T ES/L EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE Rappel Exercice 1 Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N( ;²) lorsque Z = X suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x = Une assurance s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2013. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût. L'étude des années précédentes montre que X suit la loi normale de moyenne 1130 et d'écart type 180. Quelle est la probabilité qu'en 2013 un sinistre pris au hasard coûte entre 850 et 1700 euros? Exercice 2 Une usine fabrique des puzzles de 512 pièces. Pour tester la conformité des puzzles, le service qualité de l'entreprise prélève au hasard un puzzle de 512 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui à un puzzle donné associe le nombre de pièces non conforme. On estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'écart type 3. 1) Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 12 pièces non conformes dans le puzzle. 2) Déterminer le réel x 0 tel que p(x > x 0 ) = 0,01. En déduire le plus petit entier k tel que la probabilité que le puzzle comporte plus de k pièces non conformes soit inférieure à 0,01. Exercice 3 On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par la société Toutdeloi sont distribuées normalement avec une moyenne de 250g et d'un écart type de 10g. On considère qu'un bloc n'est pas rentable si sa masse est plus grande ou égale à 265g. Calculer le pourcentage de blocs non rentables fabriqués par cette société. Exercice 4 La sélection chez les vaches laitières de race «Française Frisonne Pis Noir» (*) La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne =6000 et d'écart type =400. La fonction g désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1) Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres de lait par an. b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an. c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par an. 2) Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. b) La production minimale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau.
Exercice 5 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative (*) Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cl) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cl peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne μ et d écart-type = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. 1) a) À quelle valeur de la moyenne μ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? b) La contenance des bouteilles étant de 110 cl, quelle est alors, dans ces conditions, la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage? 2) Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risque de ne plus suivre la législation. a) Quelle est alors la valeur de μ? b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? 3) Déterminer μ et afin qu il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent. Exercice 6 Durée de vie d un appareil (*) La durée de vie d'un certain type d appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de et ²? 2) Quelle est la probabilité d avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours? Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids d une plaquette de 125 g suit une loi normale d espérance μ = 125 et d écart type = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre μ 3 et μ + 3. 1) Calculer la probabilité qu une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d alerte μ h et μ + h tels que P (μ h X μ + h ) = 0,99. Ces poids d alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids d alerte. (*) Tiré des documents ressources de Terminale
Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique μ et l'écart type de la variable aléatoire X. 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire X μ réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. par la loi normale centrée Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z<x pour quelques valeurs du nombre réel x. x -1,55-1,24-0,93-0,62-0,31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z<x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à10 2 près de la probabilité de l'évènement : «le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».
T ES/L CORRECTION EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE Rappel Exercice 1 Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N( ;²) lorsque Z = X suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x = Une assurance s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2013. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût. L'étude des années précédentes montre que X suit la loi normale de moyenne 1130 et d'écart type 180. Quelle est la probabilité qu'en 2013 un sinistre pris au hasard coûte entre 850 et 1700 euros? Méthode 1 : Directe avec la calculatrice et la modification de μ et. On intéresse à p (850 X 1700) 0,939 Exercice 2 Méthode 2 : Avec la calculatrice et la loi centrée réduite N(0;1) X suit la loi N(1130,180²) Z = X 1130 180 Alors p(850 X 1700) = p ( 850 1130 180 suit la loi centrée réduite N(0;1) Z 1700 1130 ) = p ( 280 570 Z ) 180 180 180 Une usine fabrique des puzzles de 512 pièces. Pour tester la conformité des puzzles, le service qualité de l'entreprise prélève au hasard un puzzle de 512 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui à un puzzle donné associe le nombre de pièces non conforme. On estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'écart type 3. 1) Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 12 pièces non conformes dans le puzzle. p(x 12) 0,8413, on utilise la calculatrice avec μ = 9 et = 3. X 9 12 3 On peut aussi retrouver ce résultat avec : X 12 Z Z 1 3 3 p (X 12) p (Z 1) et en utilisant la loi centrée réduite N(0;1) 2) Déterminer le réel x 0 tel que p(x > x 0 ) = 0,01. x 0 15, 97 Utilisation de la calculatrice et InvNorm. En déduire le plus petit entier k tel que la probabilité que le puzzle comporte plus de k pièces non conformes soit inférieure à 0,01. k = 16 pièces. Exercice 3 On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par la société Toutdeloi sont distribuées normalement avec une moyenne de 250g et d'un écart type de 10g. On considère qu'un bloc n'est pas rentable si sa masse est plus grande ou égale à 265g. Calculer le pourcentage de blocs non rentables fabriqués par cette société. p (X 265) 0,06 Soit 6%.
Exercice 4 La sélection chez les vaches laitières de race «Française Frisonne Pis Noir» (*) La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne =6000 et d'écart type =400. La fonction g désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1) Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres de lait par an. p (X 5800) 0,308 b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an. p (5900 X 6100) 0,197 c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par an. p (6250 X) 0,2659 2) Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. p( X x 0 ) 0,3 Soit x 0 5790 Les 30% des vaches les moins productives produiront un maximum de 5790 litres. b) La production maximale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau. p( x 1 X ) 0,2 Les 20% des vaches les plus productives produiront un minimum de 6336 litres. Exercice 5 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative (*) Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cl) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cl peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne μ et d écart-type = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. 1) a) À quelle valeur de la moyenne μ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? Il s agit déterminer la valeur de μ telle que P(X < 100) < 0,001. On détermine d'abord la valeur z (on dit aussi quantile) de la loi normale centrée réduite, telle que P(Z < z) = 0,001. On trouve, à la calculatrice à l aide de FracNormale() ou InvN, z 3,09. Comme Z = X μ 2 On trouve 106,18., on obtient 3,09 100 μ 2 soit 100 + 2 3,09 b) La contenance des bouteilles étant de 110 cl, quelle est alors, dans ces conditions, la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage? Avec μ 106,18, on obtient P(X > 110) 0,028. 2) Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risque de ne plus suivre la législation. a) Quelle est alors la valeur de μ? Il s agit cette fois de déterminer μ tel que P(X > 110) < 0,01. On détermine d'abord la valeur z de la loi normale centrée réduite, telle que P(Z > z) = 0,01 ou P(Z < z) = 0,99. On trouve, à la calculatrice à l aide de FracNormale() ou InvN, z 2,33. Comme Z = X μ 110 μ, on obtient 2,33 = 2 2 On trouve 105,34.
b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? Avec cette valeur de μ, on obtient P(X < 100) 0,0038, ce qui est plus élevé que dans le cas précédent. 3) Déterminer μ et afin qu il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent. On cherche donc à déterminer les valeurs de μ et de de sorte que : P(X < 100) < 0,001 et P(X > 110) < 0,01. Les deux contraintes sur les probabilités fournissent les deux conditions suivantes. On détermine d'abord la valeur z sup de la loi normale centrée réduite telle que P(Z > z sup ) = 0,01 c'est-à-dire que P(Z < z sup ) = 0,99 On trouve avec la calculatrice z sup 2,33. On détermine ensuite la valeur z inf telle que P(Z < z inf ) = 0,001. On trouve z inf 3,09. Les deux contraintes se traduisent donc par les deux inégalités suivantes : 110 100 2,33 et 3,09 On obtient donc un domaine de solutions et une discussion pourra être menée quant aux choix pertinents que le directeur de coopérative pourrait faire. Exercice 5 Durée de vie d un appareil (*) La durée de vie d'un certain type d appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de et ²? On note X la variable durée de vie. Les spécifications se traduisent par : p(120 X 200) = 0,8 et p(x < 120) = 0,05 Alors p(x 200) = 0,8 + 0,05 et p(x < 120) = 0,05 Donc p(x 200) = 0,85 et p(x < 120) = 0,05 En notant toujours Z = X la variable centrée réduite, on obtient : p (Z 200 ) = 0,85 et p (Z 120 ) = 0,05 On trouve, à la calculatrice à l aide de FracNormale() ou InvN, z 1,04. et z 1,65. Z = X μ et Z = X μ 2 2 1,04 = 200 μ et 1,65 = 120 μ = 200 1,04 et = 120 + 1,65 = 200 1,04 Par la résolution du système, { = 120 + 1,65 = 200 1,04 Alors { 0 = 80 2,69 = 200 1,04 { = 80 2,69
8000 = 200 1,04 269 { = 8000 269 { = 169,07 29,74 On obtient donc = 169 et ² 29, 74² 884 2) Quelle est la probabilité d avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours? En utilisant la calculatrice, on obtient : P(200 X 230) 0,13 Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids d une plaquette de 125 g suit une loi normale d espérance μ = 125 et d écart type = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre μ 3 et μ + 3. 1) Calculer la probabilité qu une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. La probabilité qu une plaque soit conforme est égale à P (μ 3 X μ + 3) 0,997 Donc la probabilité qu une plaquette ne soit pas conforme vaut environ 0,003. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d alerte μ h et μ + h tels que P (μ h X μ + h ) = 0,99. Ces poids d alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids d alerte. Afin de pouvoir utiliser la calculatrice, il faut déterminer P(X + h). On a P(X + h) = P(X ) + P( X + h) Or P(X ) = 0,5 (Rappel la courbe de la fonction densité est symétrique par rapport à la droite d équation x = ) Et P( X + h) = 1 2 Alors P(X + h) = 0,5 + 0,495 = 0,995 P( h X + h) = 0,99 2 = 0,495 Avec la calculatrice, comme X suit la loi normale N(125 ;0,5²), on trouve + h = 126,29 Alors h = 126,29 = 126,29 125 = 1,29 Donc + h = 125 1,29 = 123,71 D où les poids d alerte sont 123,71 et 126,29 Grâce à des échantillons prélevés en fin de chaîne, ces poids d alerte permettent de déceler l existence d anomalies de fonctionnement avant le dépassement des normes μ 3 et μ + 3 (*) Tiré des documents ressources de Terminale
Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique μ et l'écart type de la variable aléatoire X. La situation revient à répéter 220 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès (le salarié est malade) vaut 0,05. Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de salariés malades suit une loi binomiale B(220 ;0,05) (n=220 et p=0,05). En utilisant les formules du cours on a : μ = np = 220 0,05 = 11 = np(1 p) = 11(1 0,05) 3,23 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire X μ réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. par la loi normale centrée Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z<x pour quelques valeurs du nombre réel x. x -1,55-1,24-0,93-0,62-0,31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z<x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à10 2 près de la probabilité de l'évènement : «le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15». P(7 X 15) = P( 7 μ Avec 7 μ 7 11 3,23 15 μ Z 1,24 et 15 μ ) 15 11 3,23 1,24. Donc il faut calculer P( 1,24 Z 1,24) où Z suit la loi N(0 ;1). Par lecture dans le tableau on a : P(Z < 1,24) 0,108 et P(Z < 1,24) 0,892. Donc P( 1,24 Z 1,24)= P(Z < 1,24) - P(Z < 1,24) 0,892 0,108 0,78 Donc la probabilité que le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 est de 0,78.