Proposition de stages en master de mathématiques Année 2008/2009 Jean-Pierre Croisille Laboratoire Mathématiques et Applications de Metz, UMR 7122, Université de Metz croisil@poncelet.univ-metz.fr 1 Introduction Les propositions de stages, mémoires, TER suivantes sont centrées sur des questions mathématiques utiles pour la conception et la mise en œuvre de méthodes numériques pour les équations aux dérivees partielles. Deux thèmes centraux sont Les solveurs rapides sur géométrie cartésienne: conception de schémas de haute précision, résolution des sytèmes linéaires par solveurs rapides, mise en œuvre effective en FORTRAN90/95. Les solveurs volumes finis sur maillage quelconque. Les applications visées sont Les problème académiques (Poisson, Helmoltz, Biharmonique,...) pour les solveurs rapides La mécanique des fluides compressibles pour les volumes finis: équations d Euler et de Navier-Stokes. Tous les sujets suivants, sauf mention explicite du contraire peuvent être réalisés Soit dans le cadre d un TER de niveau M1. Il est préférable, mais non indispensable d avoir suivi un cours classique d interpolation, approximation, calcul de niveau M1. Soit dans le cadre d un magistère ou M2 de mathématiques. Il est préférable, mais non indispensable, d avoir suivi un cours de méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. La difficulté et l importance du travail demandé sera naturellement fonction du niveau du stage (M1 ou M2). 1
2 Solveurs rapides pour le problème de Poisson et le problème biharmonique Ce sujet a pour thème général la résolution rapide du prob lème de Poisson dans un domaine rectangulaire en utilisant la FFT pour le schéma aux différences à 5 points. Le projet comportera les étapes suivantes: Problème de Poisson dans un domaine carré avec conditions limite homogènes. Extension au cas d un domaine rectangulaire avec un pas d espace en x et en y distincts. Extension au cas de conditions de Dirichlet quelconques. Extension au cas de conditions de Neumann Résolution du problème biharmonique dans un carré et utilisation de la FFT, [1]. Les programmes de calcul pourront être réalisés en matlab ou en FORTRAN90. 3 Décomposition en valeurs singulières Ce sujet (TER M1 ou magistère) a pour thème général la décomposition en valeurs singulières d une matrice. C est l occasion d approfondir des notions d algèbre linéaire dans le contxte du calcul scientifique. Dans la mesure du possible on prolongera le travail en étudiant l application de cette décomposition à la notion d analyse en composantes principales en statistique. On fera le point en particulier sur les thèmes suivants: Définition des valeurs singulières d une matrice. Decomposition QR. Différents algorithme de calcul de la décomposition QR, calcul des valeurs singulières, décomposition de Schur. Lien entre décomposition en valeurs singulières et pseudo-inverse d une matrice. Inverse de Moore-Penrose d une matrice. Analyse en composantes principales en statistique. 4 Méthodes de type FFT sur maillages irréguliers Ce sujet propose l étude de la transformée de Fourier rapide sur une grille irréguliere. Le besoin d une telle transformée est utile dans de nombreuses applications aujourd hui (traitement d image en particulier). les différentes étapes du travail sont les suivantes: 1. Lecture d un article historique sur la FFT par J.W. Cooley, retraçant l histoire de la FFT. 2
2. La FFT sur maillage régulier: principe et implémentation. 3. Lecture et étude des articles [3] et [5] sur le principe du calcul de la FFT sur grille irrégulière. 5 Grille sphériques Ce sujet est à l interface de l analyse numérique et de la géométrie différentielle. La question du maillage d une sphère par une grille de type différence finies (ou volumes finis/ éléments finis) demeure centrale. Ceci est lié aux besoins en performance calcul demandée par la simulation numérique de certaines equations modélisant la dynamique du climat à grande échelle (equations SW sur la sphère). Le but de ce stage est de faire un bilan sur différents types de grille de calcul. On étudiera en particulier 1. La grille classique longitude/latitude. 2. La grille Yin-Yang.. 3. Les grilles déduites du maillage d un cube, en particulier la grille gnomonique de Sadourny, ainsi que la grille de type cubed sphere, [7]. 6 Modes propres du problème de Stokes dans un carré Dans ce travail, on s intéresse aux modes propres du problème de Stokes dans un carré. Il y a deux parties Etude de l article [6]. Etude du problème spectral { λu = u grad p div u = 0 Etude de l équivalence entre le problème spectral pour Stokes et le problème spectral biharmonique { 2 ψ = λ ψ ψ = ψ = 0 sur Ω (2) n On pourra commencer par résoudre explicitement le problème en dimension 1. 7 Méthode de décomposition de domaines pour les schémas aux différences Ce sujet est étroitement liée à une thèse en cours (A. Abbas). Il concerne l étude de la méthode de décomposition de domaines d un point de vue introductif. Le travail comprend 3 (1)
Lecture des premiers chapitres du livre Domain decomposition methods - Algorrithms and Theory par A. Toselli et O. Widlund Programmation des exemples sur le problème de Poisson 1D contenus dans l article [4]. Application au schéma boîte hermitien. Les schémas de type boîte hermitien sont des schémas aux différences introduits dans [2]. L application des idées de type décomposition de domaines à de tels schémas constitue la suite du travail. 8 Algorithmes géométriques rapides pour maillages polyédriques quelconques - coencadré avec B. Courbet (ONERA-Châtillon) Ce sujet de mémoire est orienté sur les aspects algorithmiques liés au maillage dans les méthodes de volumes finis sur maillage quelconque. Le problème sous-jacent est celui de l interpolation entre deux maillages dont l un est mobile par rapport à l autre. Ce problème pose des questions d algorithmes de recherche géométrique dans les parties recouvertes par les deux maillages. Le sujet comprend: Introduction aux algorithmes géométriques classiques dans le livre Computational Geometry: Algorithms and Applications par M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, and O. Schwarzkopf. Etude du principe d assemblage de la méthode des volumes finis en 3D. Applications de certains algorithmes géométriques en volumes finis. Références [1] M. Ben-Artzi, J-P. Croisille, and D. Fishelov. A fast direct solver for the biharmonic problem in a rectangular grid. SIAM J. Scient. Comp., 31(1):303 333, 2008. [2] J-P. Croisille. A hermitian box-scheme for 1d elliptic equations - application to problems with high contrasts in the ellipticity. Computing, 78:329 353, 2006. [3] A. Dutt and V. Rokhlin. Fast fourier tranform for nonequispaced data. SIAM J. on Scien. and Stat. Comp., 14(6):1368 1393, 1993. [4] E. Efstathiou and M. Gander. Why restricted additive Schwarz converges faster than additive Schwarz. BIT Num. Math, 43:945 959, 2003. [5] L. Greengard and J-Y. Lee. Accelerating the nonuiform fast fourier transform. SIAM review, 46:443 454, 2004. [6] E. Leriche and G. Labrosse. Stokes eigenmodes in square domain and the streamfunction-vorticity correlation. Jour. Comp. Phys., 200:489 511, 2004. 4
[7] C. Ronchi, R. Iaconno, and P. S. Paolucci. The cubed sphere : A new method for the solution of partial differential equations in spherical geometry. J. Comput. Phys., 124:93 114, 1996. 5