«Le Langage des fonctions»

Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Corso per l'insegnamento di discipline non linguistiche in lingua straniera Milano, 11 Aprile 19 dicembre 2013 Unitè d'apprentissage «Le Langage des fonctions» Candidato : Alberto Rossi, Liceo «Daniele Crespi», Busto Arsizio Disciplina insegnata : Matematica e Fisica Lingua : Francese 1

Table des matières 1. Introduction. p. 3 2. Parcours didactique.. p. 4 2.1. Fiche synthétique de présentation de l UA p. 4 2.2. Présentation des activités prévues pour l UA.... p. 7 2.3 Exemples de matériels de travail........ p. 9 2.4 Épreuve de contrôle... p. 15 3. Bibliographie...... p.17 4. Sitographie. p.17 2

1. Introdution Depuis que, en 1718, Jacques Bernoulli introduit le mot «fonction» pour exprimer la relation de dépendance entre deux grandeurs variables, l'idée décrite par ce mot joue un rôle fondamental dans la pensée mathématique, aussi bien que dans d'autres champs du savoir scientifique. C'est pourquoi, en Italie aussi bien qu'en France, les fonctions sont étudiées depuis la «scuola secondaria di primo grado»(le collège en France) jusqu'à la fin du «liceo»(le lycée en France). Donc, les élèves de «3 a liceo linguistico» ont déjà travaillé, pendent les années précédentes, avec les fonctions. En particulier, ils ont étudié la proportionnalité directe et inverse et les fonctions affines. Maintenant, à partir de ce qu'ils savent déjà, il faut que les élèves abordent d'une façon approfondie le concept et le langage des fonction qui les conduira, tout au long de la poursuite du lycée, vers l'étude de nouvelles fonctions de référence (notamment les fonctions transcendantes) et des méthodes de l'analyse mathématique. 3

2. Parcours didactique 2.1 Fiche synthétique de présentation du parcours DISCIPLINE TITRE DESTINATAIRES Mathématiques Le langage des fonctions 3 Liceo Linguistico NOMBRE D ELEVES 25 NIVEAU LINGUISTIQUE DE LA CLASSE PERIODE DE L ANNEE DUREE DU PARCOURS FINALITES PREREQUIS PREREQUIS DISCIPLINAIRES A2+ / B1 Novembre - Décembre 12 heures «Conforter l'acquisition de la culture mathématique nécessaire à la vie en société et à la compréhension du monde Consolider les bases de mathématiques nécessaires aux poursuites d étude du lycée Faire l'expérience personnelle de l'efficacité des concept mathématiques et de la simplification que permet la maîtrise de l'abstraction» 1 Avoir appris, pendant les années précédentes : -la notion de fonction (fonctions linéaires et affines) ; -les stratégies de base pour la lecture, l utilisation et la production de graphiques. Maîtriser le calcul littérale : développer, factoriser, réduire ; Poser et résoudre équations et inéquations du premier dégrée, équations produit ; Connaître et utiliser les principales propriétés des triangles, des quadrilatères particuliers, la propriété de Pythagore, le théorème de Thalès. Maîtriser les outils de base d'un tableur et de GeoGebra (logiciel de géométrie dynamique). PREREQUIS LINGUISTIQUES Avoir un niveau de connaissance du français A2/B1 ; Connaître le langage de l algèbre : calcul littérale, équations et inéquations. 1 Programme de mathématiques, enseignement commun, seconde générale et technologique arrêté du 23 juin 2009 - BO n 30 du 23 juillet 2009. 4

CONTENUS 1) Définition d'une fonction par un tableau de valeurs, une formule, un courbe représentative. Ensemble de définition, image, antécédents. OBJECTIFS (DISCIPLINAIRES) 2) Sens de variation d'une fonction : fonction croissante, décroissante, maximum, minimum d une fonction sur un intervalle, tableau de variation. 3) Fonctions de référence : fonctions linéaires, affines, inverse. Introduction aux fonctions de deuxième dégrée. 4) Résolution graphique et, éventuellement, algébrique d'équation de la forme f (x) = k et d'inéquations de la forme f(x) > k ou f(x) < k 5) Modéliser par les fonctions (en particulier dans le domaine de la géométrie plane). Problèmes se ramenant à une équation ou à une inéquation. Problèmes d'optimisation. SAVOIRS Par rapport aux contenus, les élèves doivent connaître : -les définitions ; -les méthodes ; -les propriétés des fonctions de référence ; -la démonstration du sens de variation des fonctions affines ; -les étapes pour la résolution d'un problème. CAPACITES ATTENDUES 1a) Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : identifier la variable et l ensemble de définition ; déterminer l image d un nombre ; rechercher des antécédents d un nombre. 1b/3) Tracer la courbe représentative d'une fonction à partir d'une formule : -à la main pour les fonctions de référence; -à l'aide d'un logiciel pour tout fonction. Tracer une possible courbe représentative de n'importe quelle fonction à partir de la formule, après avoir repéré des point de cette courbe. Déterminer la formule d'une fonction affine à partir de deux points de sa représentation graphique. 2a) Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. 2b/3) Démontrer le sens de variation des fonctions affines, carré, inverse. 5

4) Résoudre graphiquement des équations et inéquations de la f(x)= k forme, f(x)< k f(x)< g(x) ;. Pour les problèmes du premier dégrée et les équations produit combiner les apports de l utilisation d un graphique et d une résolution algébrique. COMPETENCES, STRATEGIES 5) Modéliser par les fonctions pour résoudre un problème. Comprendre la différence entre lecture graphique et résolution algébrique. Connaître et utiliser le lexique spécifique des fonctions. OBJECTIFS (LINGUISTIQUES) Formuler des phrases simples afin de décrire de la démarche suivie ou exprimer la conclusion. METHODOLOGIE S'orienter vers l'usage approprié des connecteurs. Travail de groupe pour les activités de découverte et la résolution de problèmes. Vision de vidéos, utilisation de logiciels spécifiques. Approche communicative, stimulation de la participation active des élèves à la construction des connaissances. Pour optimiser le temps de la formalisation, on demande aux étudiantes de lire à l'avance la partie cours. INTEGRATION CURRICULAIRE ET INTERDISCIPLINAIRE MATERIAUX DIDACTIQUES/SUPPORTS OUTILS DE TRAVAIL ESPACE DE TRAVAIL ÉVALUATION ACTIVITES DE RENFORCEMENT ET RATTRAPAGE Devoir à la maison (DM) : exercices, problèmes, rédaction de glossaires. Pour ce qui concerne les aspect linguistiques, on travaillera avec les enseignants de français afin d'optimiser l'apprentissage des aspect linguistiques (en particulier pour ce qui concerne l'utilisation des connecteurs). Pour ce qui concerne les aspect disciplinaires, notamment le rôle des fonctions dans la pensée scientifique, on travaillera avec l'enseignant de physique. Documents téléchargeables depuis le dépôt de documents électroniques de la classe. Logiciels : GeoGebra, Tableur OpenOffice. Tableau numérique interactif, ordinateur. Salle de cours Épreuve écrite de contrôle Exercices de renforcement Épreuve de rattrapage 6

2.2. Présentation des activités prévues pour l UA PHASE ACTIVITE ACTIONS 1. Pre-lancement Pour reprendre contact Présentation de graphiques LINGUISTIQUES (DISCOURS) Lire et décrire des graphiques SETTING 2. Lancement Activité de découverte Traduire le lien entre deux quantités par une fonction : présentation d'un problème. 3. Cours Vision de la vidéo «Notion de fonctions» 4. Cours Formalisation : définition d'une fonction, ensemble de définition, image, antécédents (voir Contenus 1) Exemples 5. Cours Vision de la vidéo «Généralités sur les fonctions...» (22'32'' - 35.27) (Sens de variation d'une fonction Résolution graphique d'équations et inéquations) (voir Contenus 2 et 4) 6. Cours Formalisation: Sens de variation d'une fonction. (voir Contenus 2 et 4) Exemples Discuter entre élèves Communiquer des résultats Comprendre à l'oral Repérer : les mots clés les informations à retenir Exposer -une définition ; -la démarche suivie ; -la conclusion. Comprendre à l'oral Repérer : les mots clés les informations à retenir Exposer -une définition ; -la démarche suivie ; -la conclusion. Travail en groupe Présentation des résultats Conclusions de l'enseignant DM : problèmes Travail individuel DM : glossaire DM : exercices Travail individuel DM : glossaire DM : exercices 7. Travaux pratiques Problèmes : Modéliser par des fonctions Représenter ces fonctions à l'aide d'un logiciel Répondre à des questions par résolution graphique d'équations ou inéquations Optimisation (voir Contenu 5) Comprendre le texte du problème Discuter entre élèves Exposer oralement -la démarche suivie ; -les résultats. Travail en groupe DM : problèmes 7

8 Cours Vision de la vidéo «Fonctions linéaires et affines» (24'31'' 43'08'') Formalisation: Fonctions linéaires et affines, fonction inverse (voir Contenu 3) Exercices 9 Cours Vision de la vidéo «Fonctions affines» (20'18'' 30'15'') Formalisation: Fonctions affines, fonction inverse et fonction carré : sens de variation démonstration (voir Contenu 3) 10 Cours Formalisation: Résolution graphique et algébrique d'équations du type f(x)=k et f(x) = g(x) e d'inéquations f(x)<k où f et g sont fonctions affines. (voir Contenu 4) Comprendre à l'oral Repérer : les mots-clés les informations à retenir Exposer : -une définition ; -la démarche suivie ; -la conclusion. Comprendre à l'oral Repérer : les mots-clés les informations à retenir Exposer : -une démonstration ; -la démarche suivie ; -la conclusion. Exposer -la démarche suivie ; -la conclusion. Travail individuel DM : glossaire, exercices Travail individuel DM : glossaire, exercices 11 Travaux pratiques Problèmes : Modéliser par des fonctions. Répondre à des questions par résolution graphique d'équations ou inéquations. Optimisation. (Voir Contenu 5) Problèmes et exercices Comprendre le texte des exercices et des problèmes. Discuter entre élèves Exposer -la démarche suivie ; -les résultats. 12 Contrôle Épreuve de contrôle écrit Résolution d'exercices et problémes Exposer : -la démarche suivie ; -les résultats. DM : exercices, problèmes Travail en groupe DM : exercices, problèmes 8

2.3 Exemples de matériels de travail 1. Pre-lancement a) Quelle est la distance de freinage si la vitesse vaut 60 km/h? b) Et si la vitesse est 120 km/h? c) Y a-t-il relation de proportionnalité entre distance de freinage et vitesse? d) Quelle est la vitesse si la distance de freinage vaut 100 m? 1- Décrire l'évolution de la population âgée de plus de 65 ans. 2- Quel était le nombre de personnes âgées en 1996? 3- Quel était le nombre de personnes âgées en 1993? 4- En quelle année, le nombre de géniteurs de 25 à 29 ans a-t-il été égal au nombre de personnes âgées? 5- En quelle année, le nombre de bébés a-t-il était le plus grand? 6- Décrire l'évolution du nombre de géniteurs au cours des années. 7- Explique pourquoi, les courbes bleue et rouge se 'suivent' dans le graphique. 9

2. Lancement Indications de travail a) Nommer x la largeur, h sa hauteur, A sa aire ; b) Quels sont les valeurs possibles pour x? c) Rédiger ce tableau de valeurs : x (m) h (m) A (m 2 ) 0 2 4 6 8 10 12 d) Représenter dans un repère l'aire A de la fenêtre en fonction de x. e) Réponde à la question posée. e) Exprimer la hauteur de la fenêtre puis son aire en fonction de x. f) Tracer la courbe de l'aire de la fenêtre en fonction de la largeur x et répondre à la question posée. 10

4. Formalisation (géneralités sur les fonctions) 1) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-3,4] représentée ci-contre. Répondre par une phrase aux questions suivantes (on peut donner des valeurs approchées) : a) Quelle est l'image de -2 par f? Et l'image de 2? b) Quels sont les antécédents de -1 par f? Et de 3? c) Donne un nombre qui a un seul antécédent. d) Donne un nombre qui n'a pas d'antécédents. 2) Soit f la fonction définie par f(x)= x+1 a) Déterminer le plus grand ensemble de définition possible pour la fonction f. b) Construire un tableau de valeurs en prenant garde de bien choisir les valeurs de x. c) Placer dans un repère les points obtenus et tracer la courbe représentative de la fonction f. 3) Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x2 + 2x+1 a) Vérifier que f(-1) = -2. b) Traduire f(-1) = -2 par une phrase contenant le mot «image». c) Traduire f(-1) = -2 par une phrase contenant le mot «antécédent». d) Quels sont les antécédents de 1 par f? e) Quel est l'image de 1 par f? f) Construire une courbe représentative possible de f. 4) Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x 2 2 1 a) Quelle est l'image de 0 par f? b) Quels sont les antécédents de 0 par f? c) Construire une courbe représentative possible de f. f(x)= 2x 5) Soit f la fonction définie sur R par 1+ x 2 et C f la courbe représentative de f. Le point A(1/2 ; 4/5) appartient-il à la courbe C f? Et le point B(3 ; 2/5)? 11

6. Formalisation (sense de variation d'une fonction ; fonctions, équations et inéquations) 1) Le graphique ci-contre représente la fonction f définie sur l'intervalle [-4,4]. a) Quelle est l'image de 1 par f? b) Quels sont les antécédent de 3 par f? c) Résoudre l'équation f(x) = 0 d) Résoudre l'inéquation f(x) > 3 e) Décrire le sens de variation de la fonction. f) Dresser le tableau de variation de la fonction. g) Quel est le minimum de la fonction f sur l' ensemble de définition? Pour quelle valeur de x est-il atteint? h) Quel est son maximum? Pour quelle valeur de x est-il atteint? 2) On considère une fonction f dont voici le tableau des variations : 1. Quel est l'ensemble de définition D de la fonction f? 2. Quel est le maximum de f sur D? 3. Tracer une courbe pouvant représenter f ; 4. Donner le nombre de solution des équations f(x) = 1, f(x) = 4, f(x) = 6. 3) Le graphique ci-contre représente la fonction f définie sur l'intervalle [-5,4]. a) Décrire le sens de variation de la fonction. b) Dresser le tableau de variation de la fonction. c) Quel est le minimum de la fonction f sur l' ensemble de définition? Pour quelle valeur de x est-il atteint? d) Quel est son maximum? Pour quelle valeur de x est-il atteint? e) Résoudre l'inéquation f(x)>0 f) Résoudre l'inéquation f(x)<4 12

7. Problèmes ABCD est un carré avec AB=4 cm. Soient E un point du côté AD, F un point du côté AB tel que AE = AF et G le milieu du côté BC. 1) Où placer E sur [AD] pour que l'aire du triangle DEF soit 1,5 cm 2? 2) Où placer E sur [AD] pour que l'aire les triangles DEF et FBG aient la même aire? A) Résolution avec Geogebra a. Créer A(0;0), B(4;0), C(4;4) et D(0;4). Dans la zone de saisie, entrer '' A=(0,0)'' et valider la touche (attention c'est une virgule). Créer de même B, C et D. b. Créer les segments [AB], [BC], [CD], [DA]. Cliquer sur l'outil Segments puis sur A et sur B. Créer de même les autres segments. c. Créer un point E sur [AD]. Cliquer sur l'outil Point sur Objet puis sur le segment [AD]. d. Créer le cercle de centre A passant par E. Cliquer sur l'outil Cercle centre-point puis sur A puis sur E. e. Créer le point F d'intersection du cercle et du segment AB. Cliquer sur l'outil Point d'intersection puis sur le cercle puis sur le segment [AB]. f. Créer le milieu G du segment BC. Cliquer sur l'outil Milieu ou centre puis sur le segment [BC]. g. Créer les triangles DEF et FBG. Cliquer sur l'outil Polygone puis sur D, sur E sur F et à nouveau sur D. Créer de même FBG. h. Faire afficher la longueur AE Cliquer sur l'outil Distance ou Longueur puis sur A et E g. Faire afficher les aires des triangles DEF et FBG Cliquer sur l'outil Aire puis sur chacun des deux triangles créés Déplacer le point E à la souris. Observer que l'aire de chacun des triangles est fonction de la longueur AE. Répondre aux questions 1) et 2). B) Résolution graphique avec les fonctions Soit x la distance AE (en cm). A quel intervalle appartient x? On note f(x) l'aire de DEF et g(x) l'aire de FBG. Démontrer que f(x)= 1 2 x(4 x) et g(x)=4 x Pour répondre à la question 1) tracer la courbe représentative de f à l'aide de GeoGebra et résoudre graphiquement l'équation f(x) = 1,5 Pour répondre à la question 2) tracer dans le même repère, à l'aide de GeoGebra, les courbes représentatives des fonctions f et g et résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x). C) Résolution par le calcul Pour répondre à la question 1) résoudre par le calcul l'équation f(x) = 1,5. Pour répondre à la question 2) résoudre par le calcul l'équation f(x) = g(x). 13

8. Formalisation (Fonctions linéaires et affines) 1) a) Lire graphiquement x A,x B. y A,y B b) De A à B, quel est l'accroissement des x? Et celui des y? c) Déterminer le coefficient directeur de (AB). d) Lire l'ordonnée à l'origine. e) Quelle est la fonction affine f représentée par (AB)? f) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0 ; g) Résoudre la même équation par le calcul. 2) Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine telle que : a) f(0) = 2 et f(2) = 5 b) f(-1) = 5 et f(2) = 2 c) f(-2) = -3 et f(3) = 9 3) Les points A (4 ; 9) et B(6 ; 5) appartiennent à la représentation graphique de la fonction affine g. Déterminer la formule littérale de g. 10 Formalisation (Résolution graphique et algébrique d'équations - inéquations) 9) 1) Quelles sont les fonctions f et g affines représentées par les droites d f et d g ci-contre? 2) Déterminer graphiquement puis résoudre par le calcul les problèmes suivants : a) f(x)= g(x) b) f(x)>0 c) g(x)>0 11 Travaux pratiques (problèmes) Un agriculteur souhaite réaliser un enclos rectangulaire contre un mur pour ses poules. Il dispose de 20 m de grillage, qu'il veut utiliser entièrement. L'objectif de cet exercice est de déterminer les dimensions de l'enclos afin que son aire soit maximale. On note l et x respectivement la largeur et la profondeur de l'enclos, en mètres. a) Quels sont les valeurs possibles pour x? b) Exprimer la largeur l en fonction de x. c) On note f la fonction qui à x associe l'aire de l'enclos correspondant. Déterminer f(x). d) Tracer à l'aide de GeoGebra la courbe représentative de la fonction f(x). e) Déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire de l'enclos est maximale. 14

2.4 Épreuve de contrôle 1) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-2,3] représentée ci-contre. Répondre par une phrase aux questions suivantes (on peut donner des valeurs approchées) : a) Quelle est l'image de 2 par f? b) Quels sont les antécédents de 1/2 par f? c) Résoudre l'équation f(x) = 0; d) Résoudre l'inéquation f(x) < 0 ; 2) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-2,3] de l'exercice précédent. a) Décrire le sens de variation de la fonction f. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. c) Quel est le minimum de la fonction f sur l' ensemble de définition? Pour quelle valeur de x est-il atteint? 3) Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x 3)(x+1) a) Quels sont les antécédents de 0 par f? b) Quel est l'image de 1 par f? c) Déterminer f( 2) f(4) et. d) Résumer les informations repérées et tracer une courbe représentative possible de f. 4) Soit f la fonction affine représentée ci-contre. a) De A à B, quel est l'accroissement des x? Et celui des y? b) Déterminer le coefficient directeur de f. c) Lire l'ordonnée à l'origine de f. d) Déterminer la formule littérale de f. e) Résoudre graphiquement puis par le calcul l'inéquation f(x) > 0. 5) Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine telle que : a) f(0) = -2 et f(2) = 1 b) f(2) = 3 et f(4) = 2 6) a) Quelles sont les formules littérales des fonctions affines f et g représentées par les droites d f et d g ci-contre? b) Résoudre graphiquement puis par le calcul les problèmes suivants : b1) f(x)= g(x) b2) f(x)>0 7) ABCD est un trapèze rectangle avec AB = 4 cm, AD = CD = 2 cm. E est un point sur le côté [AD]. Soit x la distance AE. On note A 1 (x) l'aire du triangle ABE, A 2 (x) l'aire du triangle CDE et A 3 (x) l'aire du triangle BCE. a) Quels sont les valeurs possibles pour x? b) Justifier que A (x)= 2x 1, A (x)= 2 x 2, A 3 (x)= 4 x c) Tracer sur le repère les courbes représentatives des trois fonctions. d) Où placer E sur [AD] pour que l'aire du triangle ABE soit égale à l'aire du triangle BCE? Répondre en utilisant le 15

graphique puis en résolvant une équation. Grille pour l'évaluation Exercice Objectif disciplinaire Score Objectif linguistique Score 1 Déterminer graphiquement images et antécédents (obj. 1) 2 Décrire le sens de variation et déterminer le minimum (obj. 2) 3 Déterminer algébriquement images et antécédents par le graphique. Tracer la courbe (obj. 1) 4 Déterminer la formule d'une fonction affine (obj 1) Résoudre graphiquement et algébriquement équations et inéquations (obj. 4) 5 Déterminer la formule d'une fonction affine (obj 1) 6 Déterminer la formule d'une fonction affine (obj. 1) Résoudre graphiquement et algébriquement équations et inéquations (obj. 4) 7 Modéliser par les fonctions. Résoudre un problème (obi 5) Note = score / 48 0-4 Comprendre la consigne et exprimer la conclusion 0-4 Décrire en utilisant le lexique spécifique 0-4 Comprendre la consigne 0-6 Comprendre la consigne Exprimer la conclusion 0-4 Comprendre la consigne 0-6 Comprendre la consigne 0-6 Justifier Exprimer la conclusion Objectives disciplinaires 0-34 Objectives linguistiques 0-14 0-4 0-4 0-2 0-4 16

3. Bibliographie Math'X classe seconde, Progamme 2010, Didier (manuel scolaire) Jean Baudet, «Nouvelle abrégé d'histoire des mathemathiques, Vuibert,, Paris, 2010 4. Sitographie essentielle http://manuel.sesamath.net/ Les manuels Sesamath (collège et Lycée classe seconde) Mathenpoche (ressources interactives pour les élèves du Collège à la terminale) Philippe Mercier (maths vidéos) (http://maths-video.com) http://cours3eme.blogspot.it/2007/08/thorme-de-thals-et-sa-rciproque_15.html http://cours2nde.blogspot.it/2011/12/fonctions-affines.html http://cours2nde.blogspot.it/2011/12/generalites-sur-les-fonctions-equations.html http://eduscol.education.fr/pid23211/mathematiques.html Eduscol, portail national des professionnels de l'éducation (fiches pédagogiques, exercices) http://www.univ-irem.fr/ IREM Instituts de recherche sur l enseignement des mathématiques http://euler.ac-versailles.fr/ Ressources interactives, glossaire http://www.assistancescolaire.com Réviser le cours, trouver la définition d'un mot http://www.academie-en-ligne.fr/default.aspx Site du CNED (cours gratuits, du CP à la terminale). Le CNED «assure, pour le compte de l'etat, le service public de l'enseignement à distance» 17