Fonctions linéaires Je double, moi non plus Le côté d un carré mesure cm. $ Calculer son périmètre et son aire. On double le côté du carré. $ Calculer le périmètre et l aire du nouveau carré. Que remarque-t-on? 00 80 60 40 0 Activité Pri paé ( ) Représentation graphique de la proportionnalité Pendant une semaine de pri promotionnels, le magasin KDO offre une remise de % sur tous les articles. $ Reproduire et compléter le tableau suivant. Pri affiché ( ) 00 0 0 0 Pri paé ( ) 8 $ Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Donner le coefficient de proportionnalité. Le pri paé est proportionnel au pri affiché. On a placé dans le repère du plan ci-dessous les quatre points correspondant au tableau précédent. $ Prendre une règle et vérifier que la règle passe par les quatre points. $ Par quel autre point particulier du graphique la règle passe-t-elle aussi? $ Écrire une phrase pour résumer ces observations. Si deu grandeurs sont proportionnelles, elles sont représentées graphiquement par des points alignés avec l origine du repère. 44 0 0 40 60 80 00 0 Pri affiché ( )
Activité Définition d une fonction linéaire On veut résumer la situation précédente par une formule. On désigne par A le pri affiché (en ) et par P le pri paé (en ). $ Parmi les quatre formules suivantes, une seule correspond à la situation décrite à l activité. Laquelle? P A P 0,8A P 0,A P A 0, La formule trouvée ci-dessus montre qu il a une relation, une correspondance entre le pri affiché A et le pri paé P. On donne le nom de fonction à cette correspondance : P est fonction de A. On désigne souvent la fonction par une lettre, f par eemple. De plus, cette correspondance traduit ici la proportionnalité entre deu grandeurs ; on dit alors que la fonction f est linéaire. On définit une fonction linéaire f de coefficient a lorsque, à tout nombre, on fait correspondre le nombre a. $ Quel est le coefficient de la fonction linéaire f vue dans cette activité? Activité Vocabulaire et notations D après l activité, la formule P 0,8A permet de définir la fonction linéaire f de coefficient 0,8. On va voir comment peut s écrire une telle fonction linéaire. On sait que si A 0 (par eemple), alors P 0,8 0 7. Au nombre 0, la fonction f fait correspondre le nombre 7. On écrit f : 0 7 ou f (0) 7 qui se lit «f de 0 égale 7». On dit que 7 est l image de 0 par la fonction f. La fonction linéaire f de coefficient a se note f : a ou f () a. Le nombre a est l image de par la fonction f. Soit f la fonction linéaire de coefficient 0,8. $ Calculer f (0). $ Quelle est l image de 00 par la fonction f? 4
L ESSENTIEL. Fonctions linéaires Représentation graphique de la proportionnalité Si deu grandeurs sont proportionnelles, elles sont représentées graphiquement par des points alignés avec l origine du repère. Eemple 4 Définition d une fonction linéaire Si les valeurs d une grandeur sont proportionnelles au valeurs d une autre grandeur, on a la relation a où a est le coefficient de proportionnalité. Eemple Côté du carré (m) 0,8, Périmètre du carré (m), 4,8 8 Le périmètre d un carré est proportionnel à la longueur de son côté. On place dans un repère du plan les quatre points du tableau. Ils sont alignés sur une droite qui passe par l origine. ordonnée d un point = 4 abscisse du point Le côté c d un carré et son périmètre P sont des grandeurs proportionnelles et sont liés par la relation P 4c. 0 0 46 On définit une fonction linéaire f de coefficient a lorsque, à tout nombre, on fait correspondre le nombre a. La représentation graphique d une fonction linéaire f de coefficient a est l ensemble des points de coordonnées ( ; a). C est une droite qui passe par l origine du repère. Eemple La relation de l eemple précédent P 4c correspond à la fonction linéaire de coefficient 4. Sa représentation graphique est la droite tracée dans le premier eemple. C est l ensemble des points de coordonnées ( ;4). Vocabulaire et notations La fonction linéaire f de coefficient a se note f : a ou f () a. Le nombre a est l image de par la fonction f. Eemple Soit f la fonction linéaire de coefficient 4. On la note f : 4 ou f () 4 qui se lit «f de égale 4». Attention : ces parenthèses n ont pas le même sens qu en calcul algébrique ; il n a pas de multiplication entre f et la parenthèse. f(,) 4, 0 ; 0 est l image de, par f.
LES SAVOIR-FAIRE. Fonctions linéaires Comment utiliser un pourcentage de variation Un commerçant a augmenté tous ses pri de %. Après augmentation, un article coûte 86,70. Calculer le pri avant augmentation. Les pri avant et après augmentation sont des grandeurs proportionnelles. Déterminons le coefficient k qui permet de passer du pri avant augmentation au pri après augmentation. Sur un pri de 00, l augmentation est de ; le pri après augmentation est : 00 0. Le coefficient k est donc : 0,0. 00,0 Pri avant augmentation pri après augmentation,0 L énoncé peut donc se traduire par l équation :,0 86,70 où est le pri avant augmentation. On a alors 86,70 8.,0 Le pri avant augmentation est 8. Comment représenter graphiquement une fonction linéaire On donne la fonction linéaire g définie par g() 0,. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal. La représentation graphique de la fonction g est l ensemble des points de coordonnées ( ; 0,) où est un nombre quelconque. C est une droite qui passe par l origine du repère et on obtient l ordonnée d un point en multipliant son abscisse par 0,. Il suffit d un autre point que l origine pour tracer la droite. Choisissons par eemple 4. g(4) 0, 4. On place sur le graphique le point de coordonnées (4 ; ). On trace la droite qui passe par l origine et par le point de coordonnées (4 ; ). 0 4 Conseil Prendre un e point pour contrôler le tracé. 47
LES SAVOIR-FAIRE Comment déterminer une fonction linéaire. À partir de données numériques Déterminer la fonction linéaire s telle que s(). s est une fonction linéaire, donc s() a. Déterminer une fonction linéaire, c est déterminer son coefficient a. On sait que s(). Si on compare avec s() a, on voit que pour, on doit avoir a. Par conséquent, a, d où a 0,4. s est la fonction linéaire de coefficient 0,4. s est définie par s() 0,4.. À partir de sa représentation graphique D est la droite représentative d une fonction linéaire h. Déterminer cette fonction. D 0 0 D A Lire sur le graphique les coordonnées d un point de la droite, autre que l origine. Choisir, si possible, un point dont au moins une des coordonnées est un nombre entier. Prenons par eemple le point A. On lit graphiquement que le point A a pour abscisse et pour ordonnée. Donc h(). h est linéaire. Donc h() a. On obtient : a, d où a,. h est la fonction linéaire de coefficient,. h(), Conseil Prendre un autre point pour vérifier. 48
EXERCICES ET PROBLÈMES. Fonctions linéaires Proportionnalité Eercice $ Les deu suites de nombres données dans le tableau suivant sont-elles proportionnelles? Pourquoi? Eercice Ce tableau est un tableau de proportionnalité. a) Calculer le coefficient de proportionnalité. b) Compléter le tableau à l aide de ce coefficient. Eercice EXERCICE RÉSOLU Eercices 8,4,,8,6, 0,9 7 Sur une carte routière, on lit que cm représente km : les distances réelles sont proportionnelles au distances mesurées sur la carte. a) Eprimer km en cm, et epliquer pourquoi on dit que l échelle de la carte est /00 000. b) Compléter le tableau. Distance sur la carte (cm) 9 Distance sur le terrain (km) Solution a) km 00 000 cm. Les distances sur la carte sont 00 000 fois plus petites que les distances sur le terrain. On dit que l échelle de la carte est /00 000. b) Distance de la carte 9 cm Distance sur le terrain 9 00 000 800 000 cm 8 km Distance sur le terrain km 00 000 cm Distance sur la carte 00 000 00 000, cm Eercice 4 Sur une carte, 4 cm représentent km. $ Quelle est l échelle de la carte? Eercice Un randonneur utilise une carte au / 000. Il voudrait faire une marche de 4 km. $ Quelle est, en centimètres, la longueur de la randonnée sur la carte? Eercice 6 Sur une carte routière à l échelle / 000 000, deu villes sont distantes de cm. $ Quelle est, en kilomètres, la distance réelle entre les deu villes? Eercice 7 Après une augmentation de %, le pri d un article est 88,0. $ Calculer le pri avant augmentation. Eercice 8 Au mois de juin 00, un magasin a accueilli 7 00 clients. Le responsable constate qu il a perdu 6 % de sa clientèle depuis juin 004. $ Quelle était la fréquentation du magasin en juin 004? Eercice 9 Après une remise de %, le pri d un article est 49,0. $ Calculer le pri avant remise. Fonctions linéaires Eercice 0 $ Donner le coefficient de chacune des fonctions linéaires suivantes. f :,8 ; g : 7 ; h : ; j : ; r : ; s :. 4 Eercice $ Calculer l image de et de par chacune des fonctions de l eercice 0. 49
EXERCICES ET PROBLÈMES. Fonctions linéaires 0 Eercice On définit la fonction linéaire f par f () 4 et la fonction g par g :,. $ Calculer f (4) ; g (0,) ; f (,) ; g( 0) ; f ( ) ; g(0 ). Eercice On donne la fonction linéaire g définie par g(). $ Compléter le tableau suivant. 0 4 6 g() 9 Eercice 4 On donne la fonction linéaire h définie par h(). $ Compléter le tableau suivant. 0 6 4 h() Eercice a) Calculer le coefficient de la fonction linéaire f telle que f() 0. b) Calculer le coefficient de la fonction linéaire g telle que g() 6. c) Calculer le coefficient de la fonction linéaire h telle que h( ). d) Calculer le coefficient de la fonction linéaire j 4 telle que j ( ) 8. Eercice 6 $ Déterminer, en donnant leur coefficient, chacune des fonctions linéaires suivantes. a) Par la fonction linéaire f, 4 a pour image 6. b) Par la fonction linéaire g, 8 a pour image 4. 9 c) Par la fonction linéaire h, est l image de 4. d) Par la fonction linéaire j, 0 est l image de. Eercice 7 $ Représenter graphiquement dans un repère orthogonal d unités graphiques cm les fonctions linéaires suivantes. a) f définie par f :,. b) g définie par g(),8. c) h définie par h :. 4 Limiter le tracé à des valeurs de comprises entre 4 et 4. Eercice 8 $ Sans faire le graphique, répondre à la question suivante. Les points A( ; 8), B( ; 7,), C(0 ; 0) et D ( ;, ) appartiennent-ils à la représentation graphique de la fonction g définie par g(),6? Eercice 9 La fonction linéaire f est représentée ci-dessous par la droite (D). 0 (D) a) Lire sur le graphique les images de et. b) Déterminer le coefficient de la fonction linéaire f. c) Lire sur le graphique le nombre dont l image est 0,8. Eercice 0 La fonction linéaire g est représentée ci-dessous par la droite (D).
0 (D) a) Lire sur le graphique les images de et. b) Déterminer le coefficient de la fonction linéaire g. c) Lire sur le graphique le nombre dont l image est 0,. Eercice $ Associer à chacune des fonctions linéaires suivantes sa représentation graphique. f :,4 ; g : ; h : ; j : 0,8. 4 D D 0 Problèmes Problème Une personne a touché 600 pour 0 heures de travail. On suppose que le salaire S est proportionnel au nombre d heures de travail. a) Eprimer S en fonction de. b) Représenter graphiquement la fonction f définie par f() S pour compris entre 0 et 40. Unités graphiques : en abscisse, cm pour heures ; en ordonnée, cm pour 00. c) Déterminer graphiquement le nombre d heures de travail correspondant à un salaire de 60. Retrouver ce résultat par le calcul. D D 4 Problème Dans une opération de promotion, un magasin accorde une remise de 6 % sur les pri affichés. a) Le montant de la remise est proportionnel au pri affiché. Quel est le coefficient de proportionnalité? b) Déterminer la fonction linéaire f qui, au pri affiché, fait correspondre la remise. c) Le montant du pri à paer est proportionnel au pri affiché. Quel est le coefficient de proportionnalité? d) Déterminer la fonction linéaire g qui, au pri affiché, fait correspondre le pri à paer. e) Représenter graphiquement les fonctions f et g pour 0 000. Problème $ Traduire chacune des situations suivantes par une fonction linéaire. a) Une documentaliste achète livres à chacun. Eprimer le coût total c() en fonction de. b) Un robinet débite, litres par minute. Il coule pendant minutes. Eprimer le nombre de litres débités d() en fonction de. c) La voiture de monsieur Foucher consomme 6 litres au 00 km. Il parcourt km. Eprimer le nombre de litres consommés l() en fonction de. Problème 4. Un clindre de révolution a un raon de base de cm et une hauteur égale à h cm. a) Eprimer le volume V(h) du clindre en fonction de h. b) V est-elle une fonction linéaire?. Un parallélépipède rectangle a une base carrée de côté c (en cm) et une hauteur de cm. a) Eprimer le volume V(c) du parallélépipède rectangle en fonction de c. b) V est-elle une fonction linéaire?
Les mathématiques dans. Fonctions linéaires la comptabilité Pourcentages et facture Dans cet eercice, les pri seront arrondis au centime d euro et les coefficients multiplicateurs donnés avec cinq chiffres après la virgule. Monsieur Paul est gestionnaire dans une entreprise appelée Matbat. Il doit vérifier rapidement les factures éditées, et les corriger le cas échéant. Il s intéresse maintenant à la facture de Monsieur Durant. matbat Facture n 4 00 Le février Client n 7 Henri Durant Rue des Glcines 6900 BRON. Calculer le montant de la réduction et le pri réduit. Rue Pasteur 40 Saint-Qua-Portrieu. Calculer l escompte sur le pri réduit.. Calculer le pri net HT. 4. Calculer la TVA et le pri total TTC.. Calculer les coefficients multiplicateurs c et c associés à chaque remise tels que : pri réduit c pri initial pri net HT c pri réduit 6. La réduction totale est-elle de 4, % du pri initial? Justifier la réponse. DÉSIGNATION Lots fenêtres PVC v Réduction promo (, %) v Pri réduit v Escompte paiement comptant ( %) v Pri net HT v TVA (, %) Total (TTC) PRIX EN EUROS 8 40 HT 7. Est-il possible de calculer un coefficient multiplicateur permettant de passer directement du pri initial au pri total TTC? Justifier la réponse. 8. La société Matbat facture la livraison à hauteur de,7 % du pri total TTC. Calculer le pri réellement paé par le client livré. Calculer le nouveau coefficient multiplicateur permettant de calculer le pri paé à partir du pri initial. 9. Quel serait ce coefficient multiplicateur si l entreprise facture avec une promotion de %, un escompte de, %, une TVA de 9,6 % et des frais de livraison à %? 0. Dans le cas où les frais de livraison sont fiés à 8,4 quelles que soient les marchandises et le pri total TTC, est-il possible de déterminer un coefficient multiplicateur entre le pri initial et le pri paé par le client livré? Justifier la réponse.
la vie professionnelle Des commissions pour motiver Un pourcentage est défini par tranches lorsque le tau est différent suivant les intervalles ou tranches de la valeur sur laquelle il s applique. Pour motiver leurs commerciau, certaines entreprises leur accordent des commissions calculées sur le montant des ventes réalisées. Les tau sont progressifs et s appliquent par tranche. Un représentant touche une commission calculée selon le barème suivant : pour un montant des ventes inférieur à 0 000, il reçoit % ce montant ; pour un montant des ventes supérieur à 0 000 et inférieur à 60 000, il reçoit % de 0 000 plus 4 % du reste du montant ; pour un montant des ventes supérieur à 60 000, il reçoit % de 0 000, plus 4 % de 60 000 et % du reste du montant.. On veut calculer sa commission pour un montant des ventes de 00 000. a) Le représentant reçoit une commission de % sur les 0 000 premiers euros du montant des ventes. Calculer la commission correspondant à cette première tranche. b) Il reçoit une commission de 4 % sur la partie du montant des ventes comprise entre 0 000 et 60 000. Quel est le montant de cette tranche? Calculer la commission correspondant à cette deuième tranche. c) Il reçoit une commission de % sur la partie du montant des ventes qui dépasse 60 000. Quel est le montant de cette tranche? Calculer la commission correspondant à cette troisième tranche. d) Calculer le montant total de la commission.. Calculer le montant de la commission du représentant pour un montant des ventes de 0 000.