CHAPITRE 2 GRAPHES 2.1 LES GRAPHES ET LEURS COMPOSANTES.

CHAPITRE 2 GRAPHES 2.1 LES GRAPHES ET LEURS COMPOSANTES. Faire le numéro 5 a)b) de la page 39 du cahier math 3000 Remarque importante : La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est toujours un nombre pair. De plus, cette somme correspond toujours au double du nombre d arêtes du graphe. Exemple : Le tableau ci-contre indique le degré de chacun des sommets du graphe tracé. Ce graphe comporte 7 arêtes, puisque la somme des degrés de tous ses sommets est 14. Sommet Degré A 4 B 4 C 2 D 1 E 3 Total 14 MATH 063504-CST 58 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 1 : a) Combien y a-t-il de sommets? b) Nommez-les : f) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? g) Quel est l ordre du graphe? c) Combien y a-t-il d arêtes? d) Nommez-les : h) Quel est le degré de chacun des sommets? e) Combien y a-t-il de boucles? f) i) Quel est la somme des degrés des g) Quels sont les sommets qui ne sont pas sommets? adjacents? Exemple 2 : h) Quel est l ordre du graphe? i) Quel est le degré de chacun des a) Combien y a-t-il de sommets? sommets? b) Nommez-les : f) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? g) Quel est l ordre du graphe? c) Combien y a-t-il d arêtes? d) Nommez-les : h) Quel est le degré de chacun des sommets? e) Combien y a-t-il de boucles? f) g) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? i) Quel est la somme des degrés des sommets? h) Quel est l ordre du graphe? i) Quel est le degré de chacun des sommets? MATH 063504-CST 59 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 3 : a) Combien y a-t-il de sommets? b) Nommez-les : f) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? g) Quel est l ordre du graphe? c) Combien y a-t-il d arêtes? d) Nommez-les : h) Quel est le degré de chacun des sommets? e) Combien y a-t-il de boucles? Exemple 4 : f) g) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? i) Quel est la somme des degrés des sommets? h) Quel est l ordre du graphe? i) Quel est le degré de chacun des sommets? a) Combien y a-t-il de sommets? b) Nommez-les : f) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? g) Quel est l ordre du graphe? c) Combien y a-t-il d arêtes? h) Quel est le degré de chacun des sommets? d) Nommez-les : e) Combien y a-t-il de boucles? i) Quel est la somme des degrés des f) sommets? g) Quels sont les sommets qui ne sont pas adjacents? h) Quel est l ordre du graphe? i) Quel est le degré de chacun des MATH 063504-CST 60 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC sommets?

Exemple 5: Représente ces graphes décrit par les sommets et les arêtes suivants : a) S = { a, b, c, d, e } b) S = { 0, 1, 2, 3, 4 } G = { bc, cd, ed, ee, be, bd } G = {{ 0, 1}, {0, 2},{0,3}, {0,4}, {1,4}, {1,1}, {2,2 }} Exemple 6 : On considère l ensemble S = { 0, 5, 10, 15 }. Tracez le graphe G de cet ensemble sachant qu un nombre x de S est en relation avec un nombre Y de S lorsque xy 50. Exemple 7 : On considère l ensemble S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Tracez le graphe G de cet ensemble sachant qu un nombre x de S est en relation avec un nombre Y de S lorsque x+y >5. MATH 063504-CST 61 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.2 GRAPHE SIMPLE, CONNEXE ET COMPLET MATH 063504-CST 62 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 1 : Lesquels de ces graphes sont simples : connexes : complets : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 MATH 063504-CST 63 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 2 : Trouvez l arête manquante de façon à rendre les graphes suivants connexes. Indiquez toutes les réponses possibles. a b a b c b a d c c e d e d Exemple 3 : Trouvez les arêtes manquantes de façon à rendre les graphes suivants complets. A a a b c d b b c d c e Remarques : - Un graphe complet est toujours connexe mais l inverse n est pas nécessairement vrai. - Le nombre minimal d arêtes que doit avoir un graphe d ordre n pour être connexe est n 1. - Le degré de chacun des sommets d un graphe d ordre n est toujours n 1. - Le nombre total d arêtes d un graphe complet d ordre n est toujours. MATH 063504-CST 64 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Autres exemples (série 1) : MATH 063504-CST 65 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

MATH 063504-CST 66 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Autres exemples (série 2) : MATH 063504-CST 67 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

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MATH 063504-CST 69 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

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2.3 CHAÎNES ET CYCLES Exemple 1 : Pour chacune des chaînes suivantes, 1. Trouvez la longueur. 2. Indiquez si la chaîne est un cycle 3. Indiquez si elles sont simples ou non a) gh 1. 2. 3. b) ghjhk 1. 2. 3. c) hijklih 1. 2. 3. d) ghhjkllm 1. 2. 3. Exemple 2 : On considère le graphe ci-contre, déterminez 6 a) d(5, 6) = 5 4 b) d(1, 3) = 3 2 1 MATH 063504-CST 71 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 3 : Considérons le graphe ci-contre. a Trouvez, dans ce graphe, un cycle simple de longueur égale à a) 3 b c d e b) 4 f c) 5 d) 6 e) 7 g h f) 8 g) 9 Exemple 4 : Considérons le graphe ci-contre. Déterminez tous les cycles simples de longueur 3 B C contenant l arête DE. A D E Déterminez tous les cycles simples de longueur 4. Déterminez tous les cycles simples de longueur 5. Exemple 5 : Construisez un graphe d ordre 4 Exemple 6 : Construisez un graphe d ordre 6 possédant une chaîne simple de longueur 3 et qui ne renferme pas de cycles d ordre 3 ou 4 deux sommets de degré 2. et qui contient 6 arêtes. MATH 063504-CST 72 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.4 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES SUR LES GRAPHES, LES CHAÎNES ET LES CYCLES Exemple 1 : MATH 063504-CST 73 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 2 : MATH 063504-CST 74 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 3 : Exemple 4 : MATH 063504-CST 75 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 5: Exemple 6 : MATH 063504-CST 76 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.5 LES CHAÎNES ET LES CYCLES EULÉRIENS Autres exemples : Tous les sommets du graphe ci-dessous sont de degré pair. Par conséquent, il est possible de trouver une suite d arêtes déterminant un cycle eulérien. Voici l un de ces cycles possibles : Le graphe ci-dessous comptant exactement deux sommets de degré impair, il est possible de trouver une suite d arêtes déterminant une chaîne eulérienne. Cette suite débutera et se terminera à chacun des sommets de degré impair. Voici une chaîne eulérienne possible : a - b - c - d - e - f - g - h - i - j - k - l - m a - b - c - d - e - f - g - h - i - j - k - l Exemple 1 : Pour chacun des graphes ci-dessous, décrivez, si c est possible, une chaîne eulérienne et un cycle eulérien. Si ce n est pas possible, expliquez pourquoi. a) b) MATH 063504-CST 77 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 2 : Pour chacun des graphes suivants, décrivez, si possible, une chaîne eulérienne et un cycle eulérien. Si ce n est pas possible, expliquez pourquoi. a) b) 2.6 LES CHAÎNES ET LES CYCLES HAMILTONIENS MATH 063504-CST 78 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemples : Sur le graphe ci-dessus, on peut déterminer une chaîne et un cycle hamiltoniens. Voici une chaîne hamiltonienne : b - h - i - d - e - f Voici un cycle hamiltonien : c - d - e - j - g - a - b Sur le graphe ci-dessus, on peut déterminer une chaîne hamiltonienne, mais aucun cycle hamiltonien. Voici une chaîne hamiltonienne : a - b - c - d - f - g Sur le graphe ci-dessus, on ne peut déterminer ni chaîne hamiltonienne ni cycle hamiltonien. Exemple 3 : Pour chacun des graphes ci-dessous, décrivez, si c est possible, une chaîne hamiltonienne et un cycle hamiltonien. a) b) Exemple 4 :Pour chacun des graphes suivants, décrivez, si possible, une chaîne hamiltonienne et un cycle hamiltonien. a) b) MATH 063504-CST 79 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 5 : Existe-t-il un cycle eulérien dans ce graphe? Exemple 6: MATH 063504-CST 80 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.7 ARBRE Tous les sommets d un arbre sont reliés les uns aux autres par une chaîne. Exemples fréquents d arbre : Arbre généalogique : Horaire de tournoi : Exemple 1 : MATH 063504-CST 81 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 2 : Exemple 3 : MATH 063504-CST 82 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.8 GRAPHE ORIENTÉ Remarques : 1) Une arête orientée peut s appeler flèche mais aussi ARC. 2) Pour avoir un chemin ou un circuit, il faut que les arcs (ou flèches) pointent dans le même sens. MATH 063504-CST 83 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : MATH 063504-CST 84 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 4 : Exemple 5 : Exemple 6 : MATH 063504-CST 85 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.9 GRAPHE VALUÉ IMPORTANT : - La valeur numérique est appelée «POIDS» de l arête. - Le poids d une chaîne ou d un cycle dans un graphe est la somme des poids des arêtes qui composent cette chaîne ou ce cycle. - Un graphe peut être à la fois valué et orienté. - Un arbre peut également être valué. Exemples : 1. Nommez le plus précisément possible le type des graphes ci-dessous. a) c) b) d) MATH 063504-CST 86 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2. Observez le graphe ci-contre. a) Décrivez les chemins possibles pour aller de B à A et précisez leurs poids. b) Donnez un circuit partant de D et passant par le plus de sommets possible, en précisant son poids. 3. 4. Déterminez la chaîne la plus courte du sommet a au sommet h. MATH 063504-CST 87 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.9 GRAPHE VALUÉ (suite) Autres exemples : Manuel page 126 MATH 063504-CST 88 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Manuel page 129 MATH 063504-CST 89 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.10 LE CHEMIN CRITIQUE On peut représenter les étapes d un projet, d une tâche, à l aide d un graphe valué et orienté qui tient compte : - des étapes préalables, - des étapes qui peuvent se réaliser en même temps (arêtes parallèles). Chaque projet ou tâche possède : - un sommet de départ et un sommet - chacun des autres sommets désignent une opération de la tâche - chacune des arêtes indique le temps d exécution de la tâche. On appelle chemin critique, le chaîne simple ayant le plus grand poids (c est la chaîne orientée du graphe qui a la valeur maximale). Son poids correspond au temps minimal qu il faut considérer pour réaliser le projet. Pour trouver le chemin critique, on doit déterminer le poids des différents chemins qui relient le début du projet jusqu à la fin et relever celui qui a le plus grand poids. Exemple 1 : Le tableau ci-contre représente les étapes réalisées par l équipe technique lors d une course automobile, au moment où une voiture s arrête au puits de ravitaillement. Sommets Description Temps(s) Préalable A Début 0 Aucune B Lever la voiture 3 A C Enlever le pneu avant droit 3,5 B D Enlever le pneu avant gauche 2,5 B E Enlever le pneu arrière droit 3 B F Enlever le pneu arrière gauche 2,5 B G Insérer le pistolet de la pompe à essence dans le réservoir 0,5 B H Essuyer la visière du casque du conducteur(trice) 5 B I Placer le nouveau pneu avant droit 3 C J Placer le nouveau pneu avant gauche 4 D K Placer le nouveau pneu arrière droit 3,5 E L Placer le nouveau pneu arrière gauche 3,5 F M Remplir le réservoir d essence 7 G N Baisser la voiture 1 I, J, K, L O Retirer le pistolet de la pompe à essence du réservoir 0,5 M P Signaler au conducteur qu il peut repartir 0,5 N, O, H Q Fin 0 P MATH 063504-CST 90 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Pour trouver le chemin critique, on doit construire le graphe valué orienté représentant cette situation pour déterminer la chaîne de poids maximal qui relie le début de la tâche jusqu à la fin de cette tâche. Construction du graphe : Comme l indique le graphe, certaines étapes du projet peuvent se dérouler en même temps (en parallèle). CHEMIN CRITIQUE : POIDS = DANS LE CONTEXTE DE LA SITUATION, QUE SIGNIFIE CETTE VALEUR DU POIDS DU CHEMIN CRITIQUE : Exemple 2 : Décrivez le chemin critique dans le graphe valué et orienté ci-dessous, et donnez son poids. MATH 063504-CST 91 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 3 : Le tableau suivant présente les étapes pour construire une maison. Étape Description Temps (en jours) A Début 0 B Choisir le plan de la maison 4 C Déboiser et égaliser le terrain 7 D Commander les matériaux 2 E Faire creuser les fondations 12 F Livraison des matériaux 3 G Couler les fondations 6 H Poser les murs et les planchers 4 I Poser les portes et les fenêtres 2 J Fin 0 Préalable aucun A A B C D E F H I Construction du graphe : Comme l indique le graphe, certaines étapes du projet peuvent se dérouler en même temps (en parallèle). CHEMIN CRITIQUE : POIDS = DANS LE CONTEXTE DE LA SITUATION, QUE SIGNIFIE CETTE VALEUR DU POIDS DU CHEMIN CRITIQUE : MATH 063504-CST 92 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Exemple 4 : Décrivez le chemin critique dans le graphe valué et orienté ci-dessous, et donnez son poids. Exemple 5 : Voici les tâches nécessaires à la réalisation du projet de soirée dansante ainsi qu une estimation du temps requis pour l accomplissement de chaque tâche. Étape Description A Début du projet 0 B Obtenir l accord de la direction et fixer une date 1 C Trouver des adultes acceptant de superviser la soirée 3 D Déterminer les dépenses de la soirée et planifier l organisation 1 E Désigner des élèves responsables du bon déroulement de la soirée 3 F Trouver un disc-jockey 5 G Produire les billets 1 H Vendre des billets d entrée pour couvrir les dépenses 5 I Préparer et afficher la publicité annonçant la soirée 3 J Acheter des rafraîchissements qui seront vendus au cours de la soirée 1 K Préparer la cafétéria, veiller au bon déroulement de la soirée et la replacer 1 L Faire un bilan de la soirée et en évaluer les profits financiers 3 M Enlever la publicité annonçant la soirée 1 N Fin du projet 0 Temps (en jours) Préalable AUCUN A B C D D D G D D E, F, H, I, J K K L, M MATH 063504-CST 93 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Construction du graphe : a) CHEMIN CRITIQUE : b) POIDS = c) DANS LE CONTEXTE DE LA SITUATION, QUE SIGNIFIE CETTE VALEUR DU POIDS DU CHEMIN CRITIQUE : d) Finalement, il s est avéré plus difficile que prévu de trouver un disc-jockey. Cela a nécessité 8 jours. Quelle est la conséquence sur le temps de préparation de la soirée dansante? Exemple 6 : Trouve la valeur de x s il fait partie Exemple 7 : du chemin critique. 7 x MATH 063504-CST 94 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.11 L ARBRE DE VALEUR MINIMALE L arbre de valeur minimale Dans certaines situations se modélisant par un graphe valué, par exemple des situations impliquant des réseaux (électricité, canalisation, communication, routes, etc.), on cherche souvent à minimiser les coûts, les distances, etc. On doit alors trouver l arbre de valeur minimale qui relie entre eux tous les sommets du graphe. Voici l algorithme pour trouver l arbre de valeur minimale. 1) On choisit l arête ayant le plus petit poids du graphe. (Dans le cas où plusieurs arêtes ont le même poids, le choix de l une d elles est arbitraire.) 2) On poursuit le choix d arêtes en s assurant de sélectionner l arête ayant le plus petit poids parmi les arêtes restantes, à condition qu elle ne forme pas un cycle simple avec les précédentes. 3) Lorsqu il n est plus possible de choisir une arête sans former un cycle simple, on obtient alors l arbre de valeur minimale, et cette valeur est la somme des poids des arêtes formant l arbre. Exemple 1 : a) En appliquant l algorithme décrit ci-dessus, trouvez l arbre de valeur minimale du graphe ci-contre. b) Donnez la valeur de l arbre de valeur minimale trouvé en a). c) Trouvez l arbre de valeur maximale du graphe et donnez sa valeur. d) Donnez la valeur de l arbre de valeur maximale trouvé en c). MATH 063504-CST 95 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.12 LA CHAÎNE DE POIDS OPTIMALE (MINIMALE OU MAXIMALE) Dans certaines situations se modélisant par un graphe valué, il est parfois utile de trouver la chaîne de poids minimal reliant deux sommets ciblés. Exemple : Dans le graphe ci-contre, les sommets représentent des villes et les arêtes des routes. Le poids de chaque arête est une distance en kilomètres. On cherche une façon de partir du village A et d atteindre le village H en parcourant la plus petite distance possible. À partir de ce graphe, on doit alors chercher la chaîne de poids minimal reliant le sommet A au sommet H. Voici une façon de procéder pour y arriver. 1) À partir de A, on peut se rendre à l un des quatre sommets adjacents : B, C, D et E, et ce, directement ou non. Pour chacun des sommets, on évalue les différentes distances parcourues à partir de A (voir le tableau ci-dessous). Évaluation des distances De A vers B : 5 km De A vers C : 2 km De A vers D : 3 km De A vers D (via C) : 4 km De A vers E : 11 km De A vers E (via B) : 9 km Puis, pour chaque sommet, on ne retient que la distance la plus courte et le nom du sommet qui est le prédécesseur immédiat. 2) On poursuit l évaluation des distances pour les sommets adjacents succédant à ceux qui ont été évalués précédemment. On ne retient que la distance la plus courte et le nom du sommet qui est le prédécesseur immédiat. 3) Lorsque le sommet H est évalué, on trouve la valeur de la chaîne de poids minimal reliant A à H, soit 12 km. Pour savoir quelle est cette chaîne, il faut procéder à rebours à partir de H, en suivant les sommets prédécesseurs qui ont été notés, ce qui donne F E B A. Ainsi, la chaîne de poids minimal reliant A à H est A B E F H et sa valeur est de 12 km. MATH 063504-CST 96 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Autres exemples : 1) Dans le graphe ci-contre, les sommets représentent des relais et les arêtes des sentiers de motoneige. Le poids de chaque arête est une distance en kilomètres. On veut trouver la chaîne de poids minimal reliant les sommets A et J et déterminer son poids. 2) Décrivez la chaîne de poids minimal reliant le sommet A au sommet H dans les graphes suivants et donnez son poids. a) b) MATH 063504-CST 97 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Autres exemples (arbre, chaîne, cycle): MANUEL page 161 numéro 12 MATH 063504-CST 98 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2.13 LE NOMBRE CHROMATIQUE Le nombre chromatique Lorsqu on effectue une planification en tenant compte des incompatibilités entre certains des éléments impliqués, il peut s avérer utile de recourir à un graphe coloré, notamment lorsqu on planifie des horaires d examens, des regroupements d animaux ou encore la façon de placer des convives autour d une table. Souvent, dans les graphes illustrant de telles situations, un sommet représente un élément impliqué, et une arête une incompatibilité entre deux de ces éléments. Exemple : On doit déplacer des animaux rapidement et on possède peu de cages pour les transporter. On peut illustrer cette situation par un graphe, où chaque sommet représente un animal et chaque arête Animaux Incompatibilité une incompatibilité entre deux animaux pour le transport. A B C D E F G H I C,E,I C,F,G,H,I A,B,D,F C,E,F,H A,D B,C,D B,I B,D A,B,G En trouvant le nombre chromatique de ce graphe, à la suite de sa coloration, on détermine le nombre de cages nécessaires au transport. On placera alors les animaux associés à une même couleur dans la même cage. Voici une façon de procéder pouvant aider à faire la coloration d un graphe et ainsi à déterminer le nombre chromatique de ce graphe. Le nombre chromatique d un graphe est le nombre minimal de couleurs différentes nécessaires pour colorer tous les sommets de ce graphe sans que deux sommets adjacents aient la même couleur. MATH 063504-CST 99 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

Autres exemples : 1. Déterminez le nombre chromatique des graphes suivants. a) b) 2. Avec 10 sortes de plantes, on veut créer un jardin divisé en secteurs. Certaines plantes ne doivent pas se trouver dans le même secteur, car elles peuvent se nuire mutuellement dans leur croissance. On peut illustrer cette situation par le graphe ci-contre, où chaque sommet représente une plante et chaque arête une incompatibilité entre deux plantes. a) Combien de secteurs au minimum le jardin doit-il compter? Expliquez votre façon de procéder pour colorer le graphe. b) Quelles plantes peuvent être plantées dans un même secteur? MATH 063504-CST 100 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT- LUC

MATH 063504-CST 101 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT- LUC