PT 208-209 Pour le jeudi 04-0-208 DEOIR LIBRE n L usage de calculatrices est interdit pour l ensemble des problèmes constituant ce devoir. PREMIER PROBLEME : Etude d un oscillateur sinusoïdal L usage de calculatrices est interdit pour ce problème. ) On considère le quadripôle représenté sur la igure ci-dessous. Dans ce montage, C et C2 sont les capacités des deux condensateurs ; v(t) et v2(t) sont les valeurs instantanées des tensions d entrée et de sortie du quadripôle. On suppose que le régime de onctionnement du quadripôle est sinusoïdal de pulsation. Pour la suite du problème, on utilisera la notation complexe dont on rappelle que : - l amplitude complexe de la grandeur instantanée sinusoïdale v(t) est notée, - le nombre complexe dont le carré est égal à - est noté j, ce qui implique j 2 = -..) Donner le nom de ce montage classique et préciser son utilité. Exprimer le rapport 2 en onction de C et C2. Quelle relation existe-t-il entre les phases de v2(t) et de v(t)?.2) On considère maintenant le quadripôle représenté sur la igure 2 ci-dessous. On reconnait, en partie dans cette représentation, le quadripôle de la igure. Dans ce montage, R est la valeur de la résistance, L celle de l inductance de la bobine ; v (t) est la tension d entrée du nouveau quadripôle. On convient de noter Z l impédance complexe de l ensemble ormé par la bobine d inductance (L) et les deux condensateurs (C et C2). Etablir l expression de Z en onction de L, C, C2 et.
.3) Exprimer le rapport en onction de R et Z, puis en onction de R, L, C, C2 et..4) En déduire l expression de la onction de transert T(j ) = 2 que l on mettra sous la orme : T (j ) a d j b j Expliciter les coeicients a, b et d de la onction de transert T en onction de R, L, C et C2. Quelles sont les dimensions des coeicients a, b et d? 2) On envisage maintenant l utilisation d un ampliicateur linéaire intégré, supposé idéal, de gain inini, en régime de onctionnement linéaire. Dans ces conditions, on a : v+ = v- et i+ = i- = 0 (igure 3 cidessous). L ampliicateur linéaire intégré est inséré dans le montage représenté sur la igure 4 ci-dessous. R et R2 sont deux résistances. On remarquera la présence du quadripôle de la igure 2 dans ce montage. 2.) On envisage, pour ce montage, un régime de onctionnement sinusoïdal permanent. Exprimer l amplitude complexe -, de deux manières diérentes, tout d abord : - en onction de e, - en onction de T et s. En déduire une relation entre s, R et R2, puis e et s aisant intervenir T, R et R2. 2.2) On relie maintenant R directement à la masse, ce qui revient à annuler la tension d entrée (ve = 0). Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir vs(t) diérent de zéro. Dans cette situation, vs(t) peut être une onction sinusoïdale du temps. Exprimer la condition d oscillation par une relation simple entre R, R2, C et C2. C C2 On pose C =. Exprimer la pulsation des oscillations en onction de L et C. C C 2
DEUXIEME PROBLEME : Autour de l Ampliicateur Linéaire Intégré L usage de calculatrices est interdit pour ce problème. Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes. Dans ce problème, on s intéresse à un Ampliicateur Linéaire Intégré (ALI), également appelé Ampliicateur Opérationnel (AO). I) LIMITES AU MODELE IDEAL ET LINEAIRE D UN AMPLIFICATEUR LINEAIRE INTEGRE : On étudie ici quelques limites au modèle de l ALI idéal de gain inini, en régime linéaire. On rappelle la caractéristique de transert d un ALI, ou ampliicateur de diérence, idéal de gain inini (igures la et b). ) Dans le montage représenté igure 2, le quadripôle étudié est ormé d un ALI et deux résistances, l ALI est idéal de gain inini et onctionne dans sa zone linéaire. Exprimer : a) A tel que us(t) = A ue(t). b) La résistance d entrée du quadripôle. c) La résistance de sortie du quadripôle. 2) LIMITES AU FONCTIONNEMENT LINEAIRE DE L ALI IDEAL : On considère le montage igure 2. a) Comment mesurer expérimentalement les tensions de saturation Usat et U sat? b) Le constructeur indique un i s max de 20 ma. On applique à l entrée du quadripôle ue(t)=uem cos( t) avec Uem =,0, R2 = 00 k, R = 0 k, Usat = U sat = 4,0. Comment choisir la valeur d une résistance Ru placée en sortie pour garder un onctionnement linéaire? du c) La sortie ne reste linéaire que si S, est appelée vitesse de balayage de l ALI (slew rate), le dt constructeur indique pour l ALI précédent =,0. s -. On applique à l entrée la même tension qu au 2b), on augmente, jusqu à quelle valeur de, us(t) reste-t-elle théoriquement sinusoïdale? Décrire la déormation de us(t) et dessiner l allure du graphe us(t), pour des valeurs >. On peut se servir de l apparition de cette déormation pour estimer, proposer une autre méthode de mesure expérimentale de. 3) INFLUENCE DE QUELQUES «DEFAUTS» D UN ALI REEL : On considère un modèle d ALI réel en onctionnement linéaire où l on néglige tension de décalage et courants de polarisation : igure 3. a) On prend rd ininie et (gain diérentiel) ini. Représenter le schéma équivalent du montage de la igure 2 avec ce modèle pour l ALI. Calculer la résistance de sortie du quadripôle en onction de rs, u S R et R2. On rappelle la déinition de la résistance de sortie : R S i. S b) On considère maintenant ini et onction de la réquence de la tension appliquée à l entrée, à l exclusion de tout autre déaut, notamment on prend rd ininie et rs = 0. On adopte comme modèle µ 0 pour le gain complexe : µ( ) avec j 2 = -. Comment nomme-t-on ce modèle? j c u E 0
H 0 b) Etablir alors la onction de transert du quadripôle igure 2 et l écrire : H. j Calculer H0 en onction de 0 et A (c ) et 0 en onction de C, A et 0. b2) On prend 0 =,0.0 5, R2 = 00 k, R = 0 k, C = 0 Hz. Calculer numériquement H0 et en donner une expression littérale approchée. Tracer, sur le même graphe, l allure des diagrammes de Bode asymptotiques en amplitude pour et H. On prendra comme échelle cm pour 0 db en ordonnée et 2 cm pour une décade en abscisse. Interpréter les limitations en réquence observées expérimentalement avec le montage igure 2. 0 II) ETUDE D UN DISPOSITIF POUANT SERIR D HORLOGE : On désire obtenir en sortie d un oscillateur, qui servira d horloge, la tension représentée igure 4. On appelle rapport cyclique : = / T0. ) LE MONTAGE DE BASE : (igure 5), il utilise un ALI idéal de gain inini onctionnant dans sa zone non linéaire (comparateur à hystérésis). Les tensions de saturation de l ALI sont Usat et Usat. a) A t = 0, - = 0 et us = + Usat. On note R Usat. Exprimer -(t) pour t 0, en onction de t, R R 2 R, C, et USat. b) Représenter -(t), us(t) et us(-). c) Calculer la période T0 en onction de R, C, et Usat puis R, C, R et R2. Calculer AN : R = 20 k, R2 = 80 k, R = 5,0 k et on veut T0 = 20 s. Calculer C. On donne : 2,5. ln,5 d) Qualitativement, comment le slew rate limité de l ALI modiie-t-il la orme de us(t)? On donnera l allure du graphe us(t). Usat = 4,0, numériquement, quelle condition devrait respecter pour que les commutations soient acceptables (durée de commutation inérieure à T0 / 2)? On envisage maintenant des modiications du montage de base permettant des réglages indépendants de la période et du rapport cyclique. 2) MODIFICATION DE LA PERIODE : On réalise le montage igure 6 où Rp est un potentiomètre de 25 k, k variant de 0 à. Les autres composants ont les valeurs indiquées au II) ). a) Exprimer T0 en onction de R, C, R, R2, Rp et k. b) Quelles sont les valeurs numériques extrêmes de 0 = / T0? On donne : ln(,4) = 0,32 et ln(2,) = 0,74. c) Que vaut, dans ce cas, le rapport cyclique? 3) MODIFICATION DU RAPPORT CYCLIQUE : On réalise le montage igure 7 où R p est un potentiomètre de 4,7 k, k variant de 0 à, R = R = 00. Les diodes sont idéales et les autres composants ont les valeurs indiquées au II) ). a) Calculer la période T0, dépend-elle de k? b) Calculer le rapport cyclique en onction de R, R, R p et k. Quelles sont ses valeurs numériques extrêmes pour k variant de 0 à?
TROISIEME PROBLEME : Statique des luides L usage de calculatrices est interdit pour ce problème. On considère un récipient cylindrique de rayon R, ayant un ond hémisphérique, et contenant une hauteur H d un liquide de masse volumique constante. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniorme et l accélération de la pesanteur est notée g. L axe z est l axe vertical ascendant. On a z = 0 au point O (centre de la demi-sphère). La pression atmosphérique est notée P0. ) Etablir la relation ondamentale de la statique des luides, liant l accélération de la pesanteur g. dp, la masse volumique et dz 2) En déduire la pression dans le liquide à l altitude z en onction de P0,, g, H et z. 3) Déterminer la résultante des orces pressantes exercées par le liquide sur le ond hémisphérique, grâce à la méthode vue en cours. 4) De la même manière, déterminer la résultante des orces pressantes exercées par l air sur le ond hémisphérique. 5) En déduire la résultante des orces pressantes exercées sur le ond hémisphérique. 6) Commenter le résultat obtenu : à quoi est égale cette résultante? 7) Retrouver l expression de la résultante des orces pressantes exercées par le liquide sur le ond hémisphérique en appliquant une relation ondamentale de la dynamique au liquide qui surmonte la demi-sphère.