MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE Chapitre 1 Manuel de l élève
1 Les systèmes d équations Attentes: Analyser des situations modélisées par des fonctions du premier degré et du second degré tirées de diverses applications. Résoudre, en situation, un système comportant des équations du premier degré et du second degré, et interpréter l ensemble-solution. Manipuler des expressions avec aisance. L un des objectifs des mathématiques est de définir des fonctions qui permettent de modéliser des situations à partir d un ensemble de données. Lorsqu un modèle est représentatif d une situation, tu peux l utiliser pour analyser cette situation et définir des comportements passés et à venir. Il est parfois nécessaire de modéliser une situation en considérant plusieurs équations. Cet ensemble d équations est appelé système d équations. Dans les cours précédents, tu as étudié les fonctions affines et les fonctions du second degré. Ce chapitre te permettra d étudier les systèmes d équations constitués de fonctions affines et de fonctions du second degré. Le succès d une entreprise dépend beaucoup de l étude des équations représentant les coûts de production et les revenus des ventes. L intersection de ces équations fournit de l information sur les pertes ou les profits possibles.
La mise en situation Le calcul des profits En 190, le premier groupe d artistes modernes du Canada fut formé. Les œuvres du Groupe des Sept ont montré au monde la beauté des paysages canadiens. Ces peintres ont fortement influencé l art au Canada. Leur travail se retrouve sur des timbres, des affiches, des tasses ou des t-shirts. Pour en savoir plus sur le Groupe des Sept, consulte les signets Internet sur le site www.beaucheminediteur. com/mathtechno. Lorsqu il vend ses peintures, un artiste établit les équations ci-dessous décrivant les revenus de ses ventes, R(n), en milliers de dollars, ainsi que les coûts de production, C(n), en milliers de dollars, en fonction du nombre, n, de dizaines de peintures vendues. 3 R(n) n 3n 8 1 C(n) n n 6 4 a) Lorsque les revenus sont égaux aux coûts, combien de peintures le peintre a-t-il vendues? b) Dans quel intervalle ses revenus sont-ils supérieurs à ses coûts? c) Détermine le nombre de peintures que l artiste doit vendre s il veut maximiser ses profits. L artiste a acquis une certaine renommée, et ses peintures se vendent maintenant plus cher. La nouvelle fonction représentant ses revenus est définie par l équation 1 R(n) n 4n Détermine le nombre de peintures que l artiste doit maintenant vendre s il veut toujours maximiser ses profits. Dans ce chapitre, tu apprendras à modéliser des situations à l aide de fonctions du premier et du second degré, et à comparer ces équations afin de tirer des conclusions. CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
Prépare-toi Dans ce chapitre, tu travailleras avec des modèles, des équations et des systèmes d équations de fonctions affines et du second degré. Les exercices qui suivent t aideront à te préparer. 1. Développe et simplifie les expressions suivantes. a) 3(x 5x ) b) 3x(x 3) 5x(4x 7) c) (x )(x 6) d) (x )(3x 4) e) 4(x 7) f) (x 3y)(3x 4y) g) 5(3 x)(5 7x) h) (3x 1)(x 1). Résous les équations suivantes. a) 5x 6 16 b) 4c 7 c 3 c) 4(x 3) 8 3( x) d) x 1 x 3 3 3. Si f(x) x 4 3x x 7, calcule a) f() b) f( 1) c) f 1 d) f( 0,5) 4. Isole la variable indiquée. a) A stv, t b) B c x 4, c c) y, y 3 5. Calcule. 1 1 3 14 4 a) b) c) 3 d) 3 5 3 7 8 3 9 6. Récris les équations ci-dessous sous la forme générale Ax By C 0 et détermine les valeurs de A, de B et de C. a) y 3x x b) y 3 3 4y x c) 1 5 3 7. Écris une équation représentant chacun des énoncés suivants. a) Le produit d un nombre par son carré égale 16. b) La somme de deux nombres dont la différence est 6 égale 15. c) Le triple d un nombre est égal à son carré. 8. Vérifie si les coordonnées ci-dessous satisfont aux équations. a) y x 1, (3, 5) b) y x 3x 1, (0, ) c) 4y 3x 0, ( 1, 1,5) d) y 3x x 5, (, 1) PRÉPARE-TOI 3
9. Estime les valeurs suivantes. a) y b) 16 1 8 4 x 1 0 1 3 4 5 6 4 8 4 4 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 y 4 6 x Les coordonnées à l origine Les coordonnées à l origine et le sommet 10. Récris les équations ci-dessous sous la forme y mx b et détermine les valeurs de m et de b. a) 6x y 4 0 b) 3y 6 x c) 5x 3y 1 0 4 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
1.1 Les caractéristiques des fonctions affines Déterminer les caractéristiques des fonctions affines dans différentes représentations. APERÇU Une fonction affine est une fonction polynôme du premier degré. Comme c est la forme la plus simple des fonctions polynômes, il est essentiel de bien la comprendre avant d explorer les fonctions polynômes de degré plus élevé. Tu as déjà exploré les fonctions affines dans d autres cours de mathématiques. Cette section te permettra de revoir les caractéristiques des fonctions affines afin d établir une base solide pour l étude des systèmes d équations et des fonctions polynômes plus complexes. Situation Le transport par autobus Gabrielle se rend au centre-ville chaque jour pour suivre ses cours. Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte,35 $. Si elle prévoit prendre l autobus deux fois par jour, combien son transport lui coûtera-t-il pour l année? Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cette situation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle. De plus, ce modèle permet d analyser la situation et de répondre à des questions semblables aux suivantes. S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Cette section te permettra aussi d approfondir tes connaissances sur les fonctions affines afin de faciliter la modélisation mathématique et la résolution de problèmes semblables à celui présenté dans la situation. L application des fonctions affines sera explorée plus en détail dans la section 1.. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 5
ÉTUDIE LE CONCEPT Qu est-ce qu une fonction affine? Avant de pouvoir modéliser et analyser des problèmes à l aide des fonctions affines, tu dois bien comprendre ce qu est une fonction affine. Dans l étude des mathématiques, on définit soigneusement chaque terme. Voyons d abord ce qu est une fonction. Une fonction est une relation particulière. Alors, qu est-ce qu une relation? Relation Une relation est un lien. Dans la vie, il existe diverses relations: la relation entre une mère et son enfant, la relation entre les élèves et leur enseignant ou leur enseignante, la relation entre le directeur d une entreprise et ses employés, etc. En mathématiques, on définit une relation comme un ensemble de couples (x, y). C est un lien entre deux variables, plus spécifiquement, entre x (abscisse) et y (ordonnée). Ce lien peut être représenté par: 1) une représentation graphique ) une équation 3) un tableau de valeurs 4) un ensemble de couples (x, y) Le domaine de définition d une relation est l ensemble de toutes les premières composantes (x) des couples (x, y). L image d une relation est l ensemble de toutes les deuxièmes composantes (y) des couples (x, y). Exemple: Soit la relation f {( 3, ), ( 1, 0), (0, 3), (, ), (3, 4)}. Le domaine de f { 3, 1, 0,, 3}. L image de f {0,, 3, 4}. Fonction Une fonction est une relation dans laquelle à chaque élément du domaine correspond un seul élément de l image. En d autres mots, à chaque valeur de x correspond une seule valeur de y. Le test de la droite verticale Si une droite verticale quelconque coupe le graphique en un seul point, la relation est une fonction. Si une droite verticale coupe le graphique en plus d un point, la relation n est pas une fonction. 6 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
En examinant le graphique d une relation, on peut faire le test de la droite verticale afin de déterminer s il s agit d une fonction. y y x x Fonction La droite verticale coupe le graphique en un seul point; la relation est une fonction. Regardons les ensembles de coordonnées. Relation La droite verticale coupe le graphique en deux points; la relation n est pas une fonction. f {( 1, 0), (0, ), (1, 4), (, 6), (4, 8)} g {( 3, 1), (, 0), ( 1, 1), (0, ), ( 1, 3)} Fonction Relation La relation g n est pas une fonction, puisque la coordonnée x 1 est associée à deux coordonnées de y, soit 1 et 3. Fonction affine Sachant ce que représente une fonction, on peut définir une fonction affine. Une fonction affine présente les caractéristiques suivantes. Équation L équation d une fonction affine doit pouvoir prendre la forme suivante: Graphique y mx b, où m représente la pente, b représente l ordonnée à l origine, et (x, y) représente un point sur la droite. x R et y R: Le domaine et l image d une fonction affine correspondent à l ensemble des nombres réels si m 0. Exemple: L équation y x 3 représente une fonction affine dont la pente est et dont l ordonnée à l origine est 3. Une fonction affine représente une droite non verticale. Une droite verticale ne représente pas une fonction. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 7
Tableau de valeurs et ensemble de couples Un tableau de valeurs ou un ensemble de couples représente une fonction affine lorsque les premières différences entre les valeurs de y sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers. Exemple: Le tableau de valeurs ci-contre x y représente une fonction affine, puisque les premières différences 0 7 4 7 3 sont constantes. La valeur obtenue 1 4 par les premières différences, 1 4 3 1 soit 3, représente la pente de 1 3 la droite. 3 5 ( ) 3 De plus, l ordonnée à l origine correspond 4 5 8 ( 5) 3 à l ordonnée du point où la droite coupe 5 8 l axe des y. Algébriquement, c est la valeur 11 ( 8) 3 6 11 de y lorsque x 0. D après le tableau de valeurs, l ordonnée à l origine est 7. Il est à noter que, si l intervalle régulier des valeurs de x n est pas 1, pour déterminer la pente de la droite, il faut diviser la constante obtenue par les premières différences des valeurs de y par la différence entre les valeurs de x. Exemple: Considérons le tableau de valeurs suivant. 0 4 6 4 x y 0 7 1 4 5 6 11 1 7 6 5 1 6 11 ( 5) 6 6 La pente de la droite est m 3. Connaissant la pente, m, et l ordonnée à l origine, b, tu peux déduire que l équation de la fonction affine qui correspond au tableau de valeurs ci-dessus est y 3x 7. Tu peux vérifier l équation obtenue en remplaçant les coordonnées du tableau de valeurs dans l équation. Prends les points (0, 7) et (4, 5). Vérifie le point (0, 7). M.G. y M.D. 3x 7 Remplace x et y 7 3(0) 7 par les valeurs 7 correspondantes. 8 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
M.G. M.D. Vérifie le point (4, 5). La solution est vérifiée. M.G. y M.D. 3x 7 Remplace x et y 5 3(4) 7 par les valeurs 1 7 correspondantes. 5 M.G. M.D. La solution est vérifiée. Tu peux procéder de la même façon avec les autres points du tableau de valeurs afin de vérifier l équation. L abscisse à l origine correspond à la valeur de l abscisse du point où la droite coupe l axe des x. Algébriquement, c est la valeur de x lorsque y 0. D après l équation y 3x 7, tu peux déterminer l abscisse à l origine en remplaçant y par 0. Donc, y 3x 7, où y 0 Remplace y par 0. 0 3x 7 Isole x. 7 3x 7 3 x 7 x 3 7 L abscisse à l origine est donc. 3 Pour trouver les coordonnées à l origine, il faut trouver l abscisse à l origine et l ordonnée à l origine. Pour déterminer la pente d une droite, il faut déterminer la valeur de m dans l équation de la forme y mx b. Si l équation de la droite n est pas connue, tu peux déterminer la pente d une droite (fonction affine) à partir de deux points sur la droite en appliquant la formule suivante. Si l on connaît deux points sur la droite, soit P 1 (x 1, y 1 ) et P (x, y ),la formule pour déterminer la pente est: y m x m y y 1 x x 1 Vérifie cette formule en considérant la droite définie par l équation y 3x 7. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 9
Prends encore une fois les points (0, 7) et (4, 5) dans le tableau de valeurs. Donc, y m x, où P 1 (0, 7) et P (4, 5) m m y y 1 x x 1 5 7 4 0 1 m 4 Remplace les variables connues. Calcule. Simplifie. m 3 La pente est bien 3. En considérant le graphique d une fonction affine, si tu connais deux points sur la droite, tu peux déterminer la pente de la droite en appliquant la formule de la pente ou en calculant le quotient du déplacement vertical, y, et du y déplacement horizontal, x. Donc, x. De plus, lorsque l ordonnée à l origine est égale à 0, la valeur de y varie en fonction de x. La pente de la droite représente donc une variation directe. Lorsque l ordonnée à l origine n est pas égale à 0, la valeur de y varie partiellement en fonction de x. La pente de la droite représente donc une variation partielle. Exemple 1 Déterminer l équation d une droite d après son graphique Le graphique ci-dessous représente une fonction affine. Détermine l équation de cette droite. y 4 4 0 4 6 8 x 4 Solution Tu sais que l équation de la droite peut s écrire sous la forme y mx b. Il s agit donc de déterminer la pente, m, et l ordonnée à l origine, b. 10 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
Pour déterminer la pente, considère les deux points P 1 (0, ) et P (4, 1) afin de calculer le quotient du déplacement vertical, y, et du déplacement horizontal, x. Pour se rendre du point P 1 au point P, il faut se déplacer de trois unités vers le haut et de quatre unités vers la droite. Donc, y 3, x 4 et la pente y 3 est égale à m x. 4 y Vérifie le résultat en appliquant la formule m y 1 x. x 1 Soit les points P 1 (0, ) et P (4, 1). Donc, 1 ( ) m 4 0 Calcule. 1 m 4 Calcule. 3 m 4 3 La pente m est égale à. 4 L ordonnée à l origine est la valeur de y lorsque x 0. Sur le graphique, c est le point où la droite coupe l axe des y. Puisque la droite coupe l axe des y à, tu peux conclure que l ordonnée à l origine, b, est égale à. 3 En remplaçant m par et b par dans l équation générale y mx b, 4 3 tu obtiens l équation de la droite y x. 4 Exemple Déterminer l équation d une droite qui passe par deux points Détermine l équation de la droite qui passe par les points P 1 (, ) et P ( 1, 7). Solution Tu sais que l équation de la droite peut s écrire sous la forme y mx b. Il s agit donc de déterminer la pente, m, et l ordonnée à l origine, b. Puisque tu connais deux points sur la droite, tu peux déterminer la pente en appliquant la formule suivante: m y x m m m y y 1 x x 1 9 3 m 3 7 ( ) 1 La pente est donc égale à 3. Remplace les variables par les valeurs correspondantes. Calcule. Simplifie. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 11
En remplaçant m par 3 dans l équation, tu obtiens y 3x b. Il faut maintenant déterminer l ordonnée à l origine, b. Tu ne sais pas où la droite coupe l axe des y, car les points P 1 et P n ont pas de coordonnées où x 0. Alors, tu ne connais pas la valeur de b. Toutefois, il est possible de déterminer cette valeur en utilisant l équation y 3x b et les coordonnées de l un des deux points donnés. Prends le premier point, soit P 1 (, ) et remplace x et y par leur valeur dans l équation y 3x b. y 3x b 3() b Remplace les variables connues. Calcule. 6 b Isole b. 6 b 4 b L ordonnée à l origine est donc 4. Simplifie. L équation de la droite qui passe par les points P 1 (, ) et P ( 1, 7) est y 3x 4. 1.1 Exercices (série 1) A 1. Une famille de droites est un ensemble de droites ayant une caractéristique commune. À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous et décris une ressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique qui décrit cette famille de droites? 1 5 a) y x 1 b) y 3x 1 c) y x 1 d) y x 1 3. À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous et décris une ressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique qui décrit cette famille de droites? a) y x 3 b) y x 1 c) y x 3 d) y x 1 3. Détermine si les équations ci-dessous représentent une fonction affine. Justifie ta réponse. a) 3 y x b) 3x 4y 1 0 c) y 3x 4 1 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
B 4. Détermine le domaine et l image des relations suivantes. a) x y 4 3 6 3 8 3 10 3 b) g {( 3, 1), (, ), ( 1, 3), (0, 4)} c) y x 3 0 5. Indique si les relations ci-dessous représentent une fonction (F), une fonction affine (FA) ou simplement une relation (R). a) y x 3 0 b) h {(, 3), ( 1, ), (0, 4), (1, ), (, 4), (3, 1)} c) y d) x y x 0 6 1 3 0 3 3 6. Détermine l équation de la droite qui passe par les points donnés. a) A( 4, 5) et B(, ) b) M(, ) et N(4, 6) 1 1 3 3 4 4 8 c) J(0, 3) et K(9, 0) d) S, et T, 1.1 Exercices (série ) A 1. En utilisant les premières différences, détermine l équation de la fonction affine pour chacun des tableaux de valeurs suivants. a) x y b) x y c) x y 4 6,5 5 8 6 9,5 0,5 3 0,5 4 1 0 1 9 4 17. Représente graphiquement la fonction affine à l aide des coordonnées à l origine. Vérifie ton résultat à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 3x y 6 b) y 6x 18 c) y x 3 d) 0,8x 0,y 1 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 13
3. Détermine la pente, l ordonnée à l origine et l abscisse à l origine pour chacune des fonctions affines suivantes. a) y x 5 b) y x c) 5 3x 6y d) y 1 0 16 1 8 4 0 4 8 1 3 x e) 3 1 16 1 8 4 0 4 8 1 y 1 3 x B 4. Reproduis le graphique ci-dessous dans ton cahier et relie les points afin de former un parallélogramme. Détermine l équation représentant chaque côté du parallélogramme. 6 5 4 3 1 0 1 y 1 3 4 5 6 7 x 5. Voici les équations de deux fonctions affines. A: y 4x 4 B: y x 8 a) Représente graphiquement chaque fonction sur le même plan cartésien. b) En supposant qu on trace les deux droites simultanément de gauche à droite, laquelle des deux fonctions coupera la droite y 16 la première? Laquelle coupera la droite y 4 la première? Explique tes résultats. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 14 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
1. Les applications des fonctions affines Interpréter les caractéristiques d une fonction affine dans une application. APERÇU Plusieurs situations ou phénomènes peuvent être modélisés par une fonction affine. Il est important de bien comprendre les fonctions affines afin de pouvoir les utiliser pour modéliser des problèmes et les résoudre. Dans la section 1.1, tu as exploré les caractéristiques des fonctions affines. Tu vas apprendre maintenant à les appliquer dans diverses situations. Revenons à la situation de la section 1.1, Le transport par autobus. Gabrielle se rend au centre-ville chaque jour pour suivre ses cours. Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte,35 $. Si elle prévoit prendre l autobus deux fois par jour, combien son transport lui coûtera-t-il pour l année? Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cette situation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle. De plus, ce modèle permet d analyser la situation et de répondre aux questions semblables suivantes. S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Avant de modéliser cette situation par une fonction affine, il est nécessaire de répondre aux questions suivantes: Comment peut-on représenter cette situation par une équation de la forme y mx b? Identifie la variable dépendante (y) et la variable indépendante (x). Quelle est la valeur de m et de b dans cette situation? Rappel: m représente la pente et b, l ordonnée à l origine. Il faut déterminer la pente, l ordonnée à l origine et les variables x et y afin de pouvoir modéliser algébriquement la situation. Après avoir établi l équation en fonction de la situation, on peut l utiliser pour résoudre divers problèmes. Dans cette section, tu vas approfondir tes connaissances sur les fonctions affines en explorant leurs applications. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 15
ÉTUDIE LE CONCEPT Une fonction affine comme modèle mathématique Pour concevoir un modèle mathématique représentant le problème des frais de transport, tu dois: définir les variables; Une fonction affine comprend toujours deux variables, soit x et y, où x est la variable indépendante et y, la variable dépendante. On dit que y est en fonction de x. Il faut donc identifier la variable indépendante et la variable dépendante dans la situation. Puisque le coût dépend du nombre d allers simples, on peut dire que le coût représente la variable dépendante et que le nombre d allers simples représente la variable indépendante. Soit n: le nombre d allers simples C(n): le coût total du transport, en dollars. Tu peux donc remplacer x par n et y par C(n) dans l équation y mx b. Tu obtiens l équation C(n) mn b. Tu dois maintenant déterminer m et b dans la situation. Pour déterminer la valeur de m, considère le changement dans le coût lorsque le nombre d allers simples augmente. Regarde le tableau de valeurs suivant. n 1 3 4 5 C(n),35 4,70 7,05 9,40 11,75 Puisque chaque aller simple coûte,35 $, le coût augmente de ce montant pour chaque aller supplémentaire. Donc,,35 $ représente la pente de la fonction affine. Dans une fonction affine, la pente est appelée taux de variation ( y / x). Le taux de variation est la pente représentée de façon unitaire, c est-à-dire que x 1. Il faut aussi écrire les unités de mesure correspondantes. Dans ce cas, le taux de variation est de,35 $/aller simple. Tu obtiens donc l équation C(n),35n b. L ordonnée à l origine, b, représente la valeur de y lorsque x 0 ou, dans ce cas, la valeur de C(n) lorsque n 0 ; donc, C(0). Évidemment, si Gabrielle ne prend jamais l autobus, le coût sera de 0 $. Donc, l ordonnée à l origine est zéro et le taux de variation représente une variation directe. 16 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
écrire le modèle mathématique obtenu; Ce modèle algébrique est une fonction affine. utiliser le modèle mathématique dans la résolution de problèmes et tirer des conclusions. Tu peux maintenant utiliser le modèle pour répondre aux questions de la situation. Première question S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Solution Puisqu elle prendra l autobus deux fois par jour, on peut dire qu en 144 jours, elle fera 88 allers et retours. Il faut donc déterminer C(88). C(88),35(88) C(88) 676,80 Le transport de Gabrielle coûtera donc 676,80 $. Calcule. Deuxième question Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Solution On veut déterminer n lorsque C(n) 650. Donc, 650,35n Isole n. 650 n,35 76,6 n Calcule. Gabrielle pourrait donc s offrir environ 76 allers et retours. Cela signifie qu elle peut payer l autobus pendant 138 jours (76 138). Elle n a pas assez d argent pour les 144 jours de classe. Troisième question Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Solution Puisque chaque aller simple coûte $ plutôt que,35 $, le taux de variation sera de $. Donc m et l équation devient C(n) n. Donc, 650 n 650 n 35 n C(n),35n 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 17
Gabrielle pourrait donc s offrir environ 35 allers et retours. Cela signifie qu elle peut payer l autobus pendant 16,5 jours (35 16,5). Gabrielle gagne 4,5 jours (16,5 138 4,5) avec le tarif étudiant. Elle a assez d argent pour les 144 jours de classe. La modélisation algébrique par une fonction affine y mx b y: variable dépendante x: variable indépendante m: taux de variation, pente b: valeur de y lorsque x 0, ordonnée à l origine Exemple 1 Modéliser une situation par une fonction affine afin de résoudre un problème Aaron présente au comité organisateur les coûts pour le bal de fin d études. Le comité doit payer 350 $ pour la location de la salle et 15,75 $ par personne pour le repas. Au cours de l année, les élèves ont amassé 140 $ pour leur bal. Le comité espère pouvoir payer le repas des élèves et de leurs invités. Combien de personnes pourraient aller au bal gratuitement? Solution Puisque le coût dépend du nombre de personnes qui iront au bal, tu peux conclure que le coût est la variable dépendante et que le nombre de personnes est la variable indépendante. Soit n: le nombre de personnes qui iront au bal C(n): le coût de la salle et du repas, en dollars Puisque le coût augmente de 15,75 $ par personne, tu peux dire que le taux de variation est de 15,75 $/personne. Donc, m 15,75. Même si personne ne va au bal, le comité devra tout de même payer 350 $ pour la location de la salle. Donc, C(0) 350. Alors, l ordonnée à l origine, b, est 350. Le modèle algébrique de cette situation est donc: C(n) 15,75n 350 Tu veux savoir combien de personnes peuvent aller au bal gratuitement si le comité a 140 $. 18 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
Tu veux déterminer n lorsque C(n) 140 $. 140 15,75n 350 Soustrais 350 de chaque membre. 140 350 15,75n Calcule. 1 790 15,75n Isole n. 1 790 n 15,75 Calcule. 113,65 n Environ 113 personnes pourraient aller au bal gratuitement. Exemple Modéliser deux situations afin de les comparer Une station de ski offre deux possibilités d abonnement. Dans le premier cas, il y a des frais de base de 15 $ et un coût de 10 $ pour chaque journée de ski. Dans le second cas, il y a des frais de base de 00 $ et un coût de 5 $ pour chaque journée de ski. Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 10 fois durant la saison? Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 0 fois durant la saison? Solution Puisque le coût dépend du nombre de journées de ski, tu peux conclure que le coût est la variable dépendante et que le nombre de journées de ski est la variable indépendante. Soit n: le nombre de journées de ski durant la saison C(n): le coût total de l abonnement, en dollars Dans le cas du premier abonnement, disons l offre A, la pente est 10, puisque le taux de variation est de 10 $/jour, et l ordonnée à l origine est 15, le prix de base de l abonnement. Dans le cas du second abonnement, disons l offre B, la pente est 5, puisque le taux de variation est de 5 $/jour, et l ordonnée à l origine est 00, le prix de base de l abonnement. Tu obtiens donc les deux fonctions suivantes: Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 Quel est le coût de 10 journées de ski selon l abonnement choisi, c est-à-dire C(10)? Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 C(10) 10(10) 15 C(10) 5(10) 00 Calcule. C(10) 100 15 C(10) 50 00 Calcule. C(10) 5 C(10) 50 Si tu comptes skier 10 fois durant la saison, l offre A est plus avantageuse. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 19
Quel est le coût de 0 journées de ski selon l abonnement choisi, c est-à-dire C(0)? Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 C(0) 10(0) 15 C(0) 5(0) 00 Calcule. C(0) 00 15 C(0) 100 00 Calcule. C(0) 35 C(0) 300 Si tu comptes skier 0 fois durant la saison, l offre B est plus avantageuse. 1. Exercices (série 1) A 1. Michelle a remarqué que son vélomoteur dont le réservoir contient 6 L d essence consomme 0,55 L d essence par heure. Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables.. Pour avoir accès à Internet, Fiona paie des frais de base mensuels de 0 $ et 0,60 $ par heure d utilisation. a) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables. b) Si la facture de Fiona s élevait à 6 $ pour le mois de mars, pendant combien d heures a-t-elle utilisé Internet? 3. Le graphique ci-dessous montre la hauteur H(t), en mètres, d un parachutiste en fonction du temps t, en secondes, de sa descente. 800 H(t) Hauteur (m) 600 400 00 0 t 50 100 150 00 Temps (s) a) À quelle hauteur le parachutiste commence-t-il sa descente? Que représente cette valeur sur le graphique? b) Combien de temps prend-il pour descendre? Que représente cette valeur sur le graphique? c) À quelle vitesse descend-il? Que représente cette valeur sur le graphique? d) Détermine l équation de cette fonction affine et explique ton raisonnement. 0 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
B 4. Soit n, le nombre de cartouches d encre achetées pour une imprimante et C(n), le prix, en dollars, de l imprimante et de n cartouches. Avec 5 cartouches, le prix total est de 550 $ et avec 8 cartouches, le prix est de 730 $. a) Quel est le coût de chaque cartouche? b) Quel est le coût de l imprimante? c) Écris l équation représentant cette situation. d) Si l on a dépensé 1 090 $, combien de cartouches a-t-on achetées? 5. L équation M 5n 45 représente la masse M, en grammes, d une boîte de biscuits en fonction du nombre de biscuits, n, dans la boîte. a) Représente graphiquement cette fonction affine. b) Quelle est la masse de la boîte vide? c) Quelle est la masse d un biscuit? d) Si la masse totale d une boîte pleine de biscuits est de 45 g, combien de biscuits y a-t-il dans la boîte? 6. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes. a) y 100x b) y 500 0x 1. Exercices (série ) A 1. Un groupe d élèves se rend au musée en autobus. L équation 900 3C 19,5n 0 représente la relation entre le coût total du voyage, C, en dollars, et le nombre d élèves, n. Le coût total inclut la location de l autobus et les entrées au musée. a) Représente graphiquement le coût total du voyage en fonction du nombre d élèves. b) Quel est le coût de location de l autobus? c) Combien coûte une entrée au musée? 3. Une piscine contient 70 000 L d eau. Pour l hiver, on vide les de l eau 4 qu elle contient. On utilise une pompe pour aspirer l eau, et il faut 50 heures. a) À quelle vitesse la piscine se vide-t-elle? b) À l aide d une équation, décris la quantité d eau dans la piscine en fonction du temps. c) Représente graphiquement cette relation. d) Si une seconde pompe, identique à la première, est ajoutée dans la piscine dès le début, quels seront les effets de cette modification sur ton graphique? Explique ton raisonnement. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 1
3. Deux entreprises de télécommunications t offrent un plan pour tes appels interurbains. L entreprise Piac piac exige des frais de base mensuels de 15 $ plus 0,08 $ par minute pour chaque appel interurbain. L entreprise Jasette exige des frais de base mensuels de 10 $ plus 0,1 $ par minute pour chaque appel interurbain. a) Décris la relation du plan de chacune des entreprises à l aide d équations. b) Représente graphiquement chaque relation dans le même plan cartésien à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. c) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 70 minutes par mois, quel plan est le plus avantageux? d) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 170 minutes par mois, quel plan est le plus avantageux? e) À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, détermine le point d intersection et décris ce qu il représente. B 4. Un photographe exige 4,75 $ pour un album de photos de mariage et un salaire horaire de 36,85 $. a) Écris une équation modélisant cette situation et décris ce que représentent les variables. b) Si tu as un budget de 700 $ pour tes photos de mariage, environ combien de temps, au maximum, le photographe passera-t-il à tes noces? c) Si tu veux que le photographe prenne des photos pendant tout le mariage, soit de 15 heures à minuit, combien coûteront tes photos? 5. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes. a) y 10x 30 b) y 100 0,5x 6. Simon est vendeur dans un magasin de meubles. Il reçoit un salaire de base plus une commission sur ses ventes. Une semaine, ses ventes s élevaient à 5 800 $, et il a reçu une paye de 63 $. Une autre semaine, ses ventes s élevaient à 3 900 $, et il a reçu une paye de 556 $. a) Quel taux de commission verse-t-on à Simon? Exprime ta réponse sous forme de pourcentage. b) Quel est son salaire de base hebdomadaire? c) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables. d) Combien gagnera-t-il dans une semaine si ses ventes s élèvent à 4 36 $? CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
1.3 La résolution d un système d équations du premier degré Résoudre des systèmes comportant des intersections de graphiques de fonctions du premier degré. APERÇU Plusieurs problèmes sont modélisés par plus d une équation. Il faut alors faire l étude d un système d équations. Un système d équations est un ensemble d équations qui modélisent une situation. Dans cette section, il s agira plus précisément d un ensemble de droites. L une des principales caractéristiques d un système d équations est le point d intersection. L analyse du point d intersection fournit une foule de renseignements sur la situation et permet de tirer des conclusions. Dans cette section, tu vas explorer les différents types de systèmes d équations ainsi que les méthodes utilisées pour déterminer le point d intersection d un ensemble de droites. Situation La rentabilité d une entreprise Jacqueline vend des hot-dogs durant l été afin de payer ses études. Elle paie 100 $ pour la location du stand et chaque hot-dog lui coûte 0,75 $. Jacqueline vend ses hot-dogs,50 $ chacun. Combien de hot-dogs doit-elle vendre pour faire un profit? La réponse à cette question sera analysée dans la section 1.4 lorsque tu étudieras les applications des systèmes d équations du premier degré. Tu pourras ensuite résoudre des problèmes modélisés par des systèmes d équations. ÉTUDIE LE CONCEPT La classification des systèmes d équations du premier degré 1. Le système compatible dépendant On appelle système compatible dépendant un système d équations dont l une des équations découle de l autre. On dit que les droites sont confondues (superposées). Le système a donc une infinité de solutions (plusieurs points d intersection). 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 3
On peut déterminer si deux droites sont confondues à partir d un graphique si elles sont représentées dans un même plan cartésien, ou si elles sont dans deux plans et que leurs points sont identiques. On peut reconnaître des droites confondues à partir de leurs équations en les comparant de la façon suivante. Les droites confondues Deux droites sont confondues si les coefficients d une équation sont un multiple des coefficients de l autre équation. Soit D1, une première droite, et D, une seconde droite. Leurs équations seraient: D1 D y mx b ny n(mx b) ou, ny mnx nb n R. Si les deux équations sont exprimées sous la forme y mx b, leur pente, m, et leur ordonnée à l origine, b, sont identiques. D1 D y m 1 x b 1 y m x b ou, m 1 m et b 1 b. Exemple: Les droites y 3x et y 6x 4 sont confondues, car la seconde équation peut être exprimée par y (3x ), qui est un multiple de la première. 15 y 10 5 y = 3x + y = 6x + 4 3 1 0 1 3 5 x 10. Le système incompatible 4 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS On appelle système incompatible un système dont les deux droites ne se croisent jamais. On dit que les droites sont parallèles et distinctes. Le système n a donc aucune solution (aucun point d intersection). On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir d un graphique. Elles ne se croisent pas, car leurs pentes sont identiques et leurs ordonnées à l origine sont différentes. On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir de leurs équations exprimées sous la forme y mx b, puisque leurs pentes, m, et leurs ordonnées à l origine, b, sont facilement identifiables. Les pentes sont identiques et les ordonnées à l origine sont différentes.
Les droites parallèles et distinctes Si y m 1 x b 1 est l équation de la première droite et que y m x b est l équation de la seconde droite, les deux droites sont parallèles et distinctes si les pentes sont identiques et que les ordonnées à l origine sont différentes, c est-à-dire si m 1 m et que b 1 b. Exemple: Les droites définies par les équations y y 3x et y 3x sont 10 parallèles et distinctes, parce que 5 leurs pentes sont identiques, 3 3, et que leurs ordonnées à l origine y = 3x + x sont différentes,. 4 0 4 5 y = 3x 10 3. Le système compatible indépendant On appelle système compatible indépendant un système dont les deux droites se croisent. On dit que les droites sont sécantes ou concourantes. Le système a alors une solution (un point d intersection). On peut déterminer si des droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu elles se croisent en un point. Les droites sécantes (ou concourantes) Deux droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu elles ne sont ni confondues ni parallèles et distinctes. Donc: m 1 m. Les ordonnées à l origine peuvent être identiques. Exemple : Les droites définies par les équations y y 5x 10 et y 4x 0 sont sécantes. 40 30 y = 4x + 0 0 10 x 3 1 0 1 3 4 5 10 y = 5x 10 0 30 Droites perpendiculaires Deux droites sécantes sont aussi perpendiculaires si elles se croisent à un angle de 90. Elles ont alors un point d intersection. 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 5
Il est parfois difficile de justifier que deux droites sont perpendiculaires simplement en regardant le graphique. L angle formé par les deux droites peut ne pas avoir l air d un angle de 90 si les axes ne sont pas sectionnés de façon identique. Il faut donc utiliser la méthode suivante afin de vérifier si elles sont vraiment perpendiculaires. Il faut déterminer les pentes des deux droites et les comparer. On peut comparer la pente, m, de deux droites lorsque leur équation est exprimée sous la forme y mx b. Les droites perpendiculaires Si m 1 est la pente de la première droite et que m est la pente de la seconde droite, alors les deux droites sont perpendiculaires si m 1 m 1. Les pentes sont des nombres inverses et elles sont de signe contraire. 1 Exemple: Les droites définies par les équations y 3x et y x 4 1 3 3 sont perpendiculaires, car 3 1. 3 3 7 6 5 4 3 y y = 3x + 1 y = ( )x + 4 3 1 x 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 1 Il est possible d avoir des systèmes de trois droites ou plus. Il y a plusieurs relations possibles entre les droites d un système à trois équations ou plus. Voici quelques exemples: 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 y y = x + 7 1 y = x y = 6x 14 x 3 4 5 y 6 5 y = 3x + 1 4 y = 0,5x + 3 y = x + 4 1 4 3 1 0 1 1 3 4 5 3 4 5 x Un point d intersection Trois points d intersection 6 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
10 y y = 4x + 3 y = 4x 15 y y = x + 6 5 10 y = x + 3 y = x + 8 5 0 1 3 4 Deux points d intersection x x 5 10 Aucun point d intersection Les méthodes de résolution d un système d équations présentées dans cette section se limitent aux systèmes à deux équations. Elles sont applicables à des systèmes de trois équations ou plus si ceux-ci n ont qu un seul point d intersection. Sinon, il faut considérer les droites en groupes de deux. 0 y = x La résolution des systèmes d équations linéaires Pour résoudre un système d équations, il faut déterminer le point d intersection de deux droites. Les droites doivent donc être perpendiculaires ou sécantes. 1. La méthode graphique On peut déterminer le point d intersection de deux droites en examinant le graphique de ces deux droites dans un même plan cartésien. Parfois, on peut seulement estimer le résultat parce que la réponse précise n est pas évidente. Regardons le graphique suivant. 40 30 0 10 x 3 1 0 1 3 4 5 10 y = 5x 10 0 30 y y = 4x + 0 1 On peut estimer que le point d intersection est (3, 6). 3 Pour déterminer le point d intersection de façon précise, il faut utiliser l une des méthodes algébriques suivantes.. La méthode de substitution Soit le système d équations suivant: ➀ y x 4 ➁ y 4x 0 0 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 7
Étapes: i. Isoler une variable dans l une des équations. Isolons y dans la première équation. ii. iii. ➀ y x 4 3 Substituer cette variable dans l autre équation. On remplace y par x 4 dans l équation ➁. ➁ x 4 4x 0 0 Isoler la variable dans l équation. Isoler x. ➁ x 4x 4 0 ➁ 6x 4 4 ➁ x 6 ➁ x 4 Simplifie. iv. Substituer x 4 dans l équation 3 et isoler y. 3 y x 4 3 y (4) 4 3 y 8 4 3 y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode de substitution lorsqu on peut facilement isoler une variable dans l une des équations. 3. La méthode de comparaison Soit le système d équations suivant: Étapes: ➀ y x 4 ➁ y 4x 0 0 i. Isoler la même variable dans les deux équations. Isolons y dans les deux équations. On isole y pour éviter les fractions. En isolant x, il y aurait des fractions dans les équations 3 et 4. ii. ➀ y x 4 3 ➁ y 4x 0 4 Comparer les deux variables isolées. Dans les deux équations, la valeur de y est la même au point d intersection. On peut donc dire que les deux équations équivalentes sont aussi égales. 5 x 4 4x 0 8 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
iii. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans 5. 5 x 4 4x 0 5 x 4x 0 4 5 6x 4 4 5 x 6 5 x 4 Simplifie. iv. Substituer x par 4 dans l équation 3 et isoler y. 3 y x 4 3 y (4) 4 3 y 8 4 3 y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode de comparaison lorsqu on peut facilement isoler la même variable dans les deux équations. 4. La méthode d élimination Soit le système d équations suivant: Étapes: ➀ y x 4 ➁ y 4x 0 0 i. Au besoin, récrire les équations sous la forme Ax By C. ii. iii. ➀ x y 4 3 ➁ 4x y 0 4 Multiplier par une valeur l une des équations ou les deux afin d obtenir le même coefficient numérique ou des coefficients numériques opposés pour l une des variables. Comme le coefficient numérique pour la variable y est 1 dans les deux équations, cette étape n est pas nécessaire dans ce cas-ci. Additionner ou soustraire les équations afin d éliminer l une des deux variables. Il faut soustraire les équations: 3 4. 3 x y 4 4 (4x y 0) 5 6x 0y 4 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 9
iv. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans l équation 5. 5 6x 0y 4 5 6x 4 4 5 x 6 5 x 4 Simplifie. v. Substituer x 4 dans l équation ➀ et isoler y. ➀ y x 4 ➀ y (4) 4 ➀ y 8 4 ➀ y 8 4 ➀ y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode d élimination lorsqu on ne peut pas facilement isoler une variable dans les équations. Pour vérifier les résultats, il suffit de vérifier si le point d intersection satisfait aux deux équations du système. Donc, le point (4, 4) devrait satisfaire aux deux équations, y x 4 et y 4x 0 0. Vérification : Pour l équation y x 4 Pour l équation y 4x 0 0 M.G. y x M.D. 4 M.G y 4x 0 M.D. 0 4 (4) 4 4(4) 0 4 8 4 16 0 4 0 0 0 M.G. M.D. M.G. M.D. La solution est vérifiée. La solution est vérifiée. Tu peux aussi vérifier ces coordonnées à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. Il est à noter que le point d intersection est souvent appelé l ensemblesolution d un système d équations. 30 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
30 0 10 3 1 0 10 0 30 Exemple 1 y 40 y = 4x + 0 x 1 3 4 5 y = 5x 10 Déterminer le point d intersection de deux droites par la méthode de comparaison Reprenons l exemple qui a été présenté pour illustrer la méthode graphique. Tu as vu qu il n est pas toujours possible de déterminer le point d intersection de façon précise par la méthode graphique. Il faut alors utiliser une méthode algébrique. Solution Tu peux utiliser la méthode de comparaison pour résoudre ce système, puisque la variable y est déjà isolée dans chaque équation. Soit le système d équations ➀ y 5x 10 ➁ y 4x 0 i. Isole la même variable dans les deux équations. (C est déjà fait.) ii. Compare les équations de la variable isolée. 3 5x 10 4x 0 iii. Isole la variable x de l équation 3. 3 5x 10 4x 0 3 5x 4x 0 10 3 9x 30 30 3 x 9 10 3 x 3 10 iv. Substitue x dans l équation ➁. 3 ➁ y 4x 0 10 ➁ y 4 0 3 40 ➁ y 0 3 40 60 ➁ y 3 3 0 ➁ y 3 Simplifie. Le point d intersection des droites définies par les équations y 5x 10 et 10 y 4x 0 est donc, 0 3 3. Tu peux vérifier ces coordonnées à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 31
Exemple Identifier le système d équations afin de prédire combien de solutions sont admises Détermine le type de chacun des systèmes d équations ci-dessous et le nombre de solutions qu il admet sans résoudre le système. 3 1 1 a) ➀ y 3x b) ➀ y 6x 4 0 c) ➀ x y 4 4 1 1 1 1 ➁ 3y 9x 1 ➁ y x 6 ➁ x y 3 6 3 Solution Pour mieux analyser les pentes et les ordonnées à l origine, écris les équations sous la forme y mx b. a) ➀ y 3x 9 1 ➁ y x y 3x 4 3 3 Puisque les pentes sont égales et que les ordonnées à l origine sont différentes, tu peux conclure que les droites sont parallèles et distinctes. Le système d équations est donc incompatible et n a aucune solution. 6 4 b) ➀ y 6x 4 y x y 3x 1 ➁ y x 6 3 1 Comme le produit des pentes est égal à 1, 3 1, tu peux conclure 3 que les droites sont perpendiculaires. Le système d équations est donc compatible indépendant et il a une seule solution. c) Afin de simplifier les équations, tu peux supprimer les fractions en multipliant chaque terme par un nombre divisible par chaque dénominateur dans l équation. 3 1 1 ➀ x y 4 4 Puisque 8 est divisible par 4 et par, multiplie chaque terme par 8. 3 ➀ (8) x (8) 1 y (8) 1 4 4 Simplifie. ➀ ()(3)x ()(1)y (4)(1) Calcule. ➀ 6x y 4 1 1 1 ➁ x y 6 3 Puisque 6 est divisible par, 6 et 3, multiplie chaque terme par 6. 1 ➁ (6) x (6) 1 y (6) 1 6 3 Simplifie. ➁ (3)(1)x (1)(1)y ()(1) Calcule. ➁ 3x y ➁ 3x y Fais passer le y de l autre côté afin de mieux comparer l équation ➁ avec l équation ➀. Puisque ➁ ➀, tu peux conclure que les droites sont confondues. Le système d équations est donc compatible dépendant et il a une infinité de solutions. 3 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS
Tu peux vérifier ces résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre, à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. 1.3 Exercices (série 1) A 1. Utilise la méthode graphique afin de déterminer l ensemble-solution, s il existe, de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) x y 3 0 b) 1 x 3 y 4 4 c) y x 7 0 3y x 1 1 3 y x 3y 4x 11 d) y x 16 e) y 3x 0 f) 0,5x 0,3y 0, 1 1 y x 3 4 y 8x 5x 3y 0. Utilise la méthode de substitution afin de déterminer l ensemble-solution, s il existe, de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) x y 3 b) y 4x 5 c) 3x 4y x 3 x 3y 4 x y 1 3 1 y x 1 0 d) 0,4x 0,y 1 0 e) 3(x 1) (y 1) f) 1 y x 3 5 1 1 y x 1 4 x y 0 5y 10x 15 0 3. Utilise la méthode de comparaison afin de déterminer le point d intersection des deux droites, s il existe, dans chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) (x 3) y 8 b) 3x 3y 30 c) x y 4 x y y 4 x y 5 (x 1) d) x y 0 e) 4(x y) 8 f) y x 3 0,5x 0,5y 1 (x 1) y 1 (x y) 8 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 33
4. Utilise la méthode d élimination afin de résoudre, si c est possible, les systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) x y b) 4x 6y 1 0 c) 3x y 7 3x y 8 x 3y 4 9x 3y 1 d) 0,5x 0,75y 1 e) y 3x 1 0 f) y 3 6x x y 3 y 6x 8 y 4x 0 3 B 5. Utilise la méthode de ton choix afin de résoudre les systèmes d équations ci-dessous, si c est possible. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 10x y 0 b) 3y x 3 c) 15x 3y 6 0 6 y 4x y 3 9x 10x y 4 d) 4x 6y 0 e) 1 1 1 x y 3 4 f) 0,x 0,3y 0,4 x y 4 8 3y 4x 6 x y 1 1 4 3 6. Sans résoudre le système, prouve algébriquement que les droites suivantes sont confondues. 3x 4y 0 9x 1y 6 0 1.3 Exercices (série ) A 1. Détermine si les droites sont parallèles, perpendiculaires, confondues ou sécantes. Explique ton raisonnement. a) y x 1 0 b) 3x 6y 9 c) 3(x y 1) y x 4 x y 3 0 9x 6 3y d) 1 1 x y 1 0 3 e) 0,1x 0,y 0,3 f) 3(x 1) 3y 1 3 3 1 1 1 x y x y 0 4 4 4 (x 1) (y 1). Résous les systèmes d équations ci-dessous par la méthode la plus appropriée. Vérifie tes réponses. a) (x 1) 3y y 14 b) x 3y 1 x y 4(y 3) x 47 (x 3) 4y 3 3. Alice reçoit un message secret indiquant qu il y a un trésor caché à l intersection des deux droites suivantes: x y 4 et 3(x 6) x y 3 34 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS