Web Data Mining Fouille des données de la toile



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Web Data Mining p. 10/2 Référence Bibliographique Essentiellement.. Bing Liu, Web Data Mining, Springer, 2007.

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Web Data Mining p. 11/2 Les règles d association - Terminologie Domaine décrit par une liste d atomes appelée items. Application : panier de ménagère dans un supermarché : [vin, fromage, chocolat] Un ensemble d items est une suite d items exprimée dans un ordre donné Une transaction est un ensemble d items, exemples

Web Data Mining p. 11/2 Les règles d association - Terminologie Domaine décrit par une liste d atomes appelée items. Application : panier de ménagère dans un supermarché : [vin, fromage, chocolat] Un ensemble d items est une suite d items exprimée dans un ordre donné Une transaction est un ensemble d items, exemples T1 [vin, fromage, viande]

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Web Data Mining p. 11/2 Les règles d association - Terminologie Domaine décrit par une liste d atomes appelée items. Application : panier de ménagère dans un supermarché : [vin, fromage, chocolat] Un ensemble d items est une suite d items exprimée dans un ordre donné Une transaction est un ensemble d items, exemples T1 [vin, fromage, viande] T2 [vin, fromage, chocolat] Un ensemble D de transactions correspond à un ensemble d apprentissage

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Web Data Mining p. 13/2 Les règles d association - Définition Ensemble d items fréquents : motif fréquent dans la base de transactions minsupp un paramètre Trouver tous les ensembles d items fréquents de longueurs différentes, exemple 1. Si ABCD est un ensemble d items fréquent 2. Construire la règle AB CD ssi support(abcd)/support(ab) minconf

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Web Data Mining p. 14/2 Les règles d association - Algorithmes Terminologie

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Web Data Mining p. 14/2 Les règles d association - Algorithmes Terminologie L k est l ensemble constitué des sous-ensembles d items fréquents de longueur k. C k est un ensemble constitué des sous-ensembles d items candidats de longueur k, notons bien que L k C k

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Web Data Mining p. 14/2 Les règles d association - Algorithmes Terminologie L k est l ensemble constitué des sous-ensembles d items fréquents de longueur k. C k est un ensemble constitué des sous-ensembles d items candidats de longueur k, notons bien que L k C k Propriété Soit X k un sous-ensemble d items fréquent, tous les sous-ensembles d items contenus dans X k et qui soient de longueurs inférieurs à k sont fréquents. 1. Si ABCD est un ensemble d items fréquent

Web Data Mining p. 14/2 Les règles d association - Algorithmes Terminologie L k est l ensemble constitué des sous-ensembles d items fréquents de longueur k. C k est un ensemble constitué des sous-ensembles d items candidats de longueur k, notons bien que L k C k Propriété Soit X k un sous-ensemble d items fréquent, tous les sous-ensembles d items contenus dans X k et qui soient de longueurs inférieurs à k sont fréquents. 1. Si ABCD est un ensemble d items fréquent 2. ABC,ABD, BCD, AB,AC,BC,BD,CD,A,B,C,D les sont aussi.

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 )

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t)

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup}

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup} 4. k k + 1

Web Data Mining p. 15/2 Les règles d association - Apriori Calculer L 1 k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup} 4. k k + 1 RETOURNER k L k

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre :

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1]

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q 4. Where p[1] = q[1]..p[k 2] = q[k 2],p[k 1] < q[k 1]

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q 4. Where p[1] = q[1]..p[k 2] = q[k 2],p[k 1] < q[k 1] L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q 4. Where p[1] = q[1]..p[k 2] = q[k 2],p[k 1] < q[k 1] L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {{123}, {124}, {134}, {135}, {234}},

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q 4. Where p[1] = q[1]..p[k 2] = q[k 2],p[k 1] < q[k 1] L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {{123}, {124}, {134}, {135}, {234}}, 2. la phase joindre donne comme résultat C 4 = {{1234}, {1345}}

Web Data Mining p. 16/2 Les règles d association - Apriori - Suite L algorithme apriori-gen, la phase joindre : 1. insert into C k 2. select p[1],p[2],..p[k 1],q[k 1] 3. from p,q 4. Where p[1] = q[1]..p[k 2] = q[k 2],p[k 1] < q[k 1] L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {{123}, {124}, {134}, {135}, {234}}, 2. la phase joindre donne comme résultat C 4 = {{1234}, {1345}} 3. la phase effacer donne le résultat: C 4 = {{1234}

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble}

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++ (c) Si C t <> φ Alors

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++ (c) Si C t <> φ Alors i. Ĉ k + < t.tid,c t >

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++ (c) Si C t <> φ Alors i. Ĉ k + < t.tid,c t > 3. L k {c C k c.count minsup}, k k + 1

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++ (c) Si C t <> φ Alors i. Ĉ k + < t.tid,c t > 3. L k {c C k c.count minsup}, k k + 1 RETOURNER k L k

Web Data Mining p. 17/2 Les règles d association - AprioriTid Calculer L 1, Ĉ1 D, k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen(l k 1 ), Ĉk φ 2. TantQue t Ĉk 1 (a) C t {c C k (c[1].c[2]..c[k 1]) t.ensemble (c[1].c[2]..c[k 2].c[k]) t.ensemble} (b) TantQue c C t i. c.count++ (c) Si C t <> φ Alors i. Ĉ k + < t.tid,c t > 3. L k {c C k c.count minsup}, k k + 1 RETOURNER k L k

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés :

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple :

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple : R1 A B,C

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple : R1 A B,C R2 A,B C

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple : R1 A B,C R2 A,B C confiance(r1)=support(abc)/support(a),

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple : R1 A B,C R2 A,B C confiance(r1)=support(abc)/support(a), confiance(r2)=support(abc)/support(ab),

Web Data Mining p. 18/2 Génération de règles - 1 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance simple : Nous testons les règles ayant le nombre de conditions minimal pour un sous-ensemble fréquent, exemple : R1 A B,C R2 A,B C confiance(r1)=support(abc)/support(a), confiance(r2)=support(abc)/support(ab), confiance(r2)>confinace(r1).

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés :

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple :

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple : R1 A B,C,D

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple : R1 A B,C,D R2 A B,C

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple : R1 A B,C,D R2 A B,C confiance(r1)=support(abcd)/support(a),

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple : R1 A B,C,D R2 A B,C confiance(r1)=support(abcd)/support(a), confiance(r2)=support(abc)/support(a),

Web Data Mining p. 19/2 Génération de règles - 2 Approche descendante de génération fondée sur deux propriétés : 1. Redondance stricte : Nous commençons par la recherche par les ensembles fréquents les plus grands, exemple : R1 A B,C,D R2 A B,C confiance(r1)=support(abcd)/support(a), confiance(r2)=support(abc)/support(a), confiance(r2)>confinace(r1)

Web Data Mining p. 20/2 Passons aux séquences Une séquence est une liste ordonnée de de sous-ensembles d items.

Web Data Mining p. 20/2 Passons aux séquences Une séquence est une liste ordonnée de de sous-ensembles d items. exemple : La séquence est une sous-séquence de < {3}{4, 5}{8} > < {6}{3, 7}{9}{4, 5, 8}{3, 8} >

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup}

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 )

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t)

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup}

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup} 4. k k + 1

Web Data Mining p. 21/2 Les règles d association - L algorithme GSP L 1 {< {l} > l C 1 l.count minsup} k 2 TantQue L k 1 <> φ 1. C k apriori gen SPM(L k 1 ) 2. TantQue t D (a) C t sousens(c k,t) (b) TantQue c C t i. c.count++ 3. L k {c C k c.count minsup} 4. k k + 1 RETOURNER k L k

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >},

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >}

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >} 3. la phase effacer donne le résultat : {< {1, 2}{4, 5} >}

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >} 3. la phase effacer donne le résultat : {< {1, 2}{4, 5} >}

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >} 3. la phase effacer donne le résultat : {< {1, 2}{4, 5} >}

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >} 3. la phase effacer donne le résultat : {< {1, 2}{4, 5} >}

Web Data Mining p. 22/2 Les règles d association - GSP - Suite L algorithme apriori-gen-spm, la phase joindre : S1 joint S2 si en supprimant un premier élément de S1 et un dernier de S2, les deux sous séquence deviennent identiques L algorithme sousens calcule le sous ensemble C t C k, la phase effacer 1. Si L 3 = {< {1, 2}{4} >,< {1, 2}{5} >,< {1}{4, 5} >,< {1, 4}{6} >,< {2}{4, 5} >,< {2}{4}{6} >}, 2. la phase joindre donne comme résultat {< {1, 2}{4, 5} >} et {< {1, 2}{4}{6} >} 3. la phase effacer donne le résultat : {< {1, 2}{4, 5} >}