SYSTEMES D EQUATIONS I Définition: Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme : a x + b y = c a' x + b' y = c' où a, b, c, et a', b', c' sont des nombres donnés. Exemple: 2x 3y = 5 x 2y = 1 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver tous les couples ( x ; y ) pour lesquels les deux équations sont vérifiées simultanément, c'est à dire en même temps. Remarque: En classe de 3 ième, tous les systèmes étudiés ont un seul couple solution. II Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues: 1) Vérifier qu'un couple est solution d'un système. Exemple: Les couples ( 7 ; 3 ) et ( 1 ; 1 ) sont-il solutions du système? 2x 3y = 5 x 2y = 1 le couple ( 7 ; 3 ) est-il solution? 2 7 3 3 = 5 donc ( 7 ; 3 ) est solution de la 1 ère équation 7 2 3 = 1 donc ( 7 ; 3 ) est solution de la 2 ième équation Ainsi le couple ( 7 ; 3 ) est solution du système. 74
Le couple ( 1 ; 1 ) est-il solution? 2 1 3 ( 1 ) = 5 donc ( 1 ; 1 ) est solution de la 1 ère équation 1 2 ( 1 ) = 3 (différent de 1) donc ( 1 ; 1 ) n'est pas solution de la 2 ème équation Ainsi le couple ( 1 ; 1 ) n'est pas solution du système. Remarque: Dans un couple de nombres ( x ; y ), l'ordre des termes est important. Ex: ( 7 ; 3 ) est solution du système mais pas ( 3 ; 7 ). 2) Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues a) Méthode d'élimination par substitution: Exemple: Résoudre le système: x + 3y = 10 (1) 3x + 5y = 18 (2) N 1: Pour résoudre un système par substitution, on exprime y en fonction de x ou x en fonction de y dans l'une des deux équations. Parmi ces quatre possibilités, on choisit celle qui rend les calculs les plus simples. Dans l'exemple, le coefficient de x dans la première équation est 1, on choisit donc d'exprimer x en fonction de y dans cette équation. N 2: On réécrit le système en remplaçant dans l'autre équation l'inconnue choisie par l'expression obtenue à l'étape n 1. On obtient ainsi un système dont l'une des deux équations est une équation du premier degré à une inconnue. x + 3y = 10 3x + 5y = 18 x + 3y 3y = 10 3y 3x + 5y = 18 x = 10 3y 3x + 5y = 18 3 ( 3y + 10 ) + 5y = 18 3 ( 3y) + 3 10 + 5y = 18 9y + 30 + 5y = 18 75
N 3: On résout l'équation à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. 9y + 30 + 5y 30 = 18 30 9y + 5y = 12 4y = 12 4y 4 x =10 3y y = 3 = 12 4 N 4: On remplace cette inconnue par sa valeur trouvée au n 3 dans l'équation à deux inconnues et on calcule la valeur de l'autre inconnue. x = 10 3 3 y = 3 x = 1 y = 3 N 5: On vérifie le résultat 1 + 3 3 = 10 donc ( 1 ; 3 ) est solution de la 1 ère équation. 3 1 + 5 3 = 18 donc ( 1 ; 3 ) est solution de la 2 ième équation N 6: On conclut Donc le couple ( 1 ; 3 ) est solution du système. b) Méthode d'élimination par combinaison. Exemple : Résoudre le système 2x + 3y = 5 5x + 4y = 16 76
N 1: On choisit l'inconnue que l'on veut éliminer puis on multiplie les deux membres de chacune des deux équations par des nombres choisis de façon à obtenir des coefficients de cette inconnue opposés dans chacune des deux équations. Dans l'exemple, on choisit d'éliminer x. Pour cela, on multiplie les deux membres de la 1 ère équation par 5 et ceux de la seconde par (-2). 2x + 3y = 5 5 5x + 4y = 16 (-2) On obtient: 2x 5 + 3y 5 = 5 5 5x (-2) + 4y (-2) = 16 (-2) 10x + 15y = 25 10x 8y = 32 N 2: On additionne membre à membre les deux équations du système obtenu On ajoute membre à membre: 10x 10x + 15y 8y = 25 32 On a: 7y = 7 N 3: On résout l'équation à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue 7y 7 = 7 7 d ou y = 1 N 4: On remplace cette inconnue par sa valeur trouvée au n 3 dans l'une des deux équations et on calcule la valeur de l'autre inconnue. N 5: On vérifie N 6: On conclut Dans la 1 ère équation, on obtient: 2x + 3 ( 1 ) = 5 2x 3 + 3= 5 +3 2x = 8 2x 2 x = 4 = 8 2 2 4 + 3 ( 1) = 5 donc ( 4 ; 1) est solution de la 1 ère équation 5 4 + 4 ( 1) = 16 donc ( 4 ; 1) est solution de la 2 ième équation. Donc le couple ( 4 ; 1) est solution du système. 77
III Interprétation graphique d'un système 1 ) Représentation graphique des solutions d'une équation à deux inconnues. A chaque couple solution de l'équation ax + by = c, on peut associer un point de coordonnées (x ; y). L'ensemble de ces points est une droite. On obtient une équation de cette droite en exprimant y en fonction de x. Exemple: Les solutions de l'équation 2x 3y = 5 sont les coordonnées des points de la droite ayant pour équation y = 2 3 x 5 3 fonction de x. 2 ) Résolution graphique d'un système que l'on obtient en exprimant y en La solution d'un système de deux équations à deux inconnues correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites associées aux deux équations. (D 1 ) Exemple: 2x y = 1 2x y + y 1 = 1 + y 1 2x 1 = y x + 2y = 4 x + 2y + x = 4 + x 2y = x + 4 y = 2x 1 soit y = 2x-1 2y 2 = x 4 2 x 0 1 y = 2x 1-1 1 Pour x = 0, y = 2 0 1 = 1 donc A 0; 1 D1 Pour x = 1, y = 2 1 1 = 1 donc B 1;1 D1 (D 2 ) x 0 4 y = 1 2 x +2 y = 1 2 x +2 2 4 Pour x = 0, y = 1 2 0 2 = 2 donc C 0 ;2 D2 Pour x = 4, y= 1 2 4 2=2 donc E 4;4 D2 78
Sur le graphique, les droites (D1) et (D2) sont sécantes au point P(2 ; 3), donc le couple (2 ; 3) est solution du système. ATTENTION!!! Lors d'une résolution graphique, le résultat obtenu est souvent approché. IV Résolution d'un problème à l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues. Exemple: Un cinéma propose deux tarifs d'entrée: l'un à 7, l'autre à 4,50 La vente de 227 tickets a donné une recette de 1459. Combien de tickets de chaque sorte ont été vendus? Solution : Choix des inconnues Soit x le nombre de tickets vendus à 7. Soit y le nombre de tickets vendus à 4,50. Mise en équation x + y = 227 7x + 4,5y = 1459 Résolution du système (méthode au choix) On obtient x = 175 y = 52 Vérification 175 + 52 = 227 7 175 + 4,5 52 = 1459 Conclusion Il y a eu 175 tickets vendus à 7 et 52 tickets vendus à 4,50. 79