Les mathématiques à l école maternelle Fabien EMPRIN Maître de conférences
L apprentissage et les automatismes Place du langage dans la construction des concepts Qu est-ce que faire des mathématiques? PREMIÈRE RÉFLEXION
Quelle place pour les automatismes?
Les automatismes suite
Référence Etude Japonaise : université de Kyoto. Professeur Tetsuro Matsuzawa sur la mémoire à court terme du chimpanzé Ayumu de cinq ans. Référence vidéo : http://dai.ly/cwnogv
Le paradoxe des automatismes Les procédures automatiques se font sans compréhension de la tâche. (punition par la copie) L installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n 79, D. Butlen, M. Charles-Pézard). Dialectique entre sens et techniques, l exemple du calcul mental Denis Butlen et Pascale Masselot 6
Mot / concepts Comment garantir que les mots sont mis sur les bon concepts? L exemple de «friday»
Un apprentissage complexe pour tout concept d après G. vergnaud Problèmes qu'il permet de résoudre Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Langage et représentations - verbales - symboliques Définition et Propriétés - utilisées implicitement - explicitées Tiré de Marie Paule Dussuc Roland Charnay 2011
Plan de la conférence premières réflexions : Automatisme / concept Enseigner les mathématiques Un type particulier de situations problèmes : les situations de communication Situations problèmes (situation d action) Situations de construction d expérience Répétition Aller plus loin avec les situations problèmes Variations sur une situation problème : les pinceaux Les différentes formes de différenciation
Type de situation problème LES SITUATIONS DE COMMUNICATION
le jeu du photographe
La perception des solides au cycle 1 Les élèves touchent un objet dans un sac. Il doivent le retrouver dans un lot
Solide I : 78% d : 78% b : 20% C : 11% H : 44% F : 11% Élève (MS) Elève 1 3/6 Elève 2 2/6 Elève 3 3/6 Elève 4 2/6 Elève 5 3/6 Elève 6 2/6 Elève 7 2/6 Elève 8 4/6 Elève 9 2/6
Les potentialités des élèves Toucher / modeler / retrouver parmi un lot
GS : modelage
GS : modelage
Communication non verbale : mime
Communication verbale
La prégnance du 2D Premier résultat Dans le modelage Dans le mime Dans la verbalisation Construction d une situation d action visant à travailler le concept de solide comme «plein»
CP : un Cube à Sion
Construction d un carré Construction d un carré, rempli pour utiliser toute la pâte Construction d un cube. Avec plus ou moins de précision
Construction d un cylindre, et invalidation par assemblage Construction d un carré et symbolisation du dé
CP : un Cube à Sion, le bilan Verbalisation des élèves lors de la mise en commun : «Comment faire pour faire un solide» Il faut faire une forme Il ne faut pas de boudins Les formes ne sont pas aplaties On doit pouvoir le mettre debout et le porter (si besoin) On avait été obligé d expliquer à ceux qui n y arrivaient pas comment faire le cube. On a fait une boule, et on l aplatit à gauche et à droite, devant derrière (avec les gestes) et on tape le dessus sur la table pour finir et ça fait les six côtés. Type de solide Nombre Carré en boudins 3 Carré en boudins rempli 1 Cylindre 1 Dé 1 Cube imparfait 8 Cube très proche 8
Verbalisations des élèves après reprise Ce qu il faut faire : Je sens la forme avec les deux mains Il faut bien toucher les bords (ou les pointes) Il faut bien toucher ce qui est plat Il faut bien se souvenir Quels sont les problèmes? Confusion entre cube et pyramide Je n ai pas bien senti les pointes et autour Confusion entre pyramide à base carrée et tétraèdre Je n ai pas bien senti 3 je croyais qu il y avait 4 bords. Confusion pavé / cube Je n ai pas bien senti que ce n était pas la même longueur
Reprise de la situation de reproduction de solides Prisme base triangulaire faces rectangulaires : 6 élèves 1 élève avec un prisme à base triangulaire mais des faces carrées. 1 élève fait un assemblage de boudins en 3D Pavé droit : 5 élèves Un élève fait un assemblage de boudin. Un élève avec un modelage de cylindre (le bleu) Les autres modelages sont corrects
Pyramide à base carrée : 4 élèves Un élève avec un prisme à base triangulaire : Cet élève a fait un triangle avec des boudins. Un élève avec un cube : Cet élève a fait une pyramide Tétraèdre : 4 élèves Un élève avec un prisme à base triangulaire fait un triangle avec des boudins. Un élève fait un triangle plein
Cube : 4 élèves Un élève avec un pavé. Prisme à base triangulaire et faces carrées : 1 élève.
Nos choix didactiques sur le 3D au cycle 2 Mettre à distance les représentations ne pas faire de représentation du solide mais communiquer le 3D par du 3D. Importance du langage Dans une situation de communication donner du sens. Comment expliquer : L élève connaît le mot le mot cube mais il dit carré (il dit se qu il voit? Il utilise le vocabulaire qu il connaît) Quels interactions entre langage et difficultés (2D/3D). Trois types de situations De communication (mime ) D action (boucher le trou) Des situations moins didactifiées de construction d expérience
Question des ressources
Mille Milliards de situations (71780) Variables de départ communication variables d'arrivée validation Objet choisi choisi? Manière de prendre l'information prise d'information 0011 solides 0010 sont Maître 1010 1101 Toucher0001 0100 Voir pendant 1011 la sociaux CII description maquettes élève Voir Dessin Ne pas voir pendant la description 3 vues (dessin industriel) + tard Voir Solide un référent qui va prendre des informations Schéma mesurer une personne qui décrit pour tous : l'enseignant Perspective Taille de l objet, matière une personne qui décrit pour tous : un élève vecteur Retro controle Type de production Mimer oui Réaliser un patron Par reprise des critères. Dessiner non Choisir parmi un lot de patrons plusieurs choix possibles Construire Modeler Patrons Mécanos Assembler des solides Questions fermées Dessiner Réaliser partir d'un patron (carton ou papier) Réaliser : Fernand Nathan Travail la notion d'arête et de puissance de sommet Réaliser : Plot, Clixi et Polydron Travail sur la nature des faces et les relations entre les faces Réaliser : modeler Comparais on avec le modèle.
Problème Situation problématique SITUATION PROBLÈME
Dénombre = Dé nombrer = extraire le nombre de. Il existe plusieurs moyens principaux de dénombrer : le «subitizing» le dénombrement par comptage de un en un. Le calcul...
Combien
Le comptage dénombrement pas si simple Savez-vous compter? Alors combien y a-t-il de dents sur le grand plateau La difficulté ici est l énumération
L énumération L «énumération» : être capable de pointer une et une seule fois tous les éléments de la collection. Un exemple de situation. J Briand : les allumettes (CD-ROM Hatier)
Une situation, plusieurs variables Les boîtes d allumettes
Premier essai
Reprise
Mise en commun
Les boîtes à œufs
Un exemple
Liaison C1/C2 : un rallye Mat(h) Un rallye par groupes (de 4) Des briques à assembler Une organisation souple Enjeux : L argumentation Le sens de l activité mathématique
Un exercice de rallye
Les objets : Les variables déplaçables ou non marquables ou non organisés (ligne/colonne, chemins..) La collection (nécessaire au-delà de la capacité de comptage) Juste ce qu il faut / plus
Et sa version informatique A nous les nombres!
institutionnalisation
Un schéma d apprentissage Le maître veut faire acquérir un nouveau savoir, utilisable dans d autres situations L élève arrive avec des conceptions, des connaissances La connaissance se réalise par adaptation cognitive ou par interactions avec les autres élèves Conception socio-constructiviste Rencontre avec une «situation-problème»
L élève sait qu il est responsable de la situation. L enseignant passe la consigne de sorte que la situation soit celle de l élève (dévolution) L élève est actif. Il peut investir ses procédures personnelles. Le problème est adapté, assez difficile pour poser des problèmes mais pas insurmontable. La tâche ou situation Elle s oppose à l activité spontanée de l élève. Il y a un obstacle. La collection est à distance et il n y a qu un seul allerretour possible La situation renvoie à l élève de l information sur ses procédures mises en œuvre (rétroaction). La connaissance se réalise soit par adaptation cognitive soit par interactions avec les autres élèves. phase a-didactique : On n apprend pas en une seule fois. L enseignant doit faire identifier et formuler la nouvelle connaissance. Elle est ainsi reconnue par le groupe classe et étiquetée comme savoirs et concepts. L élève s entraîne, se confronte à d autres types de situations mettant en jeu le même savoir associé à d autres
CONSTRUIRE UNE EXPÉRIENCE
Partager l information pour obliger les élèves à communiquer : Le jeu des chats 1 2 3 4
La solution
Procédures : exemples et évolution
PS : le jeu du bonhomme Colle ici les gommettes en trop ou celles qui ne vont pas Situation le bonhomme Situation le bonhomme : la poubelle Situation le bonhomme : modèle
Les compétences nécessaires au comptage dénombrement
Compétences liées au comptage Les principes de Gellman dénombrement L élève doit connaître la chaîne orale : c'est-à-dire la suite des mots-nombres. L élève doit synchroniser le pointage des éléments de la collection avec la récitation des mots-nombres. Il doit également faire abstraction de certaines propriétés des objets de la collection, c'est-à-dire compter une grosse bille comme une petite, une bille bleue comme une rouge... L élève doit comprendre que le dernier mot nombre prononcé correspond au cardinal de la collection L élève doit se rendre compte que l ordre de pointage est indifférent et qu il conduit toujours à désigner la même quantité. Les élèves doivent comprendre ce à quoi servent les nombres.
Une exemple pour travailler le principe d abstraction Tiré d un travail sur les rallyes mathématiques à l école maternelle. Charotte F., Emprin F. (2009), Un rallye Mathématique à l école maternelle, SCEREN-CRDP Champagne-Ardenne Vidéo en accès libre sur le site http://www2.crdp-reims.fr/crdp/index.phpid=926
Première phase
Reprise
Le principe d abstraction au travers d un jeu : Mystero Michel et Robert Lyons :
Situation Devinet : consigne
Phase de recherche
Il faut également Connaître la comptine numérique La segmenter!
L exemple de la comptine numérique APPRENDRE PAR RÉPÉTITION
Les élèves doivent aussi connaître la comptine numérique
Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante ( ). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay et Marie Paule Dussuc 2011 66
L apprentissage de la comptine L élève doit disposer d une suite orale de référence. Son acquisition s'étale entre deux et six ans. Une première partie stable et conventionnelle, suivie d'une partie stable non conventionnelle, qui est elle-même suivie par une partie ni stable, ni conventionnelle. Quatre niveaux d'organisation de la chaîne numérique (Niveaux de Fuson) : le niveau "chapelet" : "undeuxtroisquatrecinqsix ", le niveau "chaîne insécable" : le sujet ne peut pas encore commencer à compter à partir d'un nombre quelconque, le niveau "chaîne sécable" : de nouvelles habiletés se mettent en place (compter à partir d'un nombre donné, compter d'un nombre à un autre nombre), le niveau "chaîne terminale" : les nombres qui la constituent peuvent être traités comme des entités distinctes, il devient possible de les dénombrer. La chaîne bidirectionnelle : dans les deux sens
Difficultés de l apprentissage de la comptine Comptines faiblement segmentées [undeuxtrois] nous irons au bois Comptines segmentées [un] nez, [deux] nez,...
Quelques comptines Répétitives sans segmentation : J'ai fait une pirouette, [undeuxtroisquatrecinqsixsept], J'ai déchiré mes chaussettes, [undeuxtroisquatrecinqsixsept] Segmentation par 3 : [undeuxtrois] nous irons au bois Segmentation par 2 : [undeux] v la les œufs Segmentation par 1 : [un] nez, [deux] nez, [trois] nez Cumulative : [un] elle a un œil brun [undeux], elle a des plumes bleues Anti-Cumulative : [undeuxtroisquatrecinqsixsept] J'ai des trous à mes chaussettes [undeuxtroisquatrecinqsix] J'ai mangé l'écrevisse... A l envers : dans la forêt du dolmen vert, il y a [dix] ours qui marchent à l envers, [neuf] petits daims plein de lumière [...] et [zéro] sorcière. Segmentation par dix : qui compte jusqu'à dix c est Alice, qui compte jusqu à vingt c est Germain.