Modélisation de matériaux photoréfractifs

Modélisation de matériaux photoréfractifs B. Bidégaray-Fesquet Laboratoire de Modélisation et de Calcul CNRS, Grenoble Journées EDP Rhône-Alpes, 2006 B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 1 / 25

Plan de l exposé 1 Dérivation du modèle 2 Un modèle de Schrödinger saturé 3 Le modèle asymptotique 2D B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 2 / 25

Plan de l exposé 1 Dérivation du modèle 2 Un modèle de Schrödinger saturé 3 Le modèle asymptotique 2D B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 3 / 25

Propriétés des matériaux photoréfractifs On éclaire un cristal électro-optique transfert de charges. Nouvelle distribution de charges champ électrique, variation de l indice de réfraction. L effet photoréfractif est : 1 sensible à l énergie (idem Kerr), 2 non local (les distributions de charge et le champ électrique ne sont pas à la même position), 3 inertiel (temps de dépalcement des charges), 4 à mémoire et réversible (variations persistentes de l indice de réfraction, applications à l holographie). Ici, pas de mémoire, qui nécessite la description du déplacement des ions (par exemple dans du Bi 2 TeO 5 ). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 4 / 25

Equations de Kukhtarev I Des charges sont piégées dans les impuretés ou les défauts d un réseau cristallin. Ici les seules charges sont des électrons, ce qui limite l étude aux matériaux isolants. Les semi-conducteurs nécessitent de modéliser électrons et trous. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 5 / 25

Equations de Kukhtarev I Des charges sont piégées dans les impuretés ou les défauts d un réseau cristallin. Ici les seules charges sont des électrons, ce qui limite l étude aux matériaux isolants. Les semi-conducteurs nécessitent de modéliser électrons et trous. Equation de la charge ρ = e(n + D N A n e ), ρ charge totale N D densité des sites donneurs N A densité des sites accepteurs N D N + D densité des sites donneurs ionisés : N+ D N A N D Neutralité locale : N + D = N A e charge de l électron n e densité des électrons B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 5 / 25

Equations de Kukhtarev I Des charges sont piégées dans les impuretés ou les défauts d un réseau cristallin. Ici les seules charges sont des électrons, ce qui limite l étude aux matériaux isolants. Les semi-conducteurs nécessitent de modéliser électrons et trous. Equation de la charge ρ = e(n + D N A n e ), Evolution des sites donneurs ionisés t N + D = (β + si)(n D N + D ) γ r n e N + D. La photo-ionisation est proportionnelle à la densité de sites donneurs non ionisés (N D N + D ). Dans le noir, elle est proportionnelle au taux d excitation thermale β, éclairé elle est proportionnelle à l intensité lumineuse I em avec le facteur s. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 5 / 25

Equations de Kukhtarev I Des charges sont piégées dans les impuretés ou les défauts d un réseau cristallin. Ici les seules charges sont des électrons, ce qui limite l étude aux matériaux isolants. Les semi-conducteurs nécessitent de modéliser électrons et trous. Equation de la charge ρ = e(n + D N A n e ), Evolution des sites donneurs ionisés t N + D = (β + si)(n D N + D ) γ r n e N + D. La recombinaison est proportionnelle à n e et a lieu sur une échelle de temps τ = 1/(γ r N + D ). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 5 / 25

Equations de Kukhtarev II Transport de charge J = eµn e E tot + µk B T n e + β ph (N D N + D )ci em. Trois phénomènes : diffusion thermique (isotrope) µ mobilité électronique, T température, k B constante de Boltzmann dérive (drift) (colinéaire au gradient du champ électrique total E tot ). effet photo-voltaique (colinéaire à l axe optique c) β ph coefficient photo-voltaique. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 6 / 25

Equations de Kukhtarev II Transport de charge J = eµn e E tot + µk B T n e + β ph (N D N + D )ci em. Conservation de la charge Équation de Poisson t ρ + J = 0, (ε 0 εe sc ) = ρ. ε permittivité relative (anisotropie du cristal), E sc champ de charge d espace induit par la densité de charge. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 6 / 25

Equations de Kukhtarev II Transport de charge J = eµn e E tot + µk B T n e + β ph (N D N + D )ci em. Conservation de la charge Équation de Poisson t ρ + J = 0, (ε 0 εe sc ) = ρ. Les champs : Champ total E tot : uniquement son gradient, Champ de charge d espace E sc, Champ photo-voltaique E ph = β ph γ r N A c/eµs = E ph c : constant, Champ externe E ext : constant (direction transverse), Champ lumineux propagatif E : (cf. infra). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 6 / 25

Equation de propagation d onde Équation des ondes : 2 t ( εe) c2 2 E = 0. Effet Pockels dans un matériau non centro-symétrique ε(e) = ε(0) ε ( r E) ε = n 2 ε ( r E) ε, r tenseur linéaire électro-optique. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 7 / 25

Equation de propagation d onde Équation des ondes : 2 t ( εe) c2 2 E = 0. Effet Pockels dans un matériau non centro-symétrique ε(e) = ε(0) ε ( r E) ε = n 2 ε ( r E) ε, Approximation paraxiale : E(t, x) = A(x) exp(i(ωt k x))e. ω fréquence, k vecteur d onde, e polarisation de l onde. Relation de dispersion : c 2 k 2 = n 2 ω 2 B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 7 / 25

Equation de propagation d onde Équation des ondes : 2 t ( εe) c2 2 E = 0. Effet Pockels dans un matériau non centro-symétrique ε(e) = ε(0) ε ( r E) ε = n 2 ε ( r E) ε, Approximation paraxiale : E(t, x) = A(x) exp(i(ωt k x))e. Variation de l indice de réfraction vue sous cette polarisation : δn = 1 2n [e ε re εe ]E. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 7 / 25

Equation de propagation d onde Équation des ondes : 2 t ( εe) c2 2 E = 0. Effet Pockels dans un matériau non centro-symétrique ε(e) = ε(0) ε ( r E) ε = n 2 ε ( r E) ε, Approximation paraxiale : E(t, x) = A(x) exp(i(ωt k x))e. Variation de l indice de réfraction vue sous cette polarisation : δn = 1 2n [e ε re εe ]E. Approximation d enveloppe lentement variable : [ 2 2ik + δn ] 2 k 2 A(x)e = 0. n gradient dans les directions perpendiculaires à k. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 7 / 25

Asymptotique Champ caractéristique : E 0, intensité caractéristique : I 0, Densité caractéristique des électrons : n 0 = si 0 (N D N A )/γ r N A (suppose que n e N A ). Permittivité relative caractéristique le long de la direction c : ε c. Trois temps caractéristiques : 1 temps de vie caractéristique d un électron (dans le noir) τ e = 1/γ r N A, 2 temps d évolution caractéristique des donneurs ionisés τ d = 1/γ r n 0 (n 0 N A τ e τ d ), 3 temps de relaxation caractéristique du champ électrique t 0 = ε 0 ε c /eµn 0, (le seul à garder éventuellement) Longueur de Debye : L D = ε 0 ε c E 0 /en A. Si dérive et diffusion isotrope ont le même ordre de grandeur ( ) kb T ε 0 ε 1/2 ( ) c kb TN 1/2 A L D = e 2 et E 0 =. N A ε 0 ε c B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 8 / 25

Hypothèses sur le matériau adiabaticité (plus dépendance en temps), densité des donneurs N D très élevée, le champ de charge d espace dérive d un potentiel L D ϕ = E sc, faisceau laser pas trop fin et d amplitude faible, champ externe appliqué pas trop fort. Après adimensionnement, on pose U = ϕ ln I solution de l équation U ϕ + 2 U k D E ph c I = 0. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 9 / 25

Hypothèses sur le matériau adiabaticité (plus dépendance en temps), densité des donneurs N D très élevée, le champ de charge d espace dérive d un potentiel L D ϕ = E sc, faisceau laser pas trop fin et d amplitude faible, champ externe appliqué pas trop fort. Après adimensionnement, on pose U = ϕ ln I solution de l équation U ϕ + 2 U k D E ph c I = 0. Hypothèses géométriques (LiNbO 3 ) : Propagation : k = ke z, Axe optique, polarisation et champ externe : c = e = e x, r = r xxx et ε n 2 donc δn = 1 2 n3 re 0 L D x ϕ. Une équation de propagation [ z + i 2k 2 ] A(x) = i k 2 n2 re 0 L D x ϕa(x). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 9 / 25

Modèle de Zozulya Anderson Adimensionement en espace : α = k 2 n2 re 0 (inverse d une longueur). Équation de Zozulya Anderson [ z i ] 2 2 A = ia x ϕ, 2 ϕ + ln(1 + A 2 ) ϕ = x ln(1 + A 2 ). Généralisation mathémmatique : { i t A + A = aa x ϕ, a = ±1, ϕ + ln(1 + A 2 ) ϕ = x ln(1 + A 2 ), où = 2 x + 2 y ou = 2 x. a = 1 : cas focalisant ; a = 1 cas défocalisant (idem NLS). Pour l analyse mathématique { i t A + A = aa x ϕ, div ( (1 + A 2 ) ϕ ) = x ( A 2 ). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 10 / 25

Plan de l exposé 1 Dérivation du modèle 2 Un modèle de Schrödinger saturé 3 Le modèle asymptotique 2D B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 11 / 25

Le modèle (SNLS) En 1D, si A = lim x ± A 2, le système se réduit à une seule équation i t A + 2 x A = a A 2 A 2 1 + A 2 A. Pour l étude du problème de Cauchy : i (SNLS) t A + A = a A 2 A 1 + A 2, a = ±1, A(x, 0) = A 0 (x), (2.1) avec A = A(x, t) et x R d. Autre contexte de dérivation : propagation d un laser dans des vapeurs gazeuses. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 12 / 25

Problème de Cauchy Théorème Théorème (i) Soit A 0 L 2 (R d ). Alors il existe une unique solution A C(R; L 2 (R d )) de (SNLS) qui satisfait de plus A(x, t) 2 dx = R d A 0 (x) 2 dx, R d t R. (ii) Si A 0 H 1 (R d ). La solution ci-dessus vérifie A C(R; H 1 (R d )) et [ ] A(x, t) 2 dx + a ln(1 + A(x, t) 2 ) dx R d [ ] = A 0 (x) 2 dx + a ln(1 + A 0 (x) 2 ) dx, t R. R d B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 13 / 25

Problème de Cauchy Preuve Estimations a priori dans L 2. Formulation de Duhamel : si S(t) est le groupe associé à l évolution par i t A + A = 0 alors t A(x, t) = S(t)A 0 (x) a 0 A(x, s) 2 S(t s) A(x, s) ds. 1 + A(x, s) 2 x x/(1 + x) lipschitzienne, donc contraction et existennce locale. Existence globale grâce à l estimation a priori. Idem pour la théorie H 1. Remarque : tout ceci ne dépend pas du signe de a. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 14 / 25

Ondes solitaires 1D Onde solitaire brillante : A(x, t) = e iωt u(x) avec lim x ± u(x) = 0, u(0) = u m, son maximum, u (0) = 0. Une unique fréquence possible : ( ω = a 1 ln(1 + ) u2 m) um 2 et u (x) = sign(x) ln(1 + u 2 ) u2 um 2 ln(1 + um). 2 Onde solitaire foncée : A(x, t) = u(x) avec lim x ± u(x) = ±u, u(0) = 0 et u(x) u. ( ) 1 + u u (x) = sign(u ) u 2 u 2 (1 + u ) 2 2 ln 1 + u 2. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 15 / 25

Non existence d ondes solitaires I Solitons : A(x, t) = e iωt U(x) avec U H 1 (R d ). Equation elliptique : (SW ) U + ωu = a U 2 U 1 + U 2, U H1 (R d ). Lemme Aucune onde solitaire non-triviale (solution de (SW)) n existe si (i) a = 1 (cas défocalisant), pour ω 0. (ii) a = 1 (cas focalisant) et ω 1. (iii) a = ±1 si ω < 0 pourvu que U 2 /(1 + U 2 ) = O(1/ x 1+ε ), ε > 0 quand x +. Ingrédients de la preuve : identité d énergie, identité de Pohozaev, résultat de Kato sur l abscence de valeurs propres plongées. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 16 / 25

Non existence d ondes solitaires II Proposition Soit a = 1 et 0 < ω < 1. Alors toute solution U H 1 (R d ) de (SW) satisfait U H (R d ), e δ x U L (R d ) pour tout δ < ω/2. Ingrédients de la preuve : estimations d énergie avec le poids e δ x, écriture de la solution comme une convolution (produit dans l espace de Fourier), comportement du noyau grâce aux fonctions de Bessel, bootstrap. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 17 / 25

Existence d ondes solitaires On cherche des solutions non triviales, radiales U(x) = u( x ) u(r) et H 1 de U + ωu = U 2 U 1 + U 2 avec 0 < ω < 1. d où l ODE (Rad) u d 1 u + ωu = u3 r 1 + u 2, u H 2 (]0, [), u (0) = 0. On utilise un résultat classique de Berestycki, Lions et Peletier. Théorème Si a = 1 et 0 < ω < 1, il existe une solution positive non triviale de (Rad). Remarque: u satisfait le taux de décroissance en e δr. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 18 / 25

Plan de l exposé 1 Dérivation du modèle 2 Un modèle de Schrödinger saturé 3 Le modèle asymptotique 2D B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 19 / 25

Estimations a priori Lemme Problème : exprimer A en terme de ϕ pour A L 2 (R 2 ). ϕ unique mais l application n est pas lipschitzienne. difficulté pour le point fixe. Avec A H 2 (R 2 ), l application est lipschitzienne. On pose H = {ϕ S (R d ), (1 + A 2 ) 1/2 ϕ L 2 (R d )}/R. Lemme (i) Soit A L 2 (R 2 ). Il existe un unique ϕ H solution de div((1 + A 2 ) ϕ) = x ( A 2 ) in D (R 2 ) tel que (1 + 1 R 2 2 A 2 ) ϕ 2 dx 1 A 2 dx. 2 R 2 (ii) Si de plus A H 2 (R 2 ), alors ϕ H 2 (R 2 ) et il existe un polynôme P qui s annule en 0 tel que ϕ H 2 (R 2 ) P( A H 2 (R 2 ) ). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 20 / 25

Estimations a priori Preuve Eléments de preuve : (i) Régularisation par convolution + théorème de Riesz Extraction d une sous-suite,... (ii) Donner un sens à A 2 ϕ dans H 1 (R 2 ) ϕ = A 2 1 + A 2 ϕ + x( A 2 ) =: F. 1 + A 2 F L r (R 2 ), pour tout r ]1, 2[, avec F L 2 (R 2 ) C A L 2 (R 2 ) A H 2 (R 2 ). Pour tout p > 2, F L p (R 2 ) C A 2 H 2 (R 2 ) (1 + A L 2 (R 2 ) A H 2 (R 2 ) ) et ϕ W 1,p (R 2 ) C A 2 H 2 (R 2 ) (1 + A L 2 (R 2 ) A H 2 (R 2 ) ). ϕ A 2 /(1 + A 2 ) H 1 (R 2 ). ϕ = F H 1 (R 2 ) et ϕ H 2 (R 2 ) P( A H 2 (R 2 ) ). B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 21 / 25

Non existence d ondes solitaires On cherche des solutions de la forme (e iωt U(x), φ(x)) avec x R d, ω R, U H 1 (R d ) et φ H. (U, φ) est solution de (SW ) Existence : problème ouvert. Cependant Proposition { U + ωu = au x φ, div((1 + U 2 ) φ) = x ( U 2 ). (3.1) (i) Soit a = 1 (cas défocalisant). Alors il n existe de pas de solution non triviale de (SW) pour ω 0. (ii) Soit a = 1 (cas défocalisant). Alors il n existe de pas de solution non triviale de (SW) pour ω 1. (iii) Soit a = ±1. Alors il n existe de pas de solution non triviale de (SW) pour ω < 0 pourvu que x φ = O(1/ x 1+ε ), ε > 0 quand x +. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 22 / 25

Problème de Cauchy Théorème Théorème Soit A 0 H 2 (R 2 ). Alors il existe T 0 > 0 et une unique solution (A, ϕ) telle que A C([0, T 0 ]; H 2 (R 2 )) et ϕ C([0, T 0 ]; H 2 (R 2 )). De plus A(, t) L 2 (R 2 ) = A 0 L 2 (R 2 ), 0 t T 0 et (1 + 1 R 2 2 A 2 ) ϕ 2 dx 1 A 0 2 dx, 0 t T 0. 2 R 2 Remarque: On ne sait rien du caractère global ou non des solutions. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 23 / 25

Problème de Cauchy Preuve Unicité. Estimations d énergie et Gronwall. Estimation a priori locale en temps dans H 2. Méthode de compacité : approximation du système par i t A ε + A ε = aa ε x ϕ ε, ( div (1 + ε 2 + A ε 2 ) ϕ ε) = x ( A ε 2 ), A ε (, 0) = A 0. Ce problème est globalement bien posé dans H 2. Limite ε 0. Lemme de compacité de Aubin Lions, approximation de Bona Smith. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 24 / 25

Conclusion Réalisations Perspectives Dérivation complète mais heuristique du modèle de Zozulya Anderson. Étude des problème de Cauchy. Existence et non-existence d ondes solitaires. Problème de Cauchy plus «léger» en 2D, voire global. Gamme plus large de phénomènes physiques (mémoire). Stabilité transverse des solitons 1D dans le modèle 2D. Conditions aux bords à la Zhidkov. Numérique. B. Bidégaray-Fesquet (LMC) Modélisation de matériaux photoréfractifs JERA 2006 25 / 25