Évaluation et gestion dynamiques de portefeuilles

Évaluation et gestion dynamiques de portefeuilles Jean-Pierre Aubin, Noël Bonneuil, Dominique Pujal & Patrick Saint-Pierre Centre de Recherche Viabilité, Jeux, Contrôle, Université Paris-Dauphine Institut d Etudes Démographiques et Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales 20 mars 2001 Avec l importance croissante des marchés et de leur volatilité, en particulier sur le marché des changes depuis la disparition des accords de Bretton-Woods en 1971, l évaluation dynamique de portefeuilles et de portefeuilles de couverture d options a fait l objet de très nombreuses recherches, témoignage évident de l intérêt porté à ce sujet par les acteurs des marchés (et des chercheurs). La grande majorité des modèles existant ont tous comme point de départ ou de référence, des modèles élaborés dans les années 70-80 soit en temps continu [8, 9, Black & Scholes], soit dans le cas discret, le modèle binomial [10, Cox & Rubinstein]). Le succès de ces modèles et la pression de la concurrence, tant académique qu économique, ont un moment détourné l attention des chercheurs sur l examen critique de leur point de départ. C est à ce retour et à l exploration de nouvelles voies que sont consacrées les pages qui suivent. Le problème de la gestion dynamique de portefeuilles d actifs c est-à-dire, prenant en compte une évolution incertaine de l environnement économique intègre deux aspects qu ici, nous distinguerons rigoureusement : 1. la description précise de ce que l on pourrait appeler les règles du jeu, sous-jacente par exemple à la conception des divers produits dérivés, 2. la façon de décrire l évolution future et incertaine du prix de certains actifs. Cette tâche une fois accomplie, et une fois choisis la règle du jeu et le choix du modèle de prédiction de l environnement économique, le mathématicien peut intervenir pour tenter de résoudre théoriquement et algorithmiquement les problèmes posés, soit en utilisant les outils disponibles pour répondre dans l urgence à certaines questions, soit en prenant le temps d en forger d autres mieux adaptés à leur résolution. 1 Les règles du jeu Ces règles concernent le capital, c est-à-dire la valeur d un portefeuille d actifs qui dépend naturellement du prix de ces actifs. Supposons connues, ou plutôt prévues, on verra par la suite de quelle manière, l évolution des prix des actions, qui déterminera donc celle du capital. 1

2 Les règles du jeu imposent des contraintes sur le capital et des objectifs assignés à ce capital 1. soit à un terme ou une échéance prescrit à l avance, 2. soit pendant toute la durée de l exercice, 3. soit dès que possible avant la date d échéance. Ces contraintes et objectifs peuvent prendre plusieurs formes : exiger que le capital soit supérieur à une valeur dépendant des prix des actifs, dépendant de la moyenne de ces prix, de la durée pendant laquelle les prix sont compris dans une fourchette, etc.. Par exemple, lorsque le terme est prescrit à l avance, et que le portefeuille est un portefeuille dupliquant une option à valoriser, on reconnaît le problème de l évaluation d options 1. européennes lorsqu à terme, le capital est supérieur à une fonction dépendant du prix des actifs à terme, 2. asiatiques lorsque cette fonction dépend de la moyenne des prix sur cette période, 3. parisiennes lorsque cette fonction dépend de la durée pendant laquelle les prix sont compris dans une fourchette, 4. américaines lorsque la valeur du portefeuille doit être supérieure à une fonction dépendant des prix des actifs tout au long de la durée de l exercice. On peut également intégrer dans la liste des prescriptions le paiement de dividendes à date fixe, ou à des dates dépendant de l évolution des prix des actifs ou du capital. Ces contraintes et objectifs peuvent également prendre en compte l histoire des cours des actifs, etc. Malgré leur grande variété, toutes ces combinaisons de problèmes partagent deux requêtes communes : 1. atteindre un objectif ou une cible en temps fini, prescrit ou non, 2. et jusqu à cette date, vérifier à chaque instant des contraintes (dites de viabilité). Ceci semble une évidence : l énoncé en est simple. Seulement, sur le plan mathématique, la prise en compte de ces questions n a véritablement commencé qu au début des années 80, et deux décennies n ont pas été de trop pour forger des outils permettant d y répondre. Pour utiliser une métaphore, chacun sait que l optimisation avec contraintes, faisant intervenir les multiplicateurs de Lagrange et bien d autres outils, est bien plus difficile que l optimisation sans contraintes. La situation est pire quand il s agit d étudier des dynamiques sous contraintes, surtout lorsque les dynamiques sont incertaines. Les précurseurs, Black, Sholes, Merton, Cox, Rubinstein, à la suite de Bachelier, ne pouvaient disposer de ces concepts et de ces outils qui n étaient pas disponibles, et il faut rendre hommage à leur ingéniosité pour répondre à ces questions avec les outils alors mis à leur disposition, à savoir le calcul stochastique. Le concept de cible que l on doit atteindre à terme ou à échéance, c est-à-dire la capturabilité d une cible, comme dans le cas des options européennes, et celui de viabilité

3 d un système intégrant des contraintes à respecter à chaque instant, comme dans le cas des options américaines, de même qu une combinaison de ces deux concepts, sont les questions centrales qu adresse la théorie de la viabilité. Cette théorie a été élaborée à partir du début des années 80 (voir par exemple [1, Aubin] et plus particulièrement [2, Aubin] pour les application économiques) pour étudier l évolution des systèmes en avenir incertain tant stochastiques que non stochastiques, soumise à des contraintes de viabilité, d où le nom. En effet, tels que nous les avons formulés, les problèmes posés par la gestion de portefeuilles s expriment directement sous forme d un concept mathématique étudié ces dernières années dans le cadre de la théorie de la viabilité, celui de bassin de capture viable. On peut le décrire en quelques mots. Une fois déterminées, les contraintes définissent le sous-ensemble des variables qui les satisfait, l ensemble contraint. Les objectifs à atteindre déterminent eux un sous-ensemble de l ensemble contraint, la cible. Une fois donné ce que l on pourrait appeler un moteur d évolution, terme moins pédant que celui de système évolutionnaire, on définit alors le bassin de capture de la cible viable dans l espace contraint comme le sous-ensemble des variables initiales à partir desquelles part une évolution vérifiant les contraintes jusqu à l instant fini où elle atteint la cible. Ce n est pas autre chose que donner un nom à l ensemble des solutions du problème posé. Depuis peu, on en connaît suffisamment de propriétés pour répondre aux questions posées dans le cas de nombreux moteurs d évolution. On peut maintenant être assuré de les connaître pour la plupart des moteurs d évolution. 2 Les Dynamiques des prix Une fois posé le problème de la prise en compte des contraintes et des objectifs, c est au tour du problème de la modélisation de l évolution des cours du sous jacent de se poser. De nombreux modèles prédictifs de l évolution du cours des actifs que nous allons passer en revue ont été proposés. Il n est pas de notre propos de commenter la pertinence de l un ou l autre de ces modèles prédictifs, mais de proposer comme programme d étude un cadre universel et systématique d évaluation et de gestion dynamiques selon des règles du jeu pour tout modèle prédictif d évolution des cours. En effet, on peut retenir comme type de dynamique, les dynamiques 1. déterministe, dépendant ou non du temps. C est le cas par exemple des dynamiques obtenues par des méthodes de type chartiste, qui pourraient fournir au mathématicien une loi d évolution prédisant l évolution des cours à partir de la quelle il pourra répondre aux questions posées. 2. stochastique (discrète ou continue), traduisant mathématiquement une forme d évolutions sous incertitude utilisée comme métaphore mathématique d évolution des cours des actifs risqués. Depuis Bachelier au tout début du XX e siècle, l évolution du cours des actions est décrite mathématiquement par un processus, c est-à-dire par l évolution du cours des actifs en fonction d un aléa, au sens de la théorie classique des probabilités. De telles évolutions incertaines sont régies par une équation différentielle stochastique, découverte pour reproduire le mouvement brownien. On part alors du fait que le cours de l actif suivrait une marche aléatoire. Ce choix est tentant, du fait que les trajectoires d un processus stochastique ressemblent beaucoup à celles des cours boursiers. Depuis lors, l étude de ces processus a été poussée fort loin par les probabilistes et les statisticiens. Une boîte à outils performants était disponible. Rien que de très normal à ce qu elle fut utilisée, améliorée et complétée, grâce en partie aux problèmes de finance de marchés.

4 C est ce type de modèle prédictif qui est utilisé depuis Black & Scholes et Cox & Rubinstein pour prédire l évolution des cours des actifs. Dans ce cas, on exige que les règles du jeu soient satisfaites pour presque tous les aléas. 3. tychastiques (contingente). Nous empruntons à Charles Peirce 1 la terminologie d évolution tychastique pour traduire mathématiquement une forme d évolution sous incertitude contingente différente de celle bien connue d évolution stochastique. Au lieu de faire dépendre l évolution des cours d un mouvement brownien, par exemple, on suppose que l équation différentielle régissant l évolution du cours des actifs risqués dépend d un paramètre que nous ne pouvons plus qualifier d aléa, le terme ayant depuis longtemps été confisqué par les probabilistes, mais d un paramètre de perturbation (terminologie utilisée en automatique) inconnu, que l on propose de qualifier de tyche. On ne sait rien d autre sur ce tyche que le fait qu il parcourt un sousensemble, dit ensemble tychastique qui peut dépendre du cours des actifs 2. La taille de cet ensemble mesure la contingence au lieu de la volatilité, terme déjà utilisé en finance probabiliste). Plus grand est l ensemble tychastique, plus l évolution est contingente. Comme la dynamique tychastique de l évolution du capital dépend aussi du portefeuille, elle dépend donc à la fois du portefeuille et du tyche : c est ce que l on appelle un jeu dynamique contre la nature, le premier joueur étant le gestionnaire du portefeuille, le second étant la nature qui choisit une tyche inconnue. Ce problème est aussi connu en automatique sous le nom de commande ou contrôle robuste. En résumé, nous avons deux types d incertitude : l un est décrit par les ensembles de tyches, l autre par les ensembles de portefeuilles, qui jouent ici le rôle de paramètres de régulation ou de commande. Plus les ensembles de portefeuilles sont grands, plus le système est capable de trouver un portefeuille vérifiant les règles du jeu quelque soit la tyche apte à survenir. En un sens, la taille des ensembles de portefeuilles est un antidote à celle des ensembles de tyches, ce que montrent les formules obtenues. Dans ce cas, on exige que les règles du jeu soient satisfaites pour tous les tyches, au lieu de presque tous les aléas, comme dans le cadre stochastique. Ceci étant, on peut considérer des dynamiques qui sont à la fois stochastiques et tychastiques, et leur étude a déjà commencé. Quand elle sera terminée, les débats sur les mérites comparés de ces deux traductions différentes aux propriétés quelque peu parallèles, tomberont en deshérence. D autant également que les problèmes de viabilité de commande stochastique se ramènent à des problèmes de viabilité pour les problèmes de commande tychastique. 4. impulsionnelle, permettant de prendre en compte le versement de dividendes qui perturbe la dynamique des cours lorsque leur date et leur montant ne sont pas connus à l avance, 5. structurée en âge, pour tenir compte de variables démographiques dans la dynamique et la représentation du risque par les gestionnaires de portefeuilles. 1 Voir par exemple [11, Peirce] parmi d autres publication de ce philosophe américain (fils de mathématicien) profond et prolifique de la seconde moitié du XIX e siècle, surtout connu par ses travaux en sémiotique. Il associait au concept grec de nécessité, ananke, le concept d évolution anancastique, anticipant ainsi le titre la chance et la nécessité du célèbre ouvrage de Jacques Monod. 2 On peut aussi prendre un ensemble flou de tyche pour évaluer un coût d appartenance d un tyche à l ensemble flou, comme on le préconise dans l article [3, Aubin & Dordan].

5 2.1 Les questions posées Une fois posées les règles du jeu (ou concepts de produits dérivés) et le choix de la dynamique utilisée pour prédire l évolution des cours des actifs risqués pendant la durée d exercice, il s agit alors de répondre à plusieurs types de questions, parmi lesquelles : 1. calculer le bassin de capture de la cible décrite par les objectifs viable dans l ensemble contraint décrit par les contraintes : c est le sous-ensemble des variables initiales à partir desquelles part une évolution vérifiant les contraintes jusqu à l instant fini où elle atteint la cible. Le connaissant, on peut en déduire et calculer la fonction d évaluation du portefeuille, et de fait, faire émerger une fonction de coût sous-jacente à la modélisation dont le minimum fournit la fonction d évaluation, en donner une expression explicite et l interpréter, non seulement dans le cas des options européennes et américaines, mais dans ceux de toute une famille de contrats, 2. en déduire la loi d évolution du portefeuille pour atteindre l objectif au coût minimum, 3. calculer numériquement la fonction d évaluation et la loi d évolution du portefeuille en discrétisant le problème et en utilisant l Algorithme du Bassin de Capture (ABC) dérivé de celui de l Algorithme du Noyau de Viabilité conçu, élaboré et programmé par Patrick Saint-Pierre (voir [13, Saint-Pierre]), 4. démontrer que la fonction d évaluation est solution d équations aux dérivées partielles ou d inéquations variationnelles, qui sont les points de départ des modèles à la Black & Scholes, mais dont nous n avons plus réellement besoin puisque l algorithme de viabilité fournit les réponses sans faire ce détour comme le montrent les exemples ci-dessous. Ce programme est loin d être achevé, surtout, dans le cas d évolutions régies par des équations différentielles stochastiques. Cette démarche est donc différente de celle adoptée par Black & Sholes et Cox & Rubinstein et leurs successeurs qui les a conduits aux formules d évaluation aujourd hui classiques. D autant que tout récemment, Pierre Bernhard a démontré que l on pouvait aussi obtenir ces modèles de Black & Sholes sans utiliser de dynamique stochastique. Mais dans cette méthode, le choix de la représentation mathématique de l incertitude et les règles du jeu imposées par les concepteurs de produits dérivées sont inextricablement mêlés. Ainsi les difficultés de prendre en compte de nouvelles règles dans le cadre de ces méthodes ont engendré une multiplicité de travaux de plus en plus techniques... et intéressants sur le plan mathématique. Ils exigent des hypothèses fortes sur les dynamiques des prix des actifs. Toute remise en cause de ces hypothèses entraînerait ipso facto l interdiction de l utilisation des équations de type Black & Sholes. C est en partie pour pallier cette difficulté que nous suggérons le programme de recherche ci-dessus. 3 Algorithmes d évaluation de portefeuilles La gestion numérique de portefeuille d actif nécessite la mise en œuvre d algorithmes arrimés à la fois aux techniques mathématiques sous-jacentes et aux ressources informatiques disponibles.

6 Puisque les problèmes d évolution se ramènent à des problèmes de cibles, la démarche naturelle consiste à 1. discrétiser en temps les dynamiques si elles sont proposées en temps continu. Du type d incertitude modélisée dépend le choix de la discrétisation, 2. adapter la notion de bassin de capture pour les systèmes discrets. De la règle du jeu choisie dépend la définition des cible et contraintes, 3. concevoir l Algorithme du Bassin de Capture (ABC) donnant la fonction d évaluation, les règles de gestion et l évolution du portefeuille, et s assurer de sa convergence, 4. programmer l algorithme dans son environnement opérationnel. Cette stratégie évite le détour par la discrétisation des équations aux dérivées partielles du type Black & Sholes, délicates à obtenir dans les cas non standard, ainsi que les pertes d informations occasionnées chaque fois que l on s éloigne de la formulation naturelle du problème. Nous complétons le point de vue présenté ci-dessus par quelques exemples numériques. Tout d abord, nous retrouvons les exemples classiques avec le même ordre de précision que les méthodes classiques. Cela a le mérite de calibrer l algorithme et de monter qu il fournit des performances aussi bonnes que les algorithmes classiques dans le cas des problèmes qu ils résolvent. On remarque ensuite qu en utilisant une incertitude de type tychastique plutôt que stochastique, on obtient des évaluations moins coûteuses. Les figures ci-dessous permettent de se faire une idée des nouvelles possibilités qui résultent de l intégration des deux aspects qui ont été rigoureusement distingués à savoir : la règle du jeu et la nature de la dynamique du moteur d évolution. L Algorithme du Bassin de Capture (ABC) fournit naturellement des tables donnant, en fonction de la date d échéance T et du prix initial S de l actif risqué, l évaluation du capital W (T, S) du portefeuille, le nombre de parts (négatives) π 0 (T, S) de l actif non risqué et le nombre de parts (positives) π 1 (T, S) de l actif risqué composant ce portefeuille. Nous proposons ici des représentations graphiques plus visibles et plus intuitives. Les cubes ci-dessous représentent les systèmes de coordonnées : l axe sud-est est celui des dates d échéance T, l axe orienté nord-est est celui du prix de l actif risqué S, et l axe vertical est celui qui mesure le capital W, c est-à-dire la valeur du portefeuille. On désigne par W (T, S) la valeur de l option d achat. La surface représentée est le graphe de la fonction W : l évaluation W (S, T ) se lit sur cette surface au point de coordonnées (T, S). Lorsque T est égal à zéro, W (0, S) = u(s) est égal à la fonction d objectif u. La courbe sur le plan (S, W ) en T = 0 est donc le graphe de la fonction objectif u. On représente les composantes π 0 (T, S) et π 1 (S, T ) du portefeuille sur cette surface à l aide d une échelle colorimétrique en bleu/jaune pour l actif non risqué, en vert/rose pour l actif risqué. On note K le prix d exercice et σ la fourchette d incertitude. Nous allons illustrer différents scénarios. Exemple 3.1 [Option Européenne Standard ] Pour évaluer, à parité c est-à-dire lorsque S = K, une option européenne avec K = 100, T = 1, σ = 0.3, l algorithme ABC fournit les valeurs suivantes : W (T, K) = 14.24 pour une incertitude de type Cox et Rubinstein. On retrouve exactement la valeur obtenue par Cox & Rubinstein ainsi que celle obtenue en résolvant

7 l équation de Black & Scholes. Ceci permet de vérifier que l algorithme (ABC) calibre parfaitement les modèles standards. W (T, K) = 4, 87 pour une incertitude de type tychastique, valeur bien moins chère. Figure 1: Fonction d évaluation garantie sous incertitude de type Cox-Rubinstein d option européenne. La figure 1 représente l évaluation de l option en fonction du temps restant avant la date d échéance T et du cours S de l actif risqué. A gauche est représenté le graphe de la fonction d évaluation W (S, t), à droite la projection dans le plan (S, W ) de cette fonction. - La courbe marquée en rouge visualise la fonction objectif, définie dans le cas d une option européenne par la fonction u(s) = (S K) + := max(0, S K) Elle représente la cible dans la mise en oeuvre de l Algorithme du Bassin de Capture (ABC). - La courbe marquée en bleu, dans le plan T = 1, visualise la fonction d évaluation à échéance T. On retrouve la courbe classique représentant la valeur d un call européen. Figure 2: Nombre π 0(T, S) de parts de l actif non risqué. Exemple 3.1 La figure 2 visualise, à l aide d une échelle de couleurs, le montant π 0 (t, S) d actif non risqué qu il faut emprunter pour réaliser à tout moment le portefeuille dupliquant. Cette valeur π 0 (t, S) est déterminée en lisant la couleur associée à W (t, S) sur l échelle colorimétrique bleue/jaune.

8 Exemple 3.2 [Option Européenne Capped ] Parmi les options non standard figurent des options connues sous le nom de Capped Call Option : le paiement final, lorsque le cours dépasse, à l échéance, un certain seuil, est limité (c est-à-dire lorsque l option est très en dedans ). La fonction objectif est alors définie par { (S1 K) u(s) = + si S K + 50 50 si S > K + 50 Figure 3: Fonction d évaluation de l option capped. La lecture colorimétrique de la figure 3 permet, selon une autre échelle de couleurs vert/rose, de connaître la part de l actif risqué contenue dans le portefeuille dupliquant lorsque le cours est S et le temps restant jusqu à l échéance est t. Exemple 3.3 [Option Européenne Asset or nothing ] L option asset or nothing ou bet option a la particularité de correspondre à une fonction objectif discontinue définie par { 0 si S K u(s) = S si S K Exemple 3.4 [Option Européenne à seuils] Dans cet exemple la fonction objectif est donnée par { 0 si S K u(s) = ( ) 25.Entier (S K) + si S K 25 Exemple 3.5 [Option Européenne à taux et incertitude variables] Les taux et l incertitude peuvent dépendre du temps et du cours de l actif risqué. Dans cet exemple on considère une situation où l incertitude décroît en fonction du temps restant à courir jusqu à l échéance : σ ρ (t) = 0.3ρ 1 0.01+t 2. On suppose également que le taux ρ 1 (S)

9 Figure 4: Fonction d évaluation de l option Asset or nothing. Figure 5: Fonction d évaluation de l option à seuils

de l actif risqué n est pas constant et dépend de la valeur S du prix de l actif : ρ 1 (S) = La fonction objectif est donnée par ( ((S K) + ) 2 u(s) = min K sup K, Ksup ) 10 S 1000. Figure 6: Fonction d évaluation sous incertitude tychastique à taux et incertitude variables. On obtient des surfaces beaucoup plus chahutées. En conclusion, nous avons dissocié, dans la modélisation, les règles du jeu et le choix de la dynamique. Ceci a permis d appliquer à chacun de ces problèmes des outils spécifiques. Les exemples que nous avons présentés illustrent les possibilités de ce nouveau cadre de recherche et l efficacité de l algorithme ABC qui en dérive. Il est tout à fait remarquable d observer que, si les modèles classiques d évaluation peuvent être englobés dans cette démarche, de nouvelles possibilités pourraient, sans trop de difficultés, être traitées par cette méthode. On peut aisément envisager, en particulier, 1. changer les règles du jeu, c est-à-dire concevoir de nouveaux produits dérivés, indépendamment de la nature, en terme de prévision, de l évolution des cours des actifs sous-jacents, 2. étudier, concevoir, comparer différents modèles de prévision pour n importe quel type de produits financiers. Mais ce nouveau point de vue dont nous nous faisons l avocat n évacue pas les énormes difficultés concernant la prévision de l évolution des actifs financiers. Ces problèmes demeurent largement ouverts mais indépendant de la conception et de l élaboration de produits dérivés. References [1] AUBIN J.-P. (1991) Viability Theory Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin [2] AUBIN J.-P. (1997) Dynamic Economic Theory: A Viability Approach, Springer-Verlag

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