premier versement ayant lieu aujourd hui) ; 15 M immédiatement. Le taux d intérêt est de 8 %. Quelle solution retenir? 73

Les annuités constantes 74

Exemple: se constituer une épargne retraite Stéphanie a 35 ans et décide d épargner pour sa retraite 10 000 tous les ans jusqu à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. De quelle somme Stéphanie disposera-t-elle le jour de ses 65 ans? VF = 10 000 (1 / 0,1) (1,1 30 1) = 10 000 164,49 = 1,645 M à 65 ans 75

Les rentes perpétuelles croissantes 76

Les rentes perpétuelles croissantes 77

Les rentes perpétuelles croissantes 78

Exemple: créer une rente perpétuelle (bis) L association des étudiants du master finance décide de créer un gala annuel. Le coût annuel d un gala est de 30 000. Le coût augmente de 4 % par an. Les placements sont rémunérés au taux de 8 %. Le premier gala est prévu dans un an. Quelle somme l association doit-elle placer afin de pouvoir financer l organisation du gala chaque année éternellement? 79

Les annuités croissantes 80

Exemple: se constituer une épargne retraite (bis) Stéphanie a 35 ans et décide d épargner pour sa retraite 10 000 tous les ans jusqu à ses 65 ans. Le compte retraite est rémunéré à 10 %. Elle prévoit une augmentation de salaire de 5 % tous les ans. De quelle somme disposera-t-elle le jour de ses 65 ans? 81

Les annuités croissantes La formule de l annuité croissante est une formule générale à partir de laquelle il est possible de déduire toutes les formules présentées dans cette partie : Une rente perpétuelle croissante peut être vue comme une annuité croissante avec N. Si g < r, alors (1 + g) / (1 + r) < 1. Puisque N, [(1 + g) / (1 + r)] N 0. La formule d une annuité croissante quand N est donc : 82

Calculer les flux, le TRI et le nombre de périodes L objectif jusque là a été de calculer la valeur actuelle ou la valeur future d une séquence de flux. Il arrive cependant, parfois, que la valeur actuelle ou future soit connue, mais pas le taux d intérêt, le nombre de périodes ou le montant des flux. Exemples Lorsqu on contracte un prêt, on sait combien on désire emprunter, on connaît le taux d intérêt, mais pas, a priori, ce que l on devra payer au total pour honorer le prêt. On peut aussi se demander combien de temps est nécessaire pour se constituer un certain capital, étant donné le montant que l on est prêt à épargner à chaque période et le taux d intérêt. 83

Calculer le montant des flux Une entreprise envisage d acheter à crédit une machine d une valeur de 100 000. Remboursement par annuités constantes pendant dix ans (le premier versement a lieu dans un an). Le taux d intérêt est de 8 %. Quel est le montant du versement annuel? 84

Calculer le montant des flux 100 000 = VA(annuité de F par an pendant 10 ans actualisée au taux de 8 %) <=> 100 000 = F x (1 / 0,08) x (1 1,08-10 ) = F x 6,71 <=> F = 100 000 / 6,71 = 14 903. En généralisant : 85

Exemple: calculer les flux liés au remboursement d un prêt Une entreprise désire acheter des marchandises coûtant 80 000. La banque propose un prêt sur 30 ans, à annuités constantes. Le taux d intérêt est de 8 %. Quelle somme l entreprise devra-t-elle verser tous les ans? 86

Calculer le Taux de Rentabilité Interne (TRI) Le taux de rentabilité interne (TRI) est le taux d intérêt qui annule la VAN. Considérons un projet qui nécessite un investissement immédiat de 1 000 et qui rapporte 2 000 dans 6 ans. On cherche r tel que :? => Lorsqu il y a seulement deux flux, comme dans l exemple précédent, il est simple de calculer le TRI. 87

Calculer le TRI Une entreprise désirant acheter un monte-charge a le choix entre : un achat comptant au prix de 40 000 ; 4 versements annuels de 15 000. L entreprise doit comparer le taux de l emprunt proposé par le vendeur à celui qu elle pourrait obtenir d une banque => TRI «implicite». 88

Calculer le TRI Formule générale : r = 10 % : r = 20 % : r = 18,450 % : 89

Calculer le nombre de périodes On place 10 000 sur un compte rémunéré à 10 % par an. Combien de temps faut-il attendre avant de disposer de 20 000? 90

Exemple: nombre de périodes d un plan d épargne nécessaires à un achat Julien épargne pour se constituer un apport personnel en vue d un achat immobilier. Il dispose déjà de 10 050 et peut épargner 5 000 à la fin de chaque année. L épargne est rémunérée à 7,25 % par an. Combien d années doit-il attendre avant de disposer de 60 000? 91

La «règle des 72» Combien de temps faut-il pour qu un capital double, compte tenu du taux d intérêt? On cherche N tel que : VF = 1 (1 + r) N = 2 Approximation : N = 72 / r. Exemple : r = 9 % Il faut 8 ans pour que le capital double (1,09 8 = 1,99). L approximation donne : 72 / 9 = 8 ans. 92

L utilisation d un tableur 93

Critères d investissement (1): la valeur actuelle nette Un projet ne doit être mis en œuvre que si sa valeur actuelle nette ou VAN, définie comme la somme actualisée des flux futurs (cash flow), est positive. Lorsqu on a le choix entre plusieurs projets, on doit opter pour celui qui génère la plus forte VAN. VAN F T t = t t= 0 1+ r ( ) 94

La VAN d un projet d investissement La Fantastique Ferme Française (FFF) un nouveau fertilisant Échéancier en millions d euros 95

La VAN d un projet d investissement 96

La VAN face aux critères alternatifs Aux États-Unis, 75 % des entreprises utilisent la VAN pour sélectionner leurs investissements (Graham et Campbell, 2001). Seulement 10 % en 1977 (Gitman et Forrester, 1977). En France, seules 35 % des entreprises suivent toujours ou presque toujours le critère de la VAN (Brounen, de Jong et Koedijk, 2004). 97

Critères d investissement (2): le taux de rentabilité interne (TRI) Taux de rentabilité interne : TRI (ou TIR) = taux d actualisation pour lequel la VAN s annule. Hypothèse implicite : tous les flux futurs pourront être réinvestis à un taux égal au TRI. 0 T F = t ( ) t t= 0 1+ TRI 98

Le taux de rentabilité interne (TRI) Critère du TRI Tout investissement dont le TRI dépasse le coût du capital doit être réalisé. Tout investissement dont le TRI est inférieur au coût du capital doit être refusé Le TRI est en général un bon critère (i.e. il conduit à maximiser la richesse créée par les actionnaires) lorsque : le projet est unique ; les flux négatifs précèdent les flux positifs. 99

Critères d investissement (3): le délai de récupération Le délai de récupération (payback) : temps nécessaire pour que la somme des flux présents et futurs, éventuellement actualisés, s annule. Temps nécessaire pour récupérer votre investissement initial. 100

Exemple: le délai de récupération FFF exige un délai de récupération de 5 ans ou moins. Avec une telle règle de décision, FFF accepte-t-elle le projet du nouveau fertilisant? Solution 5 t= 1 F t = 35 M 5 = 175 M < 250 M Le délai de récupération de ce projet étant supérieur à 5 ans, FFF rejette (à tort) ce projet. 101

Le délai de récupération Le délai de récupération n est pas un bon critère : Il ignore la valeur temps de l argent. Il ne dépend pas du coût du capital. Malgré tout, plus de 50 % des entreprises américaines et françaises utilisent le délai de récupération pour sélectionner leurs investissements. Le délai de récupération biaise les décisions en faveur des projets à court terme. 102

Taux d intérêt: introduction Selon l horizon (en septembre 2013) : Les obligations de la Confédération helvétique rapportent: -0.09% pour une échéance à 2 ans (contre 1.5% en 2008) 0.19% pour une échéance à 5 ans (contre 2.5% en 2008) 1.06% pour une échéance à 10 ans (contre 3% en 2008) Selon le risque présenté par l emprunteur : Confédération < Novartis < PME. Dans ces conditions, comment choisir le taux d intérêt adapté pour calculer la valeur actuelle ou future d une opportunité d investissement? 103

Cotation et calcul des taux d intérêt Taux annuel effectif (TAE) : indique le montant total des intérêts à percevoir dans un an 100 000 (1 + r) = 100 000 1,05 = 105 000 100 000 (1 + r) 2 = 100 000 1,052 = 110 250 Taux équivalent : Deux taux d intérêt se rapportant à des périodes de longueurs différentes sont dits équivalents s ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement 100 000 1,052 = 100 000 1,1025 = 110 250 104

Taux équivalent, méthode de calcul À partir d un TAE, on calcule le taux équivalent en élevant à la puissance appropriée le facteur d intérêt (1 + r) Puissance > 1 si période > 1 an Puissance < 1 si période < 1 an Taux équivalent pour n périodes : TAE = (1 + r) n 1 Quel est le taux semestriel équivalent à un taux annuel effectif de 5 %? (1 + r) 0,5 = 1,05 0,5 = 1,0247 105

Exemple: valoriser des flux mensuels Intérêts mensuels Taux annuel effectif = 6 %. Quel est le taux d intérêt mensuel équivalent? Combien faut-il épargner chaque mois afin de disposer de 100 000 dans 10 ans? 106

Taux proportionnel Taux annuel proportionnel (TAP) : taux d intérêt simple, c est-àdire sans l effet de la capitalisation, sur une période d un an Parce qu il n inclut pas l effet de la capitalisation des intérêts, le taux annuel proportionnel ne permet pas de connaître directement le montant des intérêts. Le taux annuel proportionnel ne doit jamais être utilisé comme taux d actualisation. 107

Taux période Taux période : taux effectif sur chaque période avec k périodes de capitalisation par an Passage d un taux annuel proportionnel à un taux annuel effectif 108

Fréquences de capitalisation 109

Les déterminants des taux d intérêt Inflation et taux d intérêt réel 110

Les déterminants des taux d intérêt 111

Exemple: taux d intérêt réel En novembre 2007, en France, le taux d intérêt sur les titres d État à dix ans était environ de 4,2 % et le taux d inflation de 2,7 %. En 1975, le même taux d intérêt était environ de 10,3 % et le taux d inflation de 11,7 %. Quels étaient les taux d intérêt réels en 2007 et en 1975? 112

Investissement et taux d intérêt Les entreprises empruntent en vue de financer leurs projets futurs. L investissement est donc équivalent à une demande de fonds prêtables. Toutes choses égales par ailleurs, une hausse des taux d intérêt diminue le nombre de projets à VAN positive, ce qui a pour effet de réduire les investissements des entreprises et donc la demande de fonds prêtables. 113

Politique monétaire et taux d intérêt Les banques centrales ont généralement un double objectif: garantir la stabilité des prix (inflation/déflation) soutenir la conjoncture économique Pour atteindre ces objectifs, les banques centrales ont recours à divers instruments: taux d intérêt taux de change Les banques centrales influencent les taux d intérêt par des opérations d achat ou de vente de titres. Ceci équivaut à faire varier l offre de fonds prêtables. 114

La réaction des autorités monétaires lors de la crise de 2007-2010 Depuis mi-2007, baisse des taux d intérêt directeurs. En 2008, les prix à la consommation chutent : déflation. Le taux d inflation est donc négatif et, malgré un taux d intérêt nominal nul, le taux d intérêt réel reste positif. => phénomène de trappe à liquidité Politique monétaire «non conventionnelle» : mesures exceptionnelles d assouplissement monétaire (quantitative easing). => La banque centrale achète directement des titres de dette publique pour augmenter la quantité de monnaie en circulation dans l économie. 115

Structure par terme des taux d intérêt et valeur actuelle 116

Structure par terme des taux d intérêt et valeur actuelle 117

Exemple: structure par terme des taux d intérêt et valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d une séquence de flux de 1000 par an pendant 10 ans, compte tenu de la courbe des taux française de novembre 2006? De novembre 2010? 118

Structure par terme des taux d intérêt et valeur actuelle 119

Exemple: taux courts et taux longs Le taux d intérêt à un an en euros est aujourd hui de 1 %. Un prévisionniste prévoit que ce même taux d intérêt sera de 2 % dans un an et de 4 % dans deux ans. La courbe des taux est-elle plate, croissante ou inversée? 120

Risque et taux d intérêt Plus le risque de non-paiement des intérêts ou de nonremboursement du capital est élevé, plus le créancier exige de l emprunteur un taux d intérêt élevé. Prime de risque, ou spread de taux : différence entre le taux d intérêt risqué et le taux sans risque. Le taux d actualisation approprié pour un placement ou un emprunt donné correspond au taux de rentabilité le plus élevé présenté par un placement ou emprunt alternatif de même horizon et de même risque. 121

Exemple: actualiser des flux financiers risqués Prodware a lancé en septembre 2009 un emprunt obligataire au pair au taux nominal de 7,90 % et d échéance septembre 2015 (hypothèse : la rentabilité à l échéance de cette obligation coïncide avec le taux nominal). Le taux des OAT de maturité 6 ans était alors de 2,85 %. Supposons que Prodware vous doive 1 000, à payer dans 6 ans. Quelle est, en septembre 2009, la valeur actuelle de cette dette? Qu en est-il si c est le Trésor qui vous doit 1 000? 122

Le coût d opportunité du capital Le taux d actualisation à utiliser doit être fondé sur le coût d opportunité du capital, ou coût du capital. Il s agit de la rentabilité anticipée la plus élevée sur le marché pour un placement ayant un risque et un horizon comparables au flux à actualiser. 123