équations de droites Chapitre Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère (O ; I, J). I- Équations d'une droite O I J e des ordonnées e des abscisses - Qu'est-ce qu'une équation de droite? On note d une droite du plan. Une équation de la droite d est une relation qui lie les coordonnées de tous les points de la droite. utrement dit, un point appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de d. Eemple On considère la droite (Δ) ci-contre. Tous les points de cette droite ont une ordonnée égale au double de leur abscisse. La relation = est donc une équation de la droite (Δ). a = ( ; 6) Eercice On considère la droite (Δ) précédente d'équation =. - Remarque On note le point de (Δ) d'abscisse 00. Son ordonnée est : 00 soit 00. On note B le point de (Δ) d'ordonnée 500. Son abscisse est la solution de l'équation =500. L'abscisse de B est donc : = 500 soit 50. Une droite a plusieurs équations. ( ; ) 0 a (- ; -) Eemple Reprenons l'eemple précédent. = est une autre équation de la droite (Δ). =4 est une autre équation de la droite (Δ).
. Méthode : savoir démontrer qu'un point appartient à une droite (ou pas!) Soit ( ; ) un point du plan et d la droite d'équation =m+ p. Le point appartient-il à la droite d? On remplace par l'abscisse de et on calcule : m + p. Si le résultat est égal à l'ordonnée du point alors appartient à la droite d sinon le point n'appartient pas à la droite d. Eemple Soit (d) la droite d'équation = +4. =-+4 5 On considère le point ( ; ). 4 +4= +4= +8 = 5 =,5 donc le point n'appartient pas à (d). On considère le point B ( ; ). +4= +4= donc B appartient à (d). - - - 0 II- Équation réduite d'une droite - a. Droite parallèle à l'ae des ordonnées =a Une droite parallèle à l'ae des ordonnées a pour équation réduite : = a (où a est un nombre réel). 0 a Tous les points de cette droite ont la même abscisse a. Eemple = C La droite rouge ci-contre a pour équation =. Tous les points de cette droite ont pour abscisse. Eemples : ( ; -), B( ; 0) et C( ; ). 0 B
b. Droite non parallèle à l'ae des ordonnées Une droite non parallèle à l'ae des ordonnées a pour équation : = m + p où m et p sont des nombres réels. m est le coefficient directeur. p m =m+p p est l'ordonnée à l'origine. 0 Remarque : La droite d'équation =m+ p représente la fonction affine f définie sur par : f()=m + p. Cas particuliers : m = 0 : la droite a pour équation = p. Cette droite est parallèle à l'ae des abscisses et elle représente la fonction constante définie par f ()= p. p =p Tous les points de cette droite ont la même ordonnée p. 0 =m p = 0 : la droite a pour équation =m. Cette droite passe par l'origine du repère et elle représente la fonction linéaire définie par f ( )=m. 0 - Méthode : donner l'équation réduite d'une droite par lecture graphique dans un repère orthogonal Si la droite est verticale, on lit a l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'ae des abscisses. L'équation réduite de la droite est : = a. Eemples : = 0 = Si la droite est horizontale, on lit p l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'ae des ordonnées. L'équation réduite de la droite est : = p. Eemples : = 0 0 = 0
Dans les autres cas, la droite a pour équation = m + p. Pour obtenir m : «Vers le haut» «Vers le bas» m = + ou - Déplacement vertical + ou - Déplacement horizontal «Vers la droite» «Vers la gauche» Pour les déplacements horizontau et verticau, on choisit deu points sur les nœuds du quadrillage puis on compte les unités (si le repère est orthonormé, on peut compter les carreau). Pour obtenir p : p est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'ae des ordonnées. Si p n apparaît pas sur le graphique, on choisit un point de la droite et on traduit l'appartenance de ce point à la droite. Eemples Repère orthogonal Repère orthonormé D D - D 5 4 + D - + 0 - - - 6-6 -5 - - - 0 - - - D 4 d : = d : = 6 +0 = d : = d : = 4 + d : = + p Le point de coordonnées (-;4) appartient à la droite d donc : ( )+ p=4 soit p=4+6=0. d : = +0.
- Méthode : déterminer l'équation réduite d'une droite par le calcul (On connaît les coordonnées de deu points de la droite) Les points ont la même abscisse a (a est un nombre réel, a ) Si (a ; ) et B(a; B ) alors (B) : =a. Les points ont la même ordonnée p (p est un nombre réel, p ) Si ; p et B B ; p alors (B) : = p. Eemple avec (;-) et B(;). La droite (B) a pour équation =. - 0 - - - B = Eemple avec (-;) et B(;). La droite (B) a pour équation =. B = - - - 0-4 5 Cas général : soit ( ; ) et B( B ; B ) deu points du plan. (les abscisses sont différentes ( B ) et les ordonnées sont différentes ( B ). La droite (B) a une équation du tpe : =m+ p. Méthode : calcul de m et p Le coefficient directeur m de la droite (B) est : m= B B. Eemple : Déterminer une équation de la droite (B) avec (4 ; -7) et B(6 ; -). On a : B donc la droite (B) a une équation du tpe : =m p. m= B = 7 = 4 B 6 4 =. On a donc : (B) : = p. (B) donc 4 p= 7 soit p= 7 8=. La droite (B) a pour équation : =. Méthode : avec un sstème Eemple : Déterminer une équation de la droite (B) avec (4 ; -7) et B(6 ; -). On a : B donc la droite (B) a une équation du tpe : =m p. (B) donc m 4+ p= 7 soit 4m+ p= 7. B (B) donc m 6+ p= soit 6m+ p=. { 4 m+ p= 7 On résout le sstème : 6m+ p=. Par soustraction des deu lignes, on a : m=4 soit m= 4 =. En reportant la valeur de m dans la ère équation, on a : 4 ( )+ p= 7 soit p= 7+8=. La droite (B) a pour équation : =.
III- Droites parallèles, droites sécantes - Droites parallèles =- (d) = (d') (d'') =5 a. Propriété Toutes les droites parallèles à l ae des ordonnées sont parallèles entre elles. Rappels : ces droites ont une équation du tpe =a où a est un nombre réel. - - - - - - 0 4 5 6 Les droites (d), (d') et (d'') sont parallèles. b. Propriété Les droites non parallèles à l ae des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. utrement dit : Soit (d) d équation =m+ p et (d ) d équation =m' + p ' (m, m, p et p sont des réels. Les droites (d) et (d ) sont parallèles si et seulement si m=m'. c. pplication Soit (d) la droite d équation = et (;5). Déterminer l équation réduite de la droite (Δ) parallèle à (d) et passant par. Les droites (d) et (Δ) sont parallèles donc elles ont le même coefficient directeur. La droite (Δ) a donc une équation du tpe = + p. (;5) (Δ) donc + p=5 soit p=5 =. La droite (Δ) a donc pour équation = +. - Droites sécantes a. Propriété Deu droites sont sécantes si et seulement si elles ne sont pas parallèles. Conséquences Soit (d) d équation =m+ p et (d ) d équation =m' + p ' (m, m, p et p sont des réels. Les droites (d) et (d ) sont sécantes si et seulement si m m'. La droite (d) d équation =m+ p et la droite d équation =a (a ) sont toujours sécantes.
- Méthode : savoir déterminer les coordonnées du point d intersection de deu droites (d) Soit (d) la droite d équation = et (d ) la droite d équation = +. 5 Déterminer les coordonnées du point d intersection des droites (d) et (d ). 4 (d') Les coordonnées ( ; ) du point d intersection des droites (d) et (d ) vérifient : { = = +. L abscisse du point d intersection est donc solution de : = +. = + =. On reporte la valeur de trouvée dans l une des deu équations : = =5. - - 0 - - Le point d intersection a pour coordonnées (;5). - 4- Méthodes : savoir démontrer que trois points sont alignés Démontrer que les points ( ; ), B( ; -) et C(4 ; 8) sont des points alignés. Méthode Méthode Les points, B et C sont alignés si et seulement si C appartient à la droite (B). B Donc la droite (B) a une équation du tpe =m+ p où m et p sont des réels à déterminer. m= = = donc (B) : = + p. B (B) donc + p= soit p= = 4. La droite (B) a pour équation = 4. C(4;8) et 4 4= 4=8= C donc C (B). Les points, B et C sont alignés si et seulement si les droites (B) et (C) ont le même coefficient directeur (elles sont alors confondues). m (B) = = =. m (C) = 8 4 =6 =. Les droites (B) et (C) ont le même coefficient directeur donc elles sont confondues. Conclusion :, B et C sont alignés. Conclusion :, B et C sont alignés.