white Devoir en classe n o 3 Langevin Wallon, PTSI 2015-2016 Optique Durée de l épreuve : 3 heures L usage de la calculatrice et de tout autre appareil électronique est interdit. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en précisant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. En particulier, et sauf si la question le demande explicitement, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs et à écrire le numéro des questions en entier et à le mettre en évidence : préférer II.2.c à simplement c. Le sujet se compose de quatre parties indépendantes les unes des autres, que le candidat est libre d aborder dans l ordre de son choix. La partie I, comptant pour 9 % du barème, traite de la formation d une image par une lentille convergente. La partie II, comptant pour 12 % du barème, s intéresse à la mesure d une distance focale par la méthode de Bessel. La partie III, extraite du concours banque PT et comptant pour 53 % du barème, aborde les phénomènes associés à la propagation de lumière dans une fibre optique. La partie IV, extraite du concours CCP et comptant pour 26 % du barème, propose une modélisation de la presbytie. Le sujet est volontairement long pour laisser au candidat le choix des parties sur lesquelles il souhaite se concentrer en priorité. Pour faire ce choix en connaissance de cause, il est recommandé de lire en entier le sujet avant d entamer la composition. L ordre des parties ne préjuge en rien de leur difficulté. Les candidats doivent vérifier que le sujet comporte bien 8 pages, numérotées de 1/8 à 8/8. 1/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Les relations de conjugaison et de grandissement pour une lentille mince (L) sont données ci-dessous. Le centre optique de la lentille est noté O, son foyer principal objet est noté F et son foyer principal image F. La lentille a une distance focale image f et une distance focale objet f = f. A est un point de l axe optique et A son image par (L). Les distances sont comptées algébriquement. 1 OA 1 OA = 1 f et F A F A = f 2 γ = OA OA et γ = F A f = f F A I - Image par une lentille convergente Cet exercice concerne une lentille convergente de focale 12 cm. Un objet AB de hauteur 1,0 cm est placé 8,0 cm avant la lentille. I.1 - Sur le document réponse page 8, construire l image A B de l objet AB en laissant apparents les rayons permettant la construction. Attention, l échelle n est pas la même dans la direction horizontale et dans la direction verticale. I.2 - L objet est-il réel ou virtuel? Même question pour l image. I.3 - Déterminer par le calcul la position de l image A B. I.4 - Déterminer par le calcul la taille de l image A B. I.5 - Le point C, situé sur l objet AB, est tel que AC = 2 3AB. Donner sans calcul ni construction la position (horizontale et verticale) du point C, image de C par la lentille. La qualité et la précision (ce qui ne veut pas dire la longueur) de l argumentation sont les critères principaux sur lesquels sont attribués les points de cette question. II - Mesure de distance focale par la méthode de Bessel On cherche à mesurer la distance focale d une lentille convergente. Pour cela on place sur un banc optique un objet et un écran qui en est éloigné de D = 100,0 cm. On place ensuite la lentille entre l objet et l écran, et on la déplace afin de former une image nette de l objet sur l écran. II.1 - Montrer qu il existe deux positions possibles pour la lentille, à condition que la distance D soit supérieure à une certaine valeur à préciser. II.2 - Notons d la distance entre ces deux positions. Exprimer la focale f en fonction de D et d seulement. II.3 - On mesure d = 60,0 cm. En déduire la focale f. II.4 - Comment modifier l expérience pour améliorer la précision du résultat? 2/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
III - Propagation dans une fibre optique [extrait banque PT 2013] Les signaux optiques peuvent être utilisés pour transporter une grande quantité d information sur d importantes distances. L épreuve complète s intéresse à quelques caractéristiques d une ligne de transmission optique, dont le synoptique est représenté ci-dessous, figure 1. L extrait présenté ici traite de la propagation guidée dans une fibre optique et des problèmes associés qui altèrent la qualité de la transmission et qui limitent le débit. Quelques questions demandent des calculs un peu complexes. Des indications complémentaires au sujet original sont alors parfois données et présentées de cette façon. Fig. 1 Synoptique d une ligne de transmission optique. III.A - Lois de Descartes On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents et homogènes : le milieu (1) d indice n 1 et le milieu (2) d indice n 2, voir figure 2. De la lumière se propage du milieu (1) vers le milieu (2). On isole un rayon frappant le dioptre en I, et formant un angle i 1 avec (N), normale au dioptre en I. On observe l existence d un rayon réfléchi dans le milieu (1) formant un angle i avec (N) et éventuellement d un rayon réfracté formant un angle i 2 avec (N). Les angles sont non-orientés. (N) Milieu (1) indice n 1 Milieu (2) indice n 2 i 1 i I i 2 Fig. 2 Lois de Descartes. III.A.1 - À quelle condition peut-on considérer que la lumière est constituée de rayons lumineux indépendants? III.A.2 - Énoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction et à la réflexion. III.A.3 - Décrire le phénomène de réflexion totale : on précisera notamment la condition sur les indices et la condition sur l angle i 1. III.B - Fibre optique à saut d indice Une fibre optique est un fin cylindre de verre, capable de guider la lumière sur de longues distances, voir figure 3. Un rayon lumineux entrant à une extrémité de la fibre reste piégé à l intérieur par réflexion totale interne. Une fibre optique à saut d indice est constituée d un cœur cylindrique d indice n 1 d un diamètre d environ 50 µm entouré par une gaine d indice n 2 < n 1. 3/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
gaine indice n 2 cœur indice n 1 z θ 0 θ i n 1 n 2 z Fig. 3 Schéma d une fibre optique. Vue en perspective, à gauche, et vue en coupe dans le plan méridien, à droite. III.B.1 - Montrer que tout rayon situé dans un plan contenant l axe de la fibre et formant dans la fibre un angle θ avec l axe peut se propager dans le cœur en restant dans ce plan si θ < θ c, avec θ c = arccos(n 2 /n 1 ). III.B.2 - Que risque-t-il de se passer si la fibre est trop courbée? On pourra illustrer au moyen d un schéma. III.B.3 - L ouverture numérique ON de la fibre est définie par ON = n 1 sin θ c. III.B.3.a - Montrer que ON = n1 2 n 2 2. Indication : On peut commencer par calculer ON 2 puis faire apparaître cos 2 θ c. III.B.3.b - On pose n 1 = n 2 + δn, avec δn petit. Établir une expression approchée de ON. Indication : Pour ε 1 et α quelconque, on donne le développement limité Le résultat à trouver est ON 2 n 2 δn (1 + ε) α 1 + αε. III.B.3.c - Évaluer ON pour n 1 = 1,53 et n 2 1,50 avec un chiffre significatif. III.B.4 - On considère que l indice de l air à l extérieur de la fibre est égal à 1,00. Soit O le point de l axe de la fibre situé sur le dioptre air-cœur. On note θ 0 l angle d incidence du rayon lumineux entrant dans la fibre en O. À quelle condition sur θ 0 le rayon se propage-t-il dans la fibre? III.C - Absorption dans une fibre optique Pendant longtemps, les pertes ont été un problème majeur de la transmission le long des fibres optiques. Au début, la puissance injectée à l entrée de la fibre était divisée par 1000 après seulement 1 km de parcours! Aujourd hui, les fibres optiques présentent des pertes bien moindres que les autres câbles. De plus, il est possible de placer à espace régulier le long de la fibre des amplificateurs de signal. On définit le coefficient d atténuation A (en décibel par kilomètre, db km 1 ) par A = 10 log P e P s où log est la fonction logarithme décimal (log x = ln x/ ln 10), P e la puissance optique du signal en entrée de la fibre et P s la puissance optique du signal récupéré au bout de 1 km de fibre. III.C.1 - Le coefficient A dépend de la longueur d onde λ, et présente un minimum pour une longueur d onde λ 0 = 1,6 µm. À quelle partie du spectre électromagnétique appartient λ 0? On considère un tronçon de fibre d axe (Oz) compris entre les cotes z = 0 et z = L. On note P(z) la puissance du signal récupéré en z. L évolution de P(z) est régie par la loi de Beer-Lambert, c est-à-dire par l équation différentielle dp dz = α P(z), où α est une constante positive. On admet 1 que cette équation différentielle a pour solution P(z) = P e e αz, où P e désigne toujours la puissance optique du signal en entrée de la fibre et e l exponentielle. III.C.2 - Quelle est la dimension de la constante α? III.C.3 - Vérifier que la fonction donnée est bien solution de l équation différentielle. III.C.4 - Exprimer la puissance P s récupérée en sortie de la fibre de longueur L en fonction de P e, α et L. III.C.5 - Pour λ 0 = 1,6 µm, A = 0,20 db km 1. Déterminer avec deux chiffres significatifs la valeur numérique de α 1. Le sujet original demande bien sûr une démonstration, qui se fait par exemple par séparation des variables. 4/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
pour cette longueur d onde. On donne ln 10 2,3. III.C.6 - Exprimer en fonction de α et L la perte relative P P = P e P s P e. III.C.7 - Exprimer les pertes relatives P/P pour L = 10 m et L = 1 km. Commenter. Indication : On donne le développement limité e ε 1 + ε, valable pour ε 1. III.D - Dispersion intermodale Une fibre optique multimode transporte la lumière le long de plusieurs rayons. Les rayons lumineux d inclinaisons différentes n ont pas le même chemin à parcourir dans la fibre, donc leur temps de parcours est variable. Il en résulte un étalement temporel du signal. Ce phénomène est la dispersion intermodale ou dispersion de mode. III.D.1 - Soit t m la différence de temps de parcours entre deux rayons lumineux se propageant dans une fibre optique à saut d indice (cœur d indice n 1, gaine d indice n 2 ) de longueur L, l un sur l axe de la fibre et l autre incliné de θ c = arccos(n 2 /n 1 ) par rapport à celui-ci. III.D.1.a - Exprimer la longueur parcourue par le rayon non parallèle à l axe en fonction de L et θ c. III.D.1.b - En déduire t m en fonction de n 1, n 2, L et c. Une série d impulsions lumineuses ultra-courtes servant de bits est envoyée dans la fibre. On note T l intervalle de temps séparant deux impulsions successives, voir figure 4. signal d entrée T Fig. 4 Signal en entrée de la fibre optique. III.D.2 - Représenter l allure du signal récupéré à la sortie de la fibre dans le cas où t m < T et dans le cas où t m > T. Commenter. III.D.3 - On note BP m la bande-passante de la fibre associée à la dispersion intermodale : BP m représente la fréquence maximale des signaux pouvant transiter dans la fibre. Exprimer BP m en fonction de n 1, n 2, L et c. III.D.4 - On considère n 1 = 1,53 et n 2 = 1,50. Évaluer numériquement BP m avec un chiffre significatif pour L = 10 m et L = 1 km. Commenter. III.D.5 - Les fournisseurs d accès internet proposent des offres «fibre optique» avec des débits allant jusqu à 1 Gbit/s. Proposer une solution technologique permettant d atteindre un tel débit. III.D.6 - Pour limiter la dispersion intermodale, on peut aussi utiliser une fibre à gradient indice : c est une fibre dont l indice n 1 du cœur dépend de la distance r à l axe. Quel doit être le sens de variation de n 1 (r)? Représenter qualitativement la trajectoire d un rayon arrivant dans la fibre en formant un angle θ avec l axe. III.E - Dispersion chromatique III.E.1 - La lumière utilisée, même si elle est issue d un laser, n est pas parfaitement monochromatique. Or l indice du cœur n 1 dépend de la longueur d onde. Expliquer en quoi cela limite le débit d informations transitant dans la fibre. Pour un signal quasi-monochromatique de longueur d onde centrale λ 0 et de largeur spectrale λ, on caractérise la dépendance du temps de propagation τ de l information par unité de longueur de fibre en fonction de la longueur d onde par la dispersion D(λ 0 ) définie par D(λ 0 ) = τ λ, où τ est la différence de temps de propagation par unité de longueur τ entre les deux extrémités du spectre. III.E.2 - On se place à λ 0 = 1,6 µm. Pour cette longueur d onde, D est de l ordre de 10 ps nm 1 km 1. On note t c la différence maximale de temps de parcours entre les différentes composantes monochromatiques. Sachant t 5/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
qu on arrive à réduire la largeur spectrale λ en sortie du laser à environ 1 nm, donner l ordre de grandeur de t c pour L = 10 m et L = 1 km. III.E.3 - En déduire l ordre de grandeur de la bande passante BP c de la fibre associée à la dispersion chromatique pour L = 10 m et L = 1 km. Commenter. IV - Vision de près et presbytie [extrait CCP MP 2013] L œil humain (voir figure 5) a sensiblement la forme d une sphère limitée par une membrane (la sclérotique) qui est transparente à l avant de l œil et forme la cornée. L intérieur du globe oculaire est divisé en deux parties séparées par le cristallin qui est une lentille convergente. Cette lentille est élastique et ses rayons de courbure varient lorsque l œil accommode, c est-à-dire quand il passe de la vision de loin à la vision de près. La partie antérieure entre la cornée et le cristallin est remplie d un liquide appelé humeur aqueuse. L iris permet à l œil de diaphragmer et définit la pupille. La partie postérieure du cristallin est formée du corps vitré. La rétine qui sert de détecteur est tapissée de cellules de deux types différents, les cônes et les bâtonnets qui transforment l excitation lumineuse en influx nerveux. La fovéa, partie de la rétine située sur l axe optique de l œil, est la partie la plus sensible de la rétine. Fig. 5 Schéma en coupe de l œil humain. L œil normal (emmétrope) permet de voir des objets situés devant lui depuis une distance d min (distance minimale de vision distincte) jusqu à la distance d max (distance maximale de vision distincte). Pour cela, l œil accommode, c est-à-dire que les rayons de courbure de la lentille se modifient sous l effet des muscles ciliaires. IV.1 - Rappeler les valeurs numériques des distances minimale et maximale de vision distincte. On se place dans le cas de la vision de près quand l œil accommode au maximum. Si l image se forme sur la rétine au niveau de la fovéa, l œil peut distinguer deux points proches suffisamment contrastés si leur distance angulaire est supérieure à ε = 4 10 4 rad. Cette limite de résolution augmente fortement en vision périphérique. Pour la vision de près, on peut assimiler l œil à une lentille mince (L) biconvexe, convergente, plongée dans l air d indice 1. Tous les rayons lumineux seront considérés comme étant paraxiaux. S est le centre optique de la lentille, F o son foyer principal objet, F i son foyer principal image, V sa vergence et f i sa distance focale image. La rétine, centrée au point R, est située à une distance du cristallin anatomiquement invariable : la distance SR = 16,7 mm reste fixe quelle que soit l accommodation. 1 Donnée numérique : 16,7 = 0,060. IV.2 - On note p o = SA o la mesure algébrique repérant la position d un objet lumineux A o B o perpendiculaire à l axe optique et dont l image se forme sur la rétine. La position de l image est repérée par la grandeur algébrique p i = SA i. Donner la relation entre p o, p i et la vergence V de la lentille (L). Quel nom porte cette relation? Donner la dimension de la vergence V et son unité en fonction des unités de base du Système International. IV.3 - On s intéresse aux valeurs possibles pour la vergence V de l œil. IV.3.a - Calculer la valeur V max de V quand l œil emmétrope regarde un objet situé à la distance minimale de vision distincte d min. IV.3.b - Calculer la valeur V min de V dans le cas où ce même œil emmétrope regarde un objet placé cette fois à la distance maximale de vision distincte d max. IV.3.c - La variation de vergence de l œil A = V max V min est appelée l amplitude d accomodation. Calculer A dans 6/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
le cas de l œil emmétrope. IV.4 - Avec l âge, l amplitude d accomodation se réduit. Cette diminution physiologique porte le nom de presbytie. En pratique, un individu est presbyte quand il doit éloigner un journal de plus de 35 cm de son œil pour lire. Dans ce cas, la distance minimale de vision distincte augmente (d min = 35 cm) et d max = d max reste inchangé. IV.4.a - Déterminer l amplitude d accomodation de l œil emmétrope d un individu devenu presbyte. IV.4.b - Quelle est la taille A o B o minimale des caractères du journal placé à d min = 35 cm que peut lire cet individu presbyte? IV.4.c - Quelle serait la taille A o B o minimale des caractères si la presbytie de l individu augmentait de telle façon qu il doive placer le journal à 1 m de son œil? Conclure. IV.5 - Une personne voit nettement un point à l infini sans accomoder mais ne peut voir un point situé à moins de 1 m en accomodant au maximum. Pour pouvoir lire confortablement un journal placé à 25 cm devant lui, il porte des lunettes dont chaque verre, assimilé à une lentille mince convergente (L L ) de vergence V L et de centre optique S L, est placé 2 cm devant le centre optique de l œil, voir figure 6. Dans ces conditions, il n accomode pas. (L L ) (L) B o S L S R A o Fig. 6 Verre de lunette placé devant l œil pour la vision de près. IV.5.a - Calculer la distance focale image f L des verres des lunettes. IV.5.b - En recopiant sur votre copie le schéma de la figure 6, représenter deux rayons issus de B o qui atteignent la rétine. Les échelles peuvent ne pas être respectées mais vous justifierez votre construction géométrique. IV.5.c - En conservant ses lunettes, l individu presbyte peut-il voir des objets situés à moins de 25 cm de ses yeux? Si oui, jusqu à quelle distance de ses yeux? IV.5.d - Un individu presbyte peut-il regarder de loin avec ses lunettes? En conclusion, quel type de lunettes doit-il porter pour pouvoir facilement passer de la vision de près à la vision de loin? 7/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Document réponse à rendre avec la copie La première chose à écrire sur ce document réponse est votre nom. Ce document réponse est relatif à la question I.1, page 2. Construire l image A B de l objet AB en laissant apparents les rayons permettant la construction. Attention, l échelle n est pas la même dans la direction horizontale et dans la direction verticale. F B C A O F 8/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr