Exercice 1 (7 points) : PARTIE I En annexe 1, à rendre avec la copie, on a construit dans un repère orthonormal les droites D et D d équations respectives D : x + y = 6 et D : x + 2y = 8. Déterminer graphiquement l ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système S : On hachurera la partie du plan qui ne convient pas sans aucune justification. PARTIE II Une école de cirque souhaite renouveler son matériel de jonglage. Elle veut acheter au moins 24 diabolos et au moins 32 massues. Un grossiste lui propose : - des lots A de 4 diabolos et 4 massues, - des lots B de 4 diabolos et 8 massues. On note x le nombre de lots A achetés et y le nombre de lots B achetés. Les nombres x et y sont deux nombres entiers positifs ou nuls. 1. Montrer, en justifiant la réponse, que le système S est un système d inéquations traduisant les contraintes d achat. Les nombres de lots sont des entiers naturels, donc x 0 et y 0. De plus pour x lots A et y lots B, il y a 4x + 4y diabolos et 4x + 8y massues. Sachant qu il faut au moins 24 diabolos et 32 massues, x et y doivent vérifier : 4x + 4y 24 x y 6 et 4x + 8y 32 x + 2y 8 2. A l aide du graphique de l annexe 1 ou d un calcul, répondre aux questions suivantes : a. L école de cirque peut-elle acheter 2 lots A et 3 lots B? On a x = 2 et y = 3. La condition x + y 6 n est pas vérifiée, donc l école ne peut pas acheter 2 lots A et 3 lots B.
b. Si l école de cirque achète 3 lots A, combien doit-elle acheter de lots B au minimum? x + y 6 3 + y 6 donc y 3 x + 2y 8 3 + 2y 8 donc y 2,5 Il faut donc commander au moins 3 lots B. PARTIE III Un lot A coûte 180 et un lot B coûte 200. 1. Soient x et y deux nombres entiers positifs ou nuls. On suppose que l école achète x lots A et y lots B. Exprimer sa dépense en fonction de x et y. La dépense occasionnée pour x lots A et y lots B est 180x + 200y. 2. Le gestionnaire de l école de cirque utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui correspond à la dépense minimale. En annexe 2, à rendre avec la copie, on donne le tableau obtenu par le gestionnaire. Ainsi, la cellule G7 donne le coût en euros de 3 lots A et 5 lots B. Le prix d un lot A est donné en B1 et celui d un lot B est donné en B2. La formule «=$B$1*$A4+$B$2*B$3» a été entrée dans la cellule B4, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B4 :J14. a. Donner la formule contenue dans la cellule C4. La formule entrée en C4 est = $B$1*$A4+$B$2*C$3 b. Donner la formule contenue dans la cellule B5. La formule entrée en B5 est = $B$1*$A5+$B$2*B$3 3. Certaines cellules du tableau, en annexe 2, à rendre avec la copie, correspondent à des couples qui ne vérifient pas les contraintes du système S. A l aide du graphique de l annexe 1, barrer les cellules qui ne conviennent pas. A B C D E F G H I J Prix 1 d un 180 lot A 2 Prix d un 200 lot B 3 Y X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 5 1 180 380 580 780 980 1180 1380 1580 1780 6 2 360 560 760 960 1160 1360 1560 1760 1960 7 3 540 740 940 1140 1340 1540 1740 1940 2140 8 4 720 920 1120 1320 1520 1720 1920 2120 2320 9 5 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 10 6 1080 1280 1480 1680 1880 2080 2280 2480 2680 11 7 1260 1460 1660 1860 2060 2260 2460 2660 2860 12 8 1440 1640 1840 2040 2240 2440 2640 2840 3040 13 9 1620 1820 2020 2220 2420 2620 2820 3020 3220 14 10 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400
4. En déduire le nombre de lots A et le nombre de lots B qui correspondent à la dépense minimale. La dépense minimale est de 1120 euros pour l achat de 4 lots A et 2 lots B. Exercice 2 (8 points) : Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes. Un artisan fabrique des vases qu il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. PARTIE I L artisan veut faire une étude sur la production du nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l expression est : où x appartient à l intervalle [0 ; 60]. Chaque vase est vendu 50 euros. Sur le graphique donné en annexe 3, C f est la courbe représentative de la fonction C et D 2 est la droite d équation y = 50x. 1. Par lecture graphique, déterminer : a. Le coût de production de 40 vases fabriqués. Le coût de production de 40 vases est 1700. b. La production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1 300 euros. La production de 34 vases correspond à un coût de 1300. 2. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. a. Exprimer R(x) en fonction de x. R(x) = 50 x = 50x.
b. Déterminer graphiquement le nombre de vases que l artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice. L artisan doit fabriquer entre 10 et 50 vases pour réaliser un bénéfice. 3. a. Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases, est donné par la fonction B dont l expression est : Le bénéfice réalisé pour x vases est donné par : B(x) = R(x) C(x) = 50x (x² - 10x + 500) = - x² + 60x 500. b. Calculer B (x). Dérivons la fonction B : B (x) = -2x + 60. c. Déterminer le signe de B (x) sur l intervalle [0 ; 60]. La fonction B s annule pour x = 30. B étant une fonction affine de coefficient directeur -2 < 0, on a : x 0 30 60 B (x) + 0 - d. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [0 ; 60]. x 0 30 60 B(x) 0 B(30) = -30² + 60 30 500 = 400. e. En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Pour que le bénéfice soit maximal, il faut fabriquer 30 vases. Ce bénéfice sera de 400. Exercice 3 (4 points) : Le tableau suivant donne l évolution du nombre d habitants d un village entre les années 2004 et 2009 (les relevés de population sont effectués chaque année au 1 er janvier). Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Nombre d habitants 873 1025 1010 1121 1289 1456 Les deux parties qui suivent sont indépendantes. PARTIE I : première étude 1. Calculer le taux global d évolution en pourcentage de cette population entre les années 2004 et 2009 (arrondir le résultat à 0,1%). Le taux d évolution global entre 2004 et 2009 est : 6 66 400 0
2. Calculer le taux annuel moyen d évolution en pourcentage entre 2004 et 2009 (arrondir le résultat à 0,1%). Le taux d évolution moyen entre 2004 et 2009 est : 3. En supposant que la population augmentera après 2009 de 10,8% par an, calculer combien ce village comptera d habitant au 1 er janvier 2011 (on arrondira bien sûr le résultat à l unité). La population du village en janvier 2011 sera de 1456 1,108 1,108 1787 soit 1787 habitants. PARTIE II : seconde étude Dans cette partie, on suppose que la population du village après 2009 n augmentera que de 6% par an jusqu en 2016. Soit (U n ) le suite telle que U n arrondi à l entier près représente le nombre d habitants de ce village en (2009 + n), on a U 0 = 1 456. 1. Justifier pourquoi (U n ) est une suite géométrique de raison 1,06. Le taux d évolution étant de 6% soit 0,06, on a alors un coefficient multiplicateur de 1,06. La suite U est donc géométrique de raison 1,06. 2. Exprimer U n+1 en fonction de U n, puis U n en fonction de n. D après 1. on a : U n+1 = 1,06 Un ou encore Un = (1,06) n U0 = (1,06) n 1456. 3. Calculer U 4. En donner un arrondi à l entier près. Que représente ce nombre? U 4 = (1,06) 4 1456 1838. La population du village en 2013 sera de 1838 habitants. 4. Calculer le nombre estimé d habitants dans ce village en 2015. U 6 = (1,06) 6 6 2 6. La population du village en 2015 sera de 2065 habitants. 5. A l aide d un logiciel du type tableur, on réalise la feuille de calcul suivante : A B C 1 année n U n 2 2009 0 1 456 3 2010 1 4 2011 2 5 2012 3 6 2013 4 7 2014 5 8 2015 6 9 2016 7 Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 afin d obtenir, par recopie vers le bas, les termes de la suite (U n ) jusqu au rang 7? La formule a entrer en C3 est = C2*1,06 ou bien = $C2*1,06.
Exercice 4 (6 points) : Dans le cadre de cet exercice, on s intéresse à la consommation d électricité en France (exprimé en Twh, c est-à-dire en milliards de kwh) dans le secteur des transports urbains et ferroviaires pour les années 1994 + x i avec x i un nombre entier naturel. Année 1994 + x i 1995 2000 2004 2005 2006 2007 Rang de l année : x i 1 6 10 11 12 13 Consommation y i 8,6 10,4 12,2 11,9 12,1 12,2 On a représenté en annexe le nuage de points correspondant aux données de l énoncé ; le rang x i de l année étant placé en abscisse et la consommation y i correspondante en ordonnée. On décide d effectuer un ajustement affine. 1. a. Donnée les coordonnées et du point moyen G de ce nuage. Les coordonnées du point Moyen sont (8,83 ;11,23). b. Placer G sur le graphique. 2. Au moyen de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à 10-3 près). L équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés est y = 0,314x + 8,456 3. Pour toute la suite de l exercice, on utilisera la droite d équation y = 0,31x + 8,46 comme droite d ajustement. Sur le document fourni en annexe, tracer cette droite. Pour tracer cette droite, il suffit de placer deux points. On connait les points (0 ; 8,46) et G(8,83 ; 11,23).
On considère que cette droite fournit un bon ajustement jusqu en 2015. 4. Estimer la consommation d électricité en France pour l année 2010. L année 2010 correspond au rang 16. En utilisant la droite ci-dessus, on obtient : y = 0,31 16 + 8,46 = 13,42. On peut estimer que la consommation en 2010 sera de 13,42 Twh. 5. Estimer à partir de quelle année la consommation d électricité en France dans le secteur des transports urbains et ferroviaires dépassera 14,5 Twh. On souhaite que y > 14,5 0,31x + 8,46 > 14,5 0,31x > 6,04 x > 6,04/0,31 Il faut donc attendre l année de rang 20, c est-à-dire 2014 pour que la consommation dépasse 14,5 Twh (à condition que la tendance se poursuive ainsi).