1 TD 13 : Questions de cours Donner l équation de d Alembert vérifié par E et B dans le vide quelle est la relation entre µ 0, ɛ 0 et c? Donne l expression générale des solutions de l équation de d Alembert Comment s écrit une OPPM Montrer que dans le vide un OPPM a une structure transverse déterminer la relation entre E et B pour une OPPM dans le vide A quelle vitesse se propage l énergie EM dans le vide Donner les equations de Maxwell en complexe Donner l expression de la valeur moyenne du vecteur de Poynting lorsque les champs sont complexes Que signifie qu une onde est polarisée rectilignement Citer la loi de Malus Qu est ce qu un plasma Montrer que pour des électrons non relativiste la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant la composante électrique Qu est ce que la vitesse de phase? la vitesse de groupe? Comment est définit l indice optique? Qu est ce qu un milieu dispersif? Qu est ce qu un paquet d onde? Applications directes du cours 1. Exemple d onde électromagnétique (**) On s intéresse à la propagation de l onde électromagnétique définie par 1 E (M, t) = E0 exp [i (ωt α(x + y))] 1 dans la base ( u x, u y, u z ), avec E 0, ω et α 0 des constantes positives. (a) Cette onde se propage-t-elle (si oui dans quelle direction) ou bien est-elle stationnaire? (b) Est-elle plane? (c) Donner le vecteur d onde k. (d) Que dire de sa polarisation? (e) Évaluer le champ magnétique B (M, t). (f) Que vaut la densité volumique de charge? (g) Sachant que la densité volumique de courant est de même nulle, en déduire une relation entre α, ω et c, vitesse de la lumière dans le vide. (h) Calculer le vecteur de Poynting moyen. Commenter son expression.. OPPM EM de direction quelconque On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est donné par : [ ( )] k E = Ex u x + E y u y avec E x = E 0 exp i (x + y + z) ωt. 3 L onde se propage dans le vide et sa longueur d onde est λ = 6.10 7 m.
(a) Calculer la fréquence de l onde. (b) Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde? (c) Calculer la valeur numérique de la constante k. (d) Établir l équation cartésienne d un plan d onde. (e) Exprimer E y en fonction de E x. (f) Calculer le champ magnétique B de cette onde. (g) Calculer la densité moyenne d énergie électromagnétique associée à cette onde. (h) Calculer le vecteur de Poynting de cette onde et sa moyenne temporelle. Commenter. 3. Complément de cours (**) On considère la propagation d une OPPM transverse dans un plasma, que l on décrit en notation complexe par E (M, t) = E 0 exp(i(ωt k r)). On rappelle la relation de dispersion : k = 1 c (ω ω P ). (a) Cas où ω > ω P i. À partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, donner la structure de l OPPM électromagnétique dans le plasma, en faisant intervenir la vitesse de phase v ϕ et la direction de propagation u. ii. Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde, ainsi que la valeur moyenne de la densité volumique d énergie électromagnétique. iii. Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d énergie cinétique des électrons (on prendra une densité particulaire n 0 pour les électrons de masse m e et de charge e) sous l action de l onde. En déduire la densité volumique moyenne d énergie totale, puis la vitesse de propagation de cette énergie. (b) Cas où ω < ω P i. D après la relation de dispersion, le module d onde est désormais imaginaire pur. Donner son expression dans le cas où la propagation se fait selon la direction u z. Quel signe faut-il choisir pour que l onde obtenue ait un sens physique? Exprimer le vecteur d onde k dans ce cas. Donner l expression du champ électrique résultant et commenter sa forme mathématique. ii. Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à une telle onde. 4. Système GPS et ionosphère (*) Le système de localisation GPS (Global Positioning System est si précis qu il est nécessaire de prendre en compte la dispersion due à la traversée de l ionosphère. L ionosphère, d épaisseur H, est un plasma globalement neutre : il contient des électrons de masse m, de charge e et de densité particulaire n, ainsi que des ions de masse M, de charge +e et de densité particulaire n. On supposera que le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutifs ne sont pas en interaction.
3 (a) On envisage une onde plane progressive monochromatique de la forme E = E 0 exp(i(ωt k r)). Établir la relation de dispersion du plasma, ainsi que l expression de la pulsation de coupure ω P. Pourquoi la nomme-t-on ainsi? (b) On envoie un train d onde depuis un satellite vers la Terre. Donner l expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence f de l onde et de la fréquence plasma f P. On suppose que l atmosphère est assimilable à du vide visà-vis de l onde enviagée. Calculer le temps τ que le train d onde met pour parcourir la distance D qui sépare le satellite du sol. On supposera que f f P, ce qui permet un développement limité pour simplifier l expression obtenue. (c) Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains d onde de fréquences f 1 et f et on mesure l écart t entre leurs temps de parcours. Exprimer t lorsque f > f 1 f P. (d) Montrer que D = cτ d, avec d = f 1 f c t f (f f 1 On trouve que d est de l ordre de ). quelques mètres. Commenter. Approfondissement 1. Laser et faisceau gaussien Une onde plane étant d extension infinie, elle ne peut représenter de manière réaliste le faisceau d un laser dont la section S est en pratique inférieure au mm. Dans un modèle plus réaliste, on considère l onde électromagnétique émise dans le vide par un laser en z = 0. Cette onde se propage selon la direction u z et peut être mise sous la forme suivante, dans la zone z 0 : E (M, t) = E(r, z) exp[i(ωt kz)] ux, avec k = π λ, et en coordonnées cylindriques d axe (Oz) : ( iz 0 E(r, z) = E 0 exp ik z + iz 0 r (z + iz 0 ) ), où E 0 et z 0 sont des constantes positives (z 0 est appelée distance de Rayleigh). ) (a) Montrer que le carré du module de E se met sous la forme E(r, z) = A (z) exp ( r w(z), avec w(z) = w 0 1 + z z0. Déterminer la constante w 0, nommée waist en fonction de z 0 et λ. (b) Montrer que w(z)a(z) = w 0 E 0. (c) Représenter le graphe de w(z) pour z 0. (d) Représenter le graphe du module E(r, z) du champ électrique en fonction de r pour z = 0, puis pour une valeur z 0 fixée. (e) Quelle signification physique peut-on donner à w(z) ainsi qu au waist w 0? (f) Montrer que lorsque z z 0, le faisceau laser a une forme de cône de sommet O et de demi-angle au sommet β, qui sera exprimé en fonction de w 0 et z 0, puis en fonction de w 0 et λ. (g) Calculer β en degrés pour un laser YAG Nd 3+ possédant pour caractéristiques w 0 = 0, 50 mm et λ = 1, 1 µm, puis pour un laser CO de même waist mais de longueur d onde 10 fois plus grande. Commenter.
4 (h) Que dire du comportement du faisceau laser pour z z 0?. Influence du champ magnétique terrestre Un plasma est plongé dans un champ magnétique externe B 0. Une onde électromagnétique plane polarisée rectilignement se propage dans ce plasma dans une direction k perpendiculaire à B 0. (a) La relation de dispersion du plasma est-elle modifiée lorsque le champ E de l onde est parallèle à B 0, ou bien lorsque le champ E de l onde est perpendiculaire à B 0? (b) Dans le cas où la relation est modifiée, on admet qu elle s écrit alors k c = (ω ωp ) ωc ω ω ωp, où ω c = eb 0 ω c m. Tracer l allure de la fonction k c = f(ω ). En déduire pour quelle gamme de pulsation les ondes peuvent réellement se propager dans le plasma. (c) On envoie verticalement selon (Ox) une onde sur l ionosphère terrestre dont la densité électronique n 0 est supposée ici uniforme. Lorsque l émission de l onde est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle du champ magnétique terrestre B 0 il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d onde émise supérieure à λ 0 = 4, 70 m. Lorsque les directions du champ électrique de l onde et de B 0 sont perpendiculaires, l écho se produit pour une longueur d onde supérieure à λ 0 = 38, 90 m. i. Déduire de ces deux mesures le nombre n 0 d électrons par mètre cube de l ionosphère ainsi que la valeur du champ magnétique B 0 qui y règne. ii. Le champ magnétique terrestre décroît en fonction de l altitude suivant la loi ) 3/ B 0 (x) = B 0 (0) (1 + x R, où B 0 (0) = 4, 7.10 5 T est sa valeur au sol et R = 6360 km le rayon terrestre. Calculer l altitude de la couche réfléchissante. Quel peut être l intérêt de cette propriété? Élements de réponse 1. k = α( u x + u y ) ; B (M, t) = α ω E 0 exp [i (ωt α(x + y))] u z ; ω = cα < 1 Π >= E 0 1 cµ 0 0. f = 5.10 14 Hz, domaine du visible ; un plan d onde a pour équation x + y + z = K 0 ; E y = E x ; B = E x 3c ( u x + u y 4 u z ) ; < u em >= ε 0 E0 ; < Π >= ε 0 ce0 u, où u est la direction de propagation. 3. 1. 1 E = v ϕ B u, B = u E. v ϕ < Π >= 1 µ 0 ω E k ; < ut >=< u em > + < u c >= ε 0 E ; v e < Π > < u t > = c ω k.. k = ik u z ; E = E 0 e k z e iωt, il s agit d une onde évanescente ; < Π >= 0.
5 4. k = 1 c (ω ωp ) avec ω ne P = ; v ϕ = ω mε 0 k et v g = c 1 f P f ;τ = D c t = Hf P f f 1 cd f1 f. z0 1. w 0 = k = z0 λ π, A(z) = E 0. β = w 0 = λ. 1 + z z 0 πω 0 z0 Le laser CO diverge 10 fois moins que le laser YAG Nd 3+. Dans le cas z z 0, le faisceau est quasiment cylindrique w(z) w 0. ( 1 + H f ) P D f ;. Il faut E B 0 pour modifier la relation de dispersion. Il faut k pour que la propagation soit possible, soit ω en dehors de l intervalle [ω 1, ω ] avec ω 1 = 1 ( ) ω c + ωc + 4ωP et ω = 1 ( ) ω c + ωc + 4ωP. πc(λ 0 λ 0 )) n 0 = 4π m e µ 0 e λ 0 = 6, 116.10 11 m 3 ; B 0 = m e e λ 0 λ 0 = 4, 683.10 5 T ( B0 On peut mesurer l altitude de la couche ionisée x = R B(0) ) /3 300 km.