La physique au petit déjeuner

La physique au petit déjeuner Héléna LACROIX Marion DERIOT Sous la direction de Hervé IDDA Lycée Gustave Eiffel Dijon Académie de Dijon 2007-2008 1

Sommaire Introduction I. Mise en place de l expérience sur les tourbillons 1. Vous préférez cacao ou noix de coco?! 2. Le travail en volume 3. Mise en mouvement de l objet et enregistrement 4. Constatations II. Mesures et exploitation 1. Technique de mesure 2. Les résultats expérimentaux 3. Interprétation des résultats 4. Petit point «d histoire» III. Vérification de nos mesures 1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal 2. Mesure de la densité 3. Mesure de la viscosité h IV. Applications 1. Aussi dans la nature 2. Résonance d un fil 3. L incroyable histoire du pont de Tacoma Bibliographie 2

Introduction Au petit déjeuner tout le monde a déjà eu l occasion de tourner une centaine de fois sa cuillère dans sa tasse, pourtant on ne prête jamais attention aux tourbillons qui se forment alors derrière notre cuillère! C est le début d une aventure au cours de laquelle nous mettrons en place un protocole expérimental permettant d analyser ces fameux tourbillons. Par la suite, la lecture de thèses de recherche nous permettra de mieux comprendre et de confirmer nos résultats à l aide de quelques expériences supplémentaires. Pour finir, nous avons découvert quelques applications inattendues de ces phénomènes. Mais pour toutes les découvrir, il faut patienter encore un peu... 3

I. Mise en place de l expérience sur les tourbillons 1. Vous préférez cacao ou noix de coco?! Pour mettre en place notre expérience et reproduire ces tourbillons observés dans la tasse du petit déjeuner il a d abord fallu trouver une poudre permettant la reproduction des tourbillons de façon relativement précise, nous avons donc essayé plusieurs substances : Poudre de cacao Poudre de liège Nous sommes passés par le cacao, la poudre de noix de coco, ainsi que le liège et bien d autres! Or, à chaque fois deux problèmes se sont posés : - la présence de grumeaux empêchant la représentation des tourbillons - le sillage avec la formation d une vague devant l obstacle Formation et propagation de la vague lors d un essai avec de la poudre de craie (Vue de dessus ; images obtenues par rétro projection sur un tableau) 4

Toutefois un essai avec la poudre d aluminium a retenu notre attention puisque cette poudre fine avait une bonne dispersion, mais un autre problème s est posé : - Les particules ne restaient pas en suspension et se déposaient au fond de la cuve De plus, le problème de la vague n était pas réglé. Poudre d aluminium (vue de dessus) Et c est en pratiquant plusieurs essais avec cette poudre que nous est venue l idée de la vision en volume. 2. Le travail en volume En effet, au cours des tests avec la poudre d aluminium, on a pu observer des tourbillons se former dans tout le volume de notre récipient. Nos problèmes de grumeaux et de vague sont ainsi résolus, mais, à peine un problème est résolu qu un autre se pose! Comment observer les tourbillons dans un seul plan et pas dans tout le volume? Le laser s est vite imposé comme la bonne solution, mais il nous le fallait en plan. C est avec une tige en verre accrochée devant le faisceau que nous avons obtenu la dispersion de la lumière en un plan rectiligne. 5

Mais il fallait trouver une solution au problème de suspension des particules. Nous avons donc ajouté au mélange de la glycérine permettant de rendre le mélange plus visqueux et donc de ralentir la chute de la poudre d aluminium au fond de la cuve. La solution que nous utiliserons dans toute la suite de cette étude est faite avec 480 ml de glycérine et 570 ml d eau. 3. Mise en mouvement de l objet et enregistrement Pour pouvoir s appuyer sur nos résultats d expérience nous devions pouvoir reproduire l expérience à l identique, or en faisant bouger l objet à la main il était impossible de reproduire le mouvement de translation rectiligne uniforme de la tige en verre. Pour automatiser cette manipulation nous avons choisi de construire un chariot en lego alimenté avec une alimentation réglable. Après nous avons cherché le meilleur moyen de capturer notre expérience, il y avait plusieurs solutions : - L appareil photo numérique - La webcam - La caméra numérique (en mode infrarouge et normal) Après plusieurs essais pas toujours réussis et représentatifs du travail, nous avons gardé les séquences vidéos réalisées avec la caméra, qui étaient les mieux exploitables. Après nous avons cherché le meilleur moyen de capturer notre expérience, il y avait plusieurs solutions : - L appareil photo numérique - La webcam - La caméra numérique (en mode infrarouge et normal) Après plusieurs essais pas toujours réussis et représentatifs du travail, nous avons gardé les séquences vidéos réalisées avec la caméra, qui étaient les mieux exploitables. 6

En résumé, voici le schéma de notre montage Ici, avec quelques photos : Chariot lego en hauteur par rapport à la cuve et Chariot lego vu de dessus et trépied de caméra alimentation variable Vue de dessus de la fixation entre la tige de verre et le chariot Vue du dessus observée sur les films 7

Nous avons réalisé les enregistrements dans le noir pour avoir un maximum de contraste. Exemple de photos extraites d un des enregistrements avec un cylindre en verre de diamètre 6.1 mm (en fausse couleur) : 4. Constatations Au fil de nos enregistrements nous avons fait deux constatations : - Si la vitesse est trop faible alors il n y a pas de tourbillons à l arrière du cylindre. - Si la vitesse est supérieure à une vitesse de seuil alors des tourbillons se forment derrière le cylindre. A partir de ces constatations nous nous sommes posés deux questions : - A partir de quelle vitesse de seuil (Vseuil ) se forment les tourbillons? - Quelle est la fréquence d apparition de ces tourbillons? 8

I I. Mesures et exploitation 1. Technique de mesure Nous avons ensuite exploité les films pris à différentes vitesses pour détecter à quel moment apparaissent les tourbillons, ainsi que leur fréquence, ceci en trois étapes : 1- Mesure de l échelle à partir de la première image du film qui représente une règle : Échelle 390 pixel pour 10 cm E = 39 pixel / cm 2 - Détermination de la vitesse du cylindre : A partir de deux images différentes (à raison de 25 images/seconde soit Δt = 40 ms entre 2 images) : On en déduit la vitesse V par la relation : Avec : - E : l échelle en pixel / cm - X1 et XN les pointages de la position du tube sur l image 1 et l image N - Δt : le temps entre 2 images successive (soit 40 ms pour nos film) 9

3 Détermination de la fréquence des tourbillons : On mesure sur une image la distance λ entre deux tourbillons successifs et connaissant la vitesse du cylindre, on en déduit la fréquence d apparition des tourbillons par la relation : Avec : - E : l échelle en pixel / cm - λ la distance entre deux tourbillons (en pixel) - V : la vitesse du cylindre en cm/s Pour donner une petite idée de la quantité d image à exploiter (un peu plus de 2 secondes de film en fausse couleur) Au total, il y a plusieurs Giga-octets de données vidéo 10

2. Les résultats expérimentaux N os résultats pour trois diamètres différents : En rouge : vitesse de seuil vérifiée expérimentalement (au dessus de cette vitesse, il y a apparition de tourbillons derrière la tige) Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 6.1 mm. R emarque : la mesure de la fréquence des tourbillons quand la vitesse est juste au dessus de Vseuil est une mesure très difficile. Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 8.0 mm. Fréquence d apparition des tourbillons en fonction de la vitesse pour un cylindre de diamètre 9.7 mm. 11

3. Interprétation des résultats Au vu des résultats, trois grandes constatations peuvent être faites : 1 - Pour un diamètre donné, plus la vitesse augmente et plus la fréquence des tourbillons augmente. 2 - Si le diamètre du tube augmente, alors la vitesse de seuil diminue. 3 - À vitesse constante, quand le diamètre augmente, la fréquence de formation des tourbillons diminue. Avec ces résultats, on peut alors se demander : - Pourquoi les tourbillons ne se forment qu à partir d une certaine vitesse (Vseuil )? - Pourquoi la taille de l objet influe-t-elle aussi sur ce phénomène? C est grâce à Internet et à une longue recherche bibliographique que le voile va peu à peu se lever pour nous. 12

4. Petit point «d histoire» Pour faire un bref résumé de nos découvertes : 1- Phénomène de tourbillon bien connu : Instabilité de Bénard Von-Karman 2- Existence de différents types d écoulement dépendant d un nombre sans dimension dit le nombre de Reynolds e R. - régime stationnaire décollé pour 5 Rt 46. On observe un décollement de chaque côté du cylindre. L écoulement est stable et reste stationnaire et symétrique par rapport à l axe longitudinal. 13

- régime instationnaire 2D pour 47 Rt 189. L écoulement devient instationnaire. Les différentes perturbations possibles ne peuvent plus être amorties et une instabilité se déclenche. Les deux tourbillons perdent leur symétrie par rapport à l axe longitudinal du cylindre. On observe un décollement de chaque côté du cylindre alternativement pour former l allée tourbillonnaire de Von Karman Cette instabilité absolue est de nature bidimensionnelle et est caractérisée par une périodicité fortement prononcée. La fréquence du lâcher tourbillonnaire est liée à la vitesse de l écoulement et au diamètre du cylindre par un nombre sans dimension appelé nombre de Strouhal : - régime instationnaire 3D pour Rt 189. L écoulement reste instationnaire. La situation se complique un peu en étant maintenant à 3D. Concernant le nombre de Strouhal, voici quelques données trouvées dans ces thèses : Conclusion : La fréquence d apparition dépend donc d un nombre (sans dimension) nommé nombre de Strouhal (St) qui dépend un peu du nombre de Reynolds mais dont la valeur reste proche de 0,2. Soit : 14

I II. Vérification de nos mesures 1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal Pour comparer nos mesures nous avons établi le tableau ci-dessous à l aide du tableur Excel: Nos résultats sont très cohérents avec les données recueillies. De plus, nos constatations expérimentales trouvent ainsi une justification. En effet, à partir du nombre de Strouhal, l expression de la fréquence est : On remarque que si V augmente alors f augmente et que si D augmente alors f diminue. Ce qui est cohérent avec nos constatations expérimentales. 1- A diamètre constant; f augmente avec v 3- A v constante, f diminue qu and le diamètre augmente 15

Toujours d après la littérature, les tourbillons apparaissent à partir de Le produit Vseuil x D doit donc être constant. Celui semble constant (à 10%) avec une valeur On retrouve logiquement la dépendance entre la vitesse de seuil et le diamètre du tube. Celle-ci diminue quand le diamètre augmente. À partir de ce résultat, il est aussi possible d obtenir un ordre de grandeur de la viscosité de notre fluide si l on connaît la masse volumique ρ de la solution car : 16

2. Mesure de la densité ρ Après mesure de ρ avec un densimètre on peu en déduire la viscosité théorique de notre mélange, soit : Une question se pose alors : Ce résultat est-il cohérent avec la viscosité réelle de notre solution? 3. Mesure de la viscosité h Notre méthode consiste à mesurer le débit volumique D V d un écoulement à travers un tube capillaire (viscosimètre d Ostwald). Ensuite, par comparaison avec la viscosité de l eau, on en déduit η. La loi de Poiseuille dans le cap illaire est : 17

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Voici dans un tableau la viscosité de quelques fluides : Donc notre résultat 4,3.10^3 Pl semble cohérent car supérieur à celui de l eau pure (rappelons que nous avons utilisé un mélange d eau et de glycérine. De plus, celui-ci conforte le résultat trouvé dans la partie précédente à partir de la vitesse de seuil et du nombre de Reynolds, à savoir η théorique est 4.10^3 Pl Il est maintenant possible de déterminer le nombre de Reynolds de chacun de nos résultats afin de vérifier que l on se trouve bien dans un type de régime instationnaire Rt > 47quand il y a des tourbillons derrière le cylindre. 19

IV. Applications 1. Aussi dans la nature 2. Résonance d un fil On a pu constater que dans les ports, quand le vent souffle de façon régulière les cordes des bateaux «sifflent» ceci indique que ces cordes sont en résonance. Rappelons que la fréquence propre de vibration d une corde de longueur L, de masse linéique ʎ et de tension T est : Donc, si cette corde de diamètre D se trouve dans un écoulement à la vitesse V pour un fluide de viscosité η, celle-ci peut entrer en résonance si : Remarque : si les fréquences ne sont pas identiques, la corde se met à vibrer tout de même. 3. L incroyable histoire du pont de Tacoma Durant la formation des tourbillons, le fluide exerce une force transversale sur le cylindre. Cette force est perpendiculaire à l écoulement et à l axe du cylindre. Le sens des tourbillons étant alterné, la force est alternative et permet de mettre en résonance la corde. C est précisément ce qui s est passé sur le pont surplombant le détroit de Tacoma, dans la ville de l'état de Washington du même nom (USA) en 1940. Les câbles se mettant à vibrer avec le vent, ceux-ci ont entraîné tout le pont dans cette résonance jusqu à sa destruction et ceux en présence de vents de 65 km à l'heure seulement 20

Bibliographie Thèses : Contribution à la modélisation et à la prise en compte informatique de niveaux de descriptions multiples. Pierrick TRANOUEZ (2005) ; Université du Havre ; p 103-104 Analyse physique et modélisation d écoulements incompressibles instationnaires turbulents autour d un cylind re circulaire à grand nombre de Reynolds. Rodolphe PERRIN (2005) ; Institut National Polytechnique de Toulouse ; p 6-7 Méthodes particulaires pour la simulation des sillages tridimensionnels Philippe PONCET (2001) ; Université de Grenoble I Joseph FOURIER ; p117-139 Adresses Internet : wwww2.fsg.ulaval.ca/opus/physique534/complements/sonsvib.shtml www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html www.imaginascience.com/articles/sciencesphysiques/mecanique/resonance/resonance5.php www.onera.fr/cahierdelabo/french/hqvid.htm www.math.rug.nl/~veldman/cfd-gallery.html www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/tp-phys/term/tp- fluid/visco-eau.htm 21