MATHÉMATIQUES Pascal Chauvin 6 e Année scolaire 2014 / 2015 Version du 28 janvier 2015 Paternité Pas d utilisation commerciale Partage des conditions initiales à l identique Licence Creative Commons 2.0 France
Pascal Chauvin Collège Garcie Ferrande 85 800 St-Gilles-Croix-de-vie courriel : pascal.chauvin@e-lyco.fr
Table des matières 1 Consignes de présentation et pour le matériel 3 1. Consignes.................................. 4 a. L organisation des cahiers..................... 4 b. La présentation des copies..................... 4 c. Les travaux notés : interrogations et contrôles.......... 5 2. Le matériel................................. 5 2 La numération décimale (partie 1) 6 1. Activités................................... 7 2. Connaissances................................ 7 3. Exercices................................... 8 3 Rédaction des calculs 10 1. Rédaction des calculs et des égalités.................... 11 a. Les égalités............................. 11 b. L organisation des calculs...................... 11 2. Les traces dans le calcul mental...................... 11 a. Exemple du calcul mental de 7 2,9................ 12 b. Exemple du calcul mental de 365 ˆ 8............... 12 c. Exemple du calcul mental de 2,7 6................ 12 d. Un autre exemple : multiplication par 5.............. 13 3. Les opérations posées............................ 13 4. Le brouillon................................. 13 5. Une nouvelle manière de rédiger les calculs................. 13 6. Exercices................................... 14 A Divers 16 2
Consignes de présentation et pour le matériel Notions abordées dans le chapitre 3
Chapitre 1. Consignes de présentation et pour le matériel 4 1. Consignes a. L organisation des cahiers On sépare le cahier en deux parties : 1. du début jusqu à la moitié des pages : la partie «COURS» ; 2. de la moitié à la fin des pages : la partie «EXERCICES». La première page de chaque partie doit comporter des informations : le nom et le prénom du propriétaire du cahier, sa classe, l année scolaire et un titre. Ces informations sont écrites soigneusement et soulignées (avec une règle). Si le cahier ne comporte pas de marges, on trace une marge sur chaque page, avec une règle. Lorsqu il n y a plus de place où écrire, on prévoit d acheter sans attendre un nouveau cahier!!! b. La présentation des copies On utilisera toujours une vraie copie double, et non deux feuilles reliées ensemble. Aucune râture ou tâche n est acceptable, même involontaire!!! Conseil : le meilleur moyen d éviter les râtures est de faire un brouillon! Si nécessaire, on barre proprement d un seul trait de règle ce qui ne convient pas. Il n y a aucune raison valable de faire des fautes d orthographe dans un travail de Mathématiques. Si les marges ne sont pas imprimées, on tire une marge (largeur de 5 cm) sur chaque page de la copie. Au début de chaque exercice, le mot «Exercice» est écrit en entier et en Français correct, avec son numéro ; le tout est souligné (avec une règle). On souligne les titres et on encadre les réponses. On tire un trait à la règle sur toute la largeur de la page entre deux exercices. On écrit avec un stylo à encre ou à bille, en noir ou en bleu. Les figures seront réalisées au crayon à papier, et on laisse les traits de construction. Le titre de la copie double doit comporter : le nom, le prénom, la classe, la date du travail. On écrit le numéro de la question au début de chaque réponse. On répond aux questions l une après l autre, dans l ordre de l énoncé, sans mélanger les réponses.
Chapitre 1. Consignes de présentation et pour le matériel 5 c. Les travaux notés : interrogations et contrôles Sauf exception, les copies seront corrigées avec le barème qui suit. Chaque exercice est noté sur quatre points, avec la répartition ci-dessous : lettre points critères A 0 sur 2 points : B 0,5 connaissances C 1 exactitude des calculs et des démonstrations D 1,5 correction des figures et des croquis E 2 I 0 sur 1 point : J 0,5 rédaction des calculs et égalités K 1 rédaction des démonstrations respect des notations et des unités traits de construction des figures R 0 sur 1 point : S 0,5 qualité de l orthographe et de l expression T 1 qualité de la présentation, soin de l écriture 2. Le matériel La première chose à respecter pour bien travailler, est de posséder un matériel complet et en bon état, à la maison comme en classe : un cahier de brouillon ; une règle ; une équerre ; un rapporteur ; un compas ; les stylos (noir, bleu, rouge et vert) ; un crayon de bois (pour les figures). une calculatrice en bon état sera parfois autorisée. Elle n est généralement pas indispensable.
2 La numération décimale (partie 1)......... Notions abordées dans le chapitre 6
Chapitre 2. La numération décimale (partie 1) 7 1. Activités Activité 1 Écrire tous les nombres possibles en utilisant un ou plusieurs mots parmi «cinq», «quarante» et «mille» (on utilisera chaque mot une fois au plus). 2. Connaissances On rappelle qu un nombre entier est un nombre obtenu en comptant les objets d une collection : «2 402 389 011» est un nombre entier (on dit aussi «nombre entier naturel») ; «3,1» n est pas un nombre entier. Propriété 1 Un nombre entier s écrit en utilisant un chiffre ou plusieurs chiffres. De la même façon : en Français, un mot s écrit en utilisant une lettre ou plusieurs lettres. Propriété 2 La valeur d un nombre entier dépend de la position de chaque chiffre : si on échange les positions de deux chiffres, la valeur du nombre peut changer. Les nombres 3 383 et 3 833 s écrivent avec les mêmes chiffres et pourtant ils n ont pas la même valeur : 3 383 3 833 et 3 383 ă 3 833 On utilise dix symboles tous différents, appelés chiffres, pour écrire les nombres entiers et les nombres décimaux. Dans la numération décimale, les chiffres sont : 0, 1, 2, 3... 9. Dans l écriture d un nombre, on reconnaît le chiffre des unités : s il n existe pas de virgule : c est le chiffre le plus à droite (dernier chiffre à droite) ; s il existe une virgule : c est le chiffre à gauche de la virgule. On déduit le rang des autres chiffres à partir de la position du chiffre des unités, à l aide du tableau suivant :... millier centaine dizaine unité dixième... On peut écrire autant de colonnes que l on veut, vers la gauche ou vers la droite, pour écrire les très grands ou très petits nombres.
Chapitre 2. La numération décimale (partie 1) 8 3. Exercices Exercice 1 On écrit l un après l autre tous les nombres de 1 à 50. Combien a-t-on utilisé de chiffres? Exercice 2 On numérote toutes les pages d un livre qui se termine à la page 308. Combien a-t-on utilisé de chiffres? Exercice 3 Dans le nombre 84 653 709 : 1. Quel est le chiffre des unités? 2. Quel est le chiffre des dizaines? 3. Quel est le chiffre des centaines de milliers? 4. Quel est le chiffre des dizaines de millions? 5. Quel est le chiffre des unités de milliers? Exercice 4 Recopier les nombres suivants en ayant supprimé les zéros inutiles : 1. 0 000 015,000 000. 2. 082. 3. 00706. 4. 202,02. 5. 202,200. 6. 0865,100010. 7. 000,00405060. Exercice 5 Dans le nombre 912, 345 608 : 1. Quel est le chiffre des unités? 2. Quel est le chiffre des centièmes? 3. Quel est le chiffre des millionièmes? 4. Quel est le chiffre des dix-millièmes? 5. Quel est le chiffre des milliers? Exercice 6 Manuel Sesamath 6 e : exercice 1 p. 18. Exercice 7 Manuel Sesamath 6 e : exercice 3 p. 18.
Chapitre 2. La numération décimale (partie 1) 9 Exercice 8 Manuel Sesamath 6 e : exercice 4 p. 18. Exercice 9 Manuel Sesamath 6 e : exercice 6 p. 18.
3 Rédaction des calculs Notions abordées dans le chapitre la rédaction des calculs et des égalités les traces dans le calcul mental les opérations posées l utilisation du brouillon 10
Chapitre 3. Rédaction des calculs 11 1. Rédaction des calculs et des égalités a. Les égalités b. L organisation des calculs Pendant le calcul d une expression, on rédige les étapes du calcul sous la forme d une série d égalités. La fin de chaque ligne (après le signe ) est recopiée au début de la ligne suivante (avant le signe ). Pour une égalité (une ligne), on choisit à gauche une opération (en respectant les parenthèses) puis on effectue l opération choisie et on remplace à droite l opération par son résultat. Les opérations non effectuées sont recopiées à l identique. Pendant les calculs, les opérations peuvent être effectuées mentalement ou posées à part (en dehors des égalités). p3 ˆ 6,2q ` p3,25 2,4q 18,6 ` p3,25 2,4q 18,6 ` p3,25 2,4q 18,6 ` 0,85 18,6 ` 0,85 19,45 Donc : p3 ˆ 6,2q ` p3,25 2,4q 19,45. Cette manière de rédiger les calculs est longue car on doit souvent recopier... Les mathématiciens ont choisi une écriture moins correcte mais plus courte et plus rapide : ils font la convention de ne pas recopier la fin de la ligne précédente au début d une nouvelle égalité! Le lecteur des calculs doit donc se souvenir que ce qui précède le signe au début d une ligne, même quand rien n est écrit, est lisible sur la fin de la ligne précédente. p3 ˆ 6,2q ` p3,25 2,4q 18,6 ` p3,25 2,4q 18,6 ` 0,85 19,45 Dans cette manière d écrire les calculs, tous les signes doivent être alignés verticalement. 2. Les traces dans le calcul mental Lorsqu on fait du calcul mental, on ne pose aucune opération et on n utilise pas de calculatrice. Mais il n est pas interdit d écrire des égalités lors des calculs, pour «aider» la mémoire!
Chapitre 3. Rédaction des calculs 12 a. Exemple du calcul mental de 7 2,9 7 2,9 p6 ` 1q p2 ` 0,9q p6 ` 1q p2 ` 0,9q p6 2q ` p1 0,9q p6 2q ` p1 0,9q 4 ` 0,1 4 ` 0,1 4,1 Donc : 7 2,9 4,1. b. Exemple du calcul mental de 365 ˆ 8 365 ˆ 8 p300 ` 60 ` 5q ˆ 8 p300 ` 60 ` 5q ˆ 8 p300 ˆ 8q ` p60 ˆ 8q ` p5 ˆ 8q p300 ˆ 8q ` p60 ˆ 8q ` p5 ˆ 8q 2 400 ` 480 ` 40 2 400 ` 480 ` 40 2 880 ` 40 2 880 ` 40 2 920 Donc : 365 ˆ 8 2 920. c. Exemple du calcul mental de 2,7 6 6 3 2 2,7 0,9 0,45 Ce qui donne pour la rédaction des calculs : 2,7 6 p2,7 3q 2 p2,7 3q 2 0,9 2 0,9 2 0,90 2 0,90 2 0,45 Donc : 2,7 6 0,45.
Chapitre 3. Rédaction des calculs 13 d. Un autre exemple : multiplication par 5 Il est souvent préférable, pour le calcul mental, de faire plusieurs opérations simples qui remplacent une seule opération difficile : ˆ10 x x ˆ 10 2 x ˆ 10 2 ˆ5 On a donc la règle : x ˆ 5 px ˆ 10q 2 3. Les opérations posées Pour chacune des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division), il existe de nombreuses manières différentes de poser la même opération : la méthode choisie n a aucune importance, à condition qu elle soit correcte et que son résultat soit juste! La connaissance par cœur des tables de multiplication est indispensable! 4. Le brouillon Le brouillon est indispensable, même pour le calcul mental : on conserve des traces des calculs faits dans la tête. Le brouillon aide la mémoire pendant les calculs. Le brouillon est aussi très utile pour faire un croquis, préparer une figure complexe, ou rechercher une solution qui semble difficile à découvrir, préparer une réponse en corrigeant les fautes (y compris les fautes de Français)... 5. Une nouvelle manière de rédiger les calculs Les deux rédactions suivantes des calculs indiquent, dans les deux cas, que tous les nombres A, B, C, D,... N sont égaux.
Chapitre 3. Rédaction des calculs 14 Rédaction n o 1 (habituelle) A B B C C D D E... M N Donc : A N Rédaction n o 2 (nouvelle) A B A C A D A E... A N Donc : A N Pendant un calcul, on ne peut pas mélanger les deux manières de rédiger les égalités! Quand on choisit de nommer un nombre (à calculer), il faut veiller à ne pas utiliser une lettre déjà présente dans l énoncé. Comme exemple, rédiger de deux manières différentes le calcul de : p9,8 0,97q ˆ 76 6. Exercices Exercice 1 1. Calculer p7,8 ˆ 9q ˆ p3,4 2,56q. 2. Calculer p2 ` p10 0,37qq ˆ p9,1 5,9q. Exercice 2 Calculer, en rédigeant les calculs sous la forme d une série d égalités : 1. p239 ˆ p40 19qq 5 2. p0,4 ˆ 0,83q 0,004 92 3. pp50 2q 4,8q 16 Exercice 3 Calculer le nombre A, en rédigeant les calculs sous la forme d une série d égalités : A `3,3 2 ` ppp14,8 3,3q ˆ 3,3q 2q Exercice 4 Calculer la différence du produit de 3,8 par 6 et du quotient de 112,5 par 5.
Chapitre 3. Rédaction des calculs 15 Exercice 5 Bill et Miranda achètent, en réunissant leurs économies, des bonbons et des biscuits (Bill possède 5,40 US$ et Miranda possède 6,72 US$) : 5 paquets de bonbons à 0,78 US$ chaque paquet ; 6 paquets de biscuits à 1,30 US$ le paquet. Bill et Miranda décident de partager (équitablement) l argent non dépensé. 1. Calculer l argent disponible pour ces achats. 2. Calculer le prix (total) à payer. 3. Calculer l argent non dépensé que chacun recevra après achat.
16 A Divers
Annexe A. Divers 17
Annexe A. Divers 18
Annexe A. Divers 19 Unités légales de longueur...... km hm dam m dm cm mm......
Annexe A. Divers 20 Unités légales de longueur m
Annexe A. Divers 21 Unités légales d aire km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
Annexe A. Divers 22 Unités légales d aire Pour mesurer de grandes surfaces, on utilise des unités mieux adaptées : les ares (a) et les hectares (ha). km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 ha a
Annexe A. Divers 23 Unités légales d aire Pour mesurer de grandes surfaces, on utilise des unités mieux adaptées : les ares (a) et les hectares (ha). a m 2
Annexe A. Divers 24 Unités légales de volume km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
Annexe A. Divers 25 Unités légales de volume m 3
Annexe A. Divers 26 Unités légales de volume Pour la vie courante, on utilise une unité pratique : le litre (L). km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 kl hl dal L dl cl ml