7 FILTAGE, DIAGAMMES DE BODE 7. Introduction au filtrage En régime sinusoïdal permanent nous avons vu que les impédances des bobines et des condensateurs dépendent de la fréquence. Par conséquence, les coefficients des différentes matrices de définition des quadripoles matrice impédance Z, admittance Y, hybride H ou de transfert T, les fonctions de transfert T V et T I et les impédances d entrée ZE et de sortie ZS sont aussi dépendantes de la fréquence. Nous allons utiliser cette dépendance pour construire des filtres. 7.. Définitions Un filtre est un quadripôle transmettant un signal sans atténuation ou avec une atténuation de valeur donnée dans une bande de fréquence déterminée. v Courbe de réponse en fréquence du module de la fonction de transfert TV d un quadripôle : v T V Les fréquences de coupure C de transfert fc f C T V T f f et fc correspondent aux fréquences pour lesquelles le module de la fonction Il existe différentes catégories de filtres selon l allure de leur courbe de réponse en fréquence : - le filtre passe bas T V Exemple : f C f C 63
La pente de la courbe de réponse dépend de l ordre du filtre. La bande passante est égale à - le filtre passe haut f C T V Exemple : C f C f - le filtre passe-bande T V fc f C f La bande passante est égale à C C - le filtre coupe-bande f f T V f f C C f 6
7. Echelle logarithmique et diagramme de Bode L étude des filtres portent sur la fonction de transfert complexe suivante : Le module On a : T V T V exp ϕ T V qui peut se mettre sous la forme T V et la phase ϕ de la fonction de transfert T V sont fonction de la pulsation πf et v T V v ϕ arg v arg v Au lieu d étudier les courbes de réponse en fréquence du module de la fonction de transfert T V, on préfère étudier le gain GV obtenu à partir de T V par changement d échelle : GV log T V A Ce changement d échelle est résumé sur ce tableau : -n -3 -, / 3 n log A -n -3 - - -,5 3 n log A -n -6 - - -3 6 n Ce changement d échelle permet d étaler les amplitudes de faibles valeurs. T V le gain G V soit sans dimension, on utilise le mot «décibel» pour signifier que l on a Bien que comme réaliser le changement d échelle log Note : on utilise aussi le décibel pour exprimer les puissances : la puissance en Décibel Watt dbw s exprime comme suit en fonction de la puissance en Watt P : P db log P Nous avons vu précédemment que la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le module de la fonction de transfert T V. En utilisant la relation entre T V et G V on a : T 65
G V log T log G 3dB Ainsi la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le gain de la fonction de transfert G V G 3dB Définition : Les deux courbes f G V et ϕ f constituent le diagramme de Bode du filtre. En abscisse, les fréquences ou pulsations sont représentées sur une échelle logarithmique. Nous allons voir dans le prochain paragraphe qu il est possible de tracer très rapidement les courbes de réponse du module et la phase des fonctions de transfert sous forme de diagrammes asymptotiques. Ces diagrammes s appliquent très rapidement sur des fonctions simples intégrateur pur, circuit du premier et du second ordre mais aussi sur des fonctions quelconques à condition de les décomposer en fonctions simples. Les droites asymptotiques s obtiennent facilement en faisant tendre vers et vers l infini. 66
7.3 Fonctions de transfert de base 7.3. Intégrateur T. T, log G et π ϕ Arg T Pour, nous avons le gaing Lorsque /, nous avons G log db., nous avons G log Lorsque Ainsi, le gain G décroît en fonction de la pulsation avec une pente -db/décade db. db G -db/decade Arg T / -π/ 7.3. Dérivateur T T, G log et π ϕ Arg T Le gain G est égal à lorsque Le gain G est égal à db lorsque Le gain G croit en fonction de la pulsation avec une pente db/décade 67
G db Arg T π/ db/decade 7.3.3 Intégrateur réel ou filtre passe bas du premier ordre T T ϕ ArgT Arctg est la pulsation de coupure à 3dB, G log log G 3dB T π, 77 ϕ Cherchons à déterminer les deux asymptotes aux courbes f Pour >> T log db/décade. Elle passe par le point,. G et ϕ f : G Cette droite asymptotique décroît en fonction de la pulsation avec une pente de - Pour << T G db et ϕ 68
dβ G 3dΒ -db/decade -π/ dβ Arg T -π/ Donnons deux exemples de filtres passe-bas du premier ordre. Exemple :circuit C v C v T C C C Ainsi en posant on retrouve bien la forme d un filtre passe bas de pulsation de coupure. C Exemple :circuit L L v v T L L L Ainsi en posant on obtient un filtre passe bas de pulsation de coupure. 69
7.3. Dérivateur réel T T est la pulsation lorsque G log ϕ ArgT G 3dB T π ϕ Arc tan Déterminons les droites asymptotiques : Pour >> T G log. Cette droite asymptotique croît en fonction de la pulsation avec une pente de db/décade. Elle passe par le point,. π ϕ Pour << T G db et ϕ G dβ db/decade dβ 3dΒ π/ Arg T π/ emarque : comme la fonction de transfert T est l inverse de la fonction de transfert du filtre passe bas du premier ordre, on a G, ϕ ϕ G PASSE BAS PASSEBAS 7
7.3.5 Filtre passe-haut du premier ordre T T G log π ϕ ArgT Arc tan est la pulsation de coupure lorsque log G 3dB T π ϕ Pour tracer les asymptotes : Pour << T G log. La droite asymptotique croît en fonction de la pulsation avec une pente de db/décade. Elle passe par le point,. π ϕ Pour >> T G db et ϕ 7
dβ G db/decade 3dΒ π/ Arg T π/ emarque : comme la fonction de transfert T est le produit des fonctions de transfert d un dérivateur parfait et d un filtre passe bas, on a : G G DEIVATEU G PASSE BAS, ϕ ϕ DEIVATEU ϕ PASSEBAS Donnons deux exemples de filtres passe-haut du premier ordre. Exemple :circuit C C v v T C C C Ainsi en posant on retrouve bien la forme d un filtre passe haut de pulsation de coupure. C Exemple :circuit L L v v 7
73 L L L L T Ainsi en posant L on retrouve bien la forme d un filtre passe haut de pulsation de coupure. 7.3.6 filtre passe bas du second ordre La fonction de transfert d un filtre passe bas du second d ordre s écrit sous la forme suivante : T où est appelé le facteur d amortissement du filtre. Le module et la phase de w T s écrivent : T tan ϕ Arc Donc le gain log G Lorsque, on a : log G π ϕ Nous allons maintenant étudier le gain et la phase de cette fonction de transfert en fonction de. Premier cas : > La fonction de transfert peut se décomposer en un produit de deux fonctions du premier ordre :. T T T En développement le dénominateur, on obtient les égalités suivantes :
et sont les solutions de l équation du second ordre S P P Soit On obtient : et avec S et Nous pouvons tracer les diagrammes de Bode de la fonction de transfert à partir des diagrammes de Bode des deux fonctions élémentaires. On a : G G G ϕ ϕ ϕ G dβ -db/decade Arg T -π/ -π Second cas : Ici, nous avons La fonction de transfert devient : T G log 6 db 7
Etudions les droites asymptotiques du gain G et de la phase ϕ Lorsque >> T G log La droite asymptotique décroît en fonction de la pulsation avec une pente de -db/décade. Elle passe par le point,. ϕ π Pour << T G db et ϕ Ainsi nous pouvons tracer les droites asymptotiques du filtre passe-bas du second ordre pour ces droites sont aussi valables pour < : G -db/decade dβ -db Arg T -π/ -π/ -π Troisième cas : < Dans ce cas, les droites asymptotiques sont les mêmes que celles tracées ci-dessus. Cependant, la décomposition en produit de fonctions élémentaires du premier ordre n est plus possible car elle impliquerait des pulsations et complexes. Etudions le module de la fonction de transfert : 75
76 D T en posant D T passe par un maximum lorsque d dd 8 d dd d dd La pulsation de résonance à laquelle le module de la fonction de transfert passe par un maximum existe si et seulement si > c est à dire si < Déterminons la valeur du module de la fonction de transfert à la pulsation de résonance : T L allure des courbes G et ϕ en fonction de est la suivante :
G <,7 -db/décade dβ Arg T.7 <. 7 -π/ -π 7.3.7 Fonctions de transfert quelconques On peut touours tracer les diagrammes de Bode f fonction de transfert à étudier sous la forme : T G et ϕ f en mettant la Produit de fonctions de base du premier et du second ordre Produit de fonctions de base du premier et second ordre Exemple : 77
T T T. T 3 Les diagrammes de Bode sont : G G G G3 ϕ ϕ ϕ ϕ3 Si on a dans l ordre < < on peut tracer très vite les droites asymptotiques avec cette méthode simple : On part d une pulsation nulle et on applique les pentes correspondant aux fonctions intégrateur ou dérivateur. Puis en augmentant si on rencontre une pulsation k dans une fonction de base du premier ou du deuxième ordre, au numérateur ou au dénominateur, on modifie la pente du module de ou db/décade, π en plus ou en moins, et la phase de ou π en plus ou en moins. T db/decade - -db/decade Arg T π/ -- - db/decade π/ - π -π/ -π/ - π/ -π 78