LA DEMI-VIE EN RADIOACTIVITE. UN OUTIL POUR RESOUDRE DES PROBLEMES Groupe Mathéatiques et Sciences Physiques au Lycée IREM de Toulouse Michèle Fauré, Pierre López, Monique Mandleur, Monique Sosset Rédacteur : Monique Sosset En cours de sciences physiques en Terinale Scientifique, au oent de l étude de la radioactivité, on utilise traditionnelleent le passage de la fonction exponentielle à la fonction logarithe pour résoudre des problèes de déterination de durées. Or, au oent où est traité le cours sur la radioactivité en sciences physiques, la fonction logarithe n'a pas, en général, fait encore l objet d un enseigneent en cours de athéatiques. Nous proposons une éthode de résolution de ce type de problèe ettant en jeu la notion de dei-vie qui évite l'eploi de la fonction logarithe. Ainsi, nous donnons à la notion de deivie qui est un «objet» d enseigneent en sciences physiques (prograes ), un aspect «outil». On expose ici cette éthode à partir d un exercice pris dans le livre de Physique de Terinale S (éditeur Nathan collection Toasino ).
I. Enoncé de l exercice. Le Thoriu 37 9Th est radioactif et éetteur α. La dei-vie radioactive (ou période ) du thoriu 37 est égale à 8 jours. On dispose initialeent (t = ) d'une source radioactive de thoriu de asse = µ g. a. Ecrire l'équation de sa désintégration sachant qu'elle produit du radiu Ra. Calculer la asse de thoriu 37 restante aux deux dates t = 36 jours et t = 6 ois. b. A quelles dates la asse de thoriu 37 restante est-elle de,56 µ g et de,39 µ g? c. A quelle date la asse de thoriu 37 restante est-elle voisine de ng? II. Solution avec la éthode classique. a. 37 9Th 4 He + 33 88 Ra A partir de la loi de décroissance radioactive N( t) = N e date t est donnée par la relation : = e.. t t = et la constante de désintégration radioactive.. t, la asse de thoriu restante à la où est la asse initiale à la date. Evaluation de la constante de désintégration radioactive. Au bout d'un teps Soit : t écoulé égal à une dei-vie, il reste la oitié de la asse initiale..t.t =.e Soit = e ll s'ensuit : ln ln = =. t 8. Déterination des asses restantes selon la question posée. α. Au bout de 36 jours, la asse restante est : = e 36 36.. = e =, 5µ g puisque = µ g. t est la notation officielle qui n'est pas sans poser de problèe (voir notes 3 et 4 ). En ce qui concerne la valeur de la asse, nous ne nous attarderons pas ici sur la question des chiffres significatifs ou de précision.
β. Au bout de 6 ois soit environ 8 jours, la asse restante est : = e. 8 4 = 9, 8. µ g. b. La asse restante est égale à,56 µg au bout du teps t tel que :., 56 = e t, soit t =.ln, 56 = 8 jours au jour près. De êe, la asse restante est égale à,39 µ g au bout du teps t tel que :,39 = e.t. Soit t =.ln,39 = 44 jours au jour près c. La asse restante est égale à ng au bout du teps t tel que :., = e t Soit t =.ln, = 79 jours au jour près. Coentaire sur cette éthode. On voit coent cette éthode fait intervenir de façon classique l'utilisation de la fonction logarithe népérien en tant que fonction réciproque de la fonction exponentielle. Coe on l a dit plus haut, au oent où les physiciens étudient la radioactivité avec leurs élèves, la fonction logarithe n'a pas été étudiée dans le cours de Mathéatiques. Si l'utilisation de la touche "ln" de la calculatrice pour les applications nuériques ne pose pas a priori de problèe pédagogique, il nous seble préférable d'éviter son eploi préaturé dans le cours de Sciences Physiques. En effet, l'introduction du logarithe népérien dans le cours de sciences physiques peut nuire à la construction de cette fonction en cours de athéatiques. III. Proposition d'une autre éthode de résolution.. Principe de la éthode. Nous proposons ici une autre éthode de résolution qui rend opératoire de façon effective la notion de dei-vie essentielle dans le cours de Physique.
En effet, il s agit que les élèves aient bien copris que si la asse de l'échantillon radioactif est divisée par deux au bout d'une durée égale à une dei-vie t, elle sera divisée par quatre ( ) au bout de deux dei-vies, divisée par huit ( 3 ) au bout de trois dei-vies etc L'idée de la éthode en découle. Il s agit de trouver la puissance de la plus proche de la valeur du rapport entre la asse restante et la asse initiale, ce qui perettra de déteriner le nobre de dei-vies écoulées. Illustrons-le sur cet exeple.. Application à l'exercice précédent. Il suffit donc de considérer que si au bout du teps t la asse restante est égale à, au bout du teps t de suite. elle sera égale à ( ), soit, au bout du teps 3 t elle vaudra 3 et ainsi a. Pour t = 36 jours, on rearque que t représente dei-vies. 3 Donc la asse restante sera égale à =, 5 µ g De êe, pour t = 6 ois soit environ 8 jours, t représente dei-vies. 4 Donc la asse restante sera égale à = 9 8 4,. µ g On aura rearqué que la déterination de n'est ici pas nécessaire. b. Quand la asse restante vaut,56 µ g, la asse a diinué dans le rapport : = = 64,., 56 En prograant à l'aide de la calculatrice la suite de tere général n pour des valeurs de n augentant de en à partir de la valeur, on obtient un tableau des valeurs des puissances de. On détecte ainsi que la puissance de la plus proche du nobre 64, est 64 soit 6. Il s'est donc écoulé 6 dei-vies. Soit une durée de 6 8 = 8 jours. 3 On ne anquera pas d être «ausé» par la notation : t = t! 4 Ici : t = t!
Quand la asse restante vaut,39 µ g, la asse a diinué dans le rapport : = = 56, 4, 39 D'après le tableau, la puissance de la plus proche du nobre 56,4 est 56 soit 8. Il s'est donc écoulé 8 dei-vies. Soit une durée de environ 8 8 = 44 jours. c. Quand la asse restante vaut, µ g, la asse a diinué dans le rapport : =, = D'après le tableau, la puissance de la plus proche de ce nobre est 4 soit. Il s'est donc écoulé dei-vies. Soit une durée de environ 8 = 8 jours. Coentaire sur cette deuxièe éthode. Nous constatons qu'avec cette éthode nous trouvons au b) les êes valeurs que précédeent avec la preière. Au c), il y a une différence de jour, différence < %, donc non significative d'un point de vue physique. Les valeurs sur lesquelles nous avons travaillé sont proches de puissances de. Il en est de êe dans la plupart des exercices que l'on peut trouver dans les livres actuels. Bien sûr, ceci n'est pas général. La question se pose donc de savoir quelle est la pertinence de cette éthode dans le cas général. 4. Envisageons la question suppléentaire suivante. A quelle date la asse de Thoriu restante est elle voisine de,59 ng? Par la preière éthode, la asse restante est égale à,59 ng au bout du teps t tel que : 3. 59 6, = e t Soit t =.ln 5, 9 = 33 jours au jour près. Par la deuxièe éthode, =, 59 3 = 6949, 5 La puissance de la plus proche étant 7, il s'est donc écoulé 7 dei-vies. Soit une durée de environ 8 7=36 jours.
L'erreur 5 est de Coentaire. 7 =,. Soit :, % 3 On peut se poser la question de savoir laquelle de ces deux valeurs est la "eilleure". Mais en fait, est-ce une bonne question? En effet, ce qu il faut savoir d un point de vue physique, c est que la désintégration est un phénoène statistique odélisé par la loi : N = N.e - t. Les calculs exacts faits à partir de cette loi ne traduisent donc pas une réalité déterinée. Le nobre N à la date t est une valeur oyenne 6. En d autres teres, le calcul exact avec la fonction logarithe n'a pas de signification physique. C'est l'ordre de grandeur qui est iportant et la éthode de calcul du teps de dei-vie donne cet ordre de grandeur. On peut donc résuer ce que nous venons de voir en disant que la radioactivité peut être abordée sous l angle de deux odèles différents 7. L un est basé sur la loi : N = N.e - t, et dans lequel il est alors légitie de faire des calculs «exacts» utilisant la fonction logarithe. Il est iportant d insister sur le fait que la légitiité des calculs est interne au odèle. L autre est basé uniqueent sur la notion de dei-vie et dans le type de problèe évoqué aboutit à des ordres de grandeurs. A nouveau, le fait de savoir si une réponse est vraie ou fausse est déteriné de anière interne au odèle. Se pose alors la question de la pertinence du odèle par rapport au phénoène physique. On aura copris, vu une rearque déjà faite sur le caractère statistique de la radioactivité, que le second odèle est tout à fait pertinent 8. IV. Conclusion. Nous avons ontré que, dans le type de problèe étudié, le passage par la fonction logarithe ne paraît pas forcéent indispensable. D'autre part, la notion de dei-vie au prograe de Sciences Physiques prend dans cette éthode un caractère opératoire. Cela devrait faciliter l'haronisation des enseigneents de Mathéatiques et de Sciences Physiques en classe de Terinale S, 5 La éthode par dei-vie pourrait être aéliorée en procédant à une interpolation linéaire entre 7 et 8 dei-vies. Mais coe on le verra plus bas, ce n est pas forcéent pertinent. 6 Nous développerons ces aspects statistiques lors d'une étude ultérieure sur l'enseigneent de la radioactivité en Sciences Physiques. 7 En fait, un troisièe éthode possible serait d'envisager une déarche graphique basée sur la lecture d'antécédents à partir du graphe représentatif de la fonction N = f(t). 8 On n évoque pas ici les questions de vérification expérientale.
notaent en ce qui concerne l enseigneent de la fonction logarithe népérien. Et ceci au plus grand profit des élèves. Par ailleurs, nous pensons avoir ontré coent un travail en coun entre professeurs de athéatiques et de sciences physiques peut déboucher sur des propositions concrètes concernant les techniques athéatiques utilisées. C est l esprit dans lequel nous travaillons au sein du groupe, et nous tenons à reercier l IREM pour les possibilités de réflexion qu il nous offre.