THEME : GRANDEURS COMPOSEES Grandeurs simples : Une longueur, une masse, une capacité, sont des grandeurs simples. Ces grandeurs s expriment avec une ( et une seule) unité. longueur : mètre ( ou centimètre, ou décimètre, ou kilomètre, ) masse : kilogramme ( ou gramme, ou tonne,.) capacité : litre ( ou ectolitre, ou centilitre, ) Grandeurs composées Grandeur produit : Le produit ( résultat d une multiplication ) de deux grandeurs s appelle une grandeur produit. Cette grandeur peut être le produit de deux grandeurs de même nature ou de deux grandeurs de natures différentes. Exemple : ( grandeurs de même nature ) L aire est une grandeur produit. L aire d un rectangle est le produit de la longueur ( unité le mètre ) par la largeur ( unité le mètre ) L aire A de ce rectangle est égale à : A = 5 3 = 5 Nous ne devons pas, dans l écriture du produit, écrire les unités. Mais, en faisant une faute, nous pouvons écrire : A = 5 m 3 m = 5 3 m m = 5 m² Le volume est une grandeur produit obtenu en faisant le produit de trois longueurs ( ou le produit d une aire et d une longueur ). Son unité sera donc, si les longueurs sont exprimées en mètres, m m m soit m 3 Remarque :
Sur certaines copies d élèves n ayant pas appris les formules donnant les volumes (!!! ), très souvent, le volume d un cylindre ( dont le rayon de base est R et la auteur ) apparait sous la forme V = π R Cette formule fausse ne peut pas être une formule donnant un volume. π est un nombre sans unité. Le rayon R est exprimé ( par exemple ) en mètre et la auteur est alors exprimée en mètre. L expression π R s exprime donc en m m, soit en m² π R Sans unité m m Cette formule n est donc pas la formule d un volume qui s exprime en m 3. Cette formule peut éventuellement représenter une aire, mais pas le volume d un cylindre. Rappelons que le volume d un cylindre ( de révolution ) est V = π R 2 π R 2 Sans unité m² m m² m, soit m 2+, c'està-dire m 3 Exemple : ( grandeurs de natures différentes ) Un appareil électrique consomme de l électricité. Si en une eure, un même appareil consomme une certaine quantité d énergie, en deux eures, ce même appareil consommera deux fois plus. L énergie consommée est donc proportionnelle au temps d utilisation. Les appareils électriques ont également des puissances différentes Le watt (symbole W) est (certaines ampoules ont une puissance de W, d autres de 00 W.). Une une unité de puissance. ampoule de 00 W consommera deux fois plus d énergie électrique qu une ampoule de 50 W. L énergie consommée est donc proportionnelle à la puissance de l appareil. Il existe une formule permettant de calculer l énergie consommée E pour un appareil d une puissance égale à P et pendant un temps t. Cette formule est : E = P t Si la puissance P est exprimée en watt ( W ) et la durée en eure (),l énergie E sera exprimée en Watteure ( W ). E = P t W (watt) ( eure ) W, soit W ou W (watt-eure ou watteure) Remarque : Dans la vie quotidienne, le watt-eure est peu utilisé. L unité usitée est le kilowatt-eure (symbole kw ou kw)
Remarque : Une ampoule de 00 W de puissance consomme pendant 2 eures une énergie égale à : E = P t = 00 2 = 200 W Une ampoule de 40 W de puissance consommera pendant 5 eures la même énergie : E = P t = 40 5 = 200 W Exercice : Une ampoule de W fonctionne pendant 3 45 min par jour. Quelle est l énergie électrique consommée par cette ampoule pendant 30 jours? Sacant que min = ( = min ), nous avons : 45 min = 45 = 45 3 5 3 4 5 4 0,75 Donc 3 45 min = 3 + 0,75 = 3,75 Energie consommée pendant 3 45 min ( ou 3,75 ) : E jour = 3,75 225 ( W) Nous pouvons laisser également le résultat sous forme fractionnaire. 3 45 min 3 45 3 45 3 2 3 5 3 45 min 3 4 4 4 4 Energie consommée pendant 30 jours : E = E jour 3,75 = 225 30 6 750( W) L énergie consommée par cette ampoule pendant 30 jours est donc de 6 750 W ou 6,750 kw Exercice : Un téléviseur a une puissance de 80 W ( lorsqu il est allumé ). En veille, sa puissance est de 5 W. Le téléviseur fonctionne 4 eures par jour. Quelle est l énergie consommée pendant les 4 eures de fonctionnement et pendant la veille? Energie consommée pendant le fonctionnement ( téléviseur allumé ): E allumé = 80 4 = 320 ( W ) Energie consommée pendant la veille : Le téléviseur est en veille pendant ( 24 4 ) eures, soit 20 eures E veille = 5 20 = 300 ( W ) Remarquons que la consommation pendant la veille est pratiquement égale à celle nécessaire pour son fonctionnement. Il est donc conseillé d éteindre son téléviseur plutôt que de le mettre en veille! Grandeurs composées Grandeur quotient : Le quotient ( résultat d une division ) de deux grandeurs s appelle une grandeur quotient.
Exemples : La vitesse ( m/s ; km/ ) est le quotient de deux grandeurs, une longueur par une durée La masse volumique d un corps, en kg/m 3 ( kilogramme par mètre cube ), en kg/dm 3 ( kilogramme par décimètre cube ) ou en g/cm 3 ( gramme par centimètre cube ) ou en t /m 3 ( tonne par mètre cube ) La vitesse de rotation d un moteur, en tours par minute (tr/min). Le débit en L/min (litre par minute), ou m 3 /s (mètre cube par seconde) La densité de population en ab/km 2 (nombre d'abitants par kilomètre carré) La consommation de carburant en L/00km. L intensité du traffic est le quotient du nombre de véicules passant ( par exemple ) à un péage par la durée ( véicules/ ). La masse surfacique est le quotient de la masse ( d une feuille de papier par exemple ) par l aire ( de la feuille ) exprimée en g/m². Etc. Exemple : La vitesse moyenne d un mobile qui parcourt une distance d pendant une durée t est donnée par la formule : d v t L unité de cette grandeur quotient est : d v t km (kilomètre) ( eure ) Le résultat sera exprimé km en, unité que l on notera km/ ( ou km - ) Si la distance est exprimée en mètres ( m ) et la durée en secondes ( s ), la vitesse sera exprimée en m/s (ou ms - ) Si la distance est exprimée en mètres ( m ) et la durée en minutes ( min ), la vitesse sera exprimée en m/min (ou mmin - ) Etc. km km km Savoir effectuer des cangements d unités de grandeurs quotients ou de grandeurs produits : VITESSES : La vitesse la plus élevée en ligne droite en Formule a été atteinte par le colombien Juan Pablo Montoya (McLaren Mercedes) à 372,6 km/ le 25 août 2005 en essais privés à Monza. Exprimez cette vitesse en m/s ( ou m.s - ou ms - )
Métode : ( Règle de trois ) En eure, la formule parcourt 372,6 km ( Cangement : cangement km en m ) En eure, la formule parcourt 372 0 m En 30 secondes, la formule parcourt 372 0 m 30 ( Cangement 2 : cangement en s ) 30 3720 En seconde, la formule parcourt m soit 03,5 m 30 Métode 2 : La vitesse de la formule est 372,6 km/ 372,6 km Nous désirons canger d unité et exprimer cette vitesse en m/s. ( «des mètres divisés par des secondes» ). Il suffit, dans la fraction que nous avons, de canger, au numérateur, les 372,6 kilomètres en mètres et, au dénominateur, l eure en secondes. Nous avons : 372,6 km = 372 0 m et = 30 s Donc 3720 30 Soit, en effectuant : 03,5 ( m/s ) VITESSE DE ROTATION m s La vitesse de rotation d un disque dur ( pour ordinateur ) est de 7200 tours/min. Quelle est sa vitesse en tours par seconde? Voir Vitesses - Formules et cangement d'unites Le tour par minute ou tr/min (Revolution Per Minute, Rotation Per Minute ou RPM, expressions utilisées par les anglopones) est une unité pour mesurer une vitesse de rotation.
Métode : Une vitesse de rotation de 7200 tours/min ( tr/min ) signifie que : En minute, le disque effectue 7200 tours En secondes, le disque effectue 7200 tours 7200 En seconde, le disque effectue tours Soit 20 tours La vitesse de rotation est donc de 20 tours par seconde ( 20 tr/s ) Métode 2 : Le disque effectue 7200 tours par minute, donc 7200 tours min Comme min = s, alors : 7200 tours s = 20 ( tours/s ) Quelle est la vitesse en m/s, puis en km/ d un point situé sur le bord du disque ( du plateau ) si ce dernier a une diamètre de 9 cm? DEBIT : Le débit d une source est égal à,8 L/s ; exprimer ce débit en m 3 / En appelant d le débit de cette source, nous avons :,8 d L s,8 L =,8 dm 3 = 0,008 m 3 = 3 0 s donc s = 30 Nous avons donc : 0,008 d 30 m 3 Donc le débit est : 0,008 3 d 0,008 30 6,48m / 30
MASSE VOLUMIQUE : Pour un corps donné ( solide, liquide ou gazeux ), la masse volumique est la masse de ce corps par unité de volume. La masse volumique est une grandeur quotient correspondant au quotient d une masse m par un volume V. Son unité principale est donc le kilogramme par mètre cube ( kg/m 3 ou kg.m -3 ) La masse volumique est souvent exprimée en g/cm 3 ou en kg/dm 3 ou en t/m 3 La masse volumique du fer vaut 7,84 g cm 3. Convertir en kg m 3. ( g cm 3 signifie g/cm 3 et kg m 3 signifie kg/m 3 ) La masse volumique est généralement notée par la lettre grecque ρ ( prononciation : ro). Elle est déterminée par le rapport : ρ = V m où m est la masse du corps occupant un volume V. Nous, pour effectuer cette conversion, utiliser la règle de trois ( ou un tableau de proportionnalité ). Nous pouvons également écrire : ρ = 7,84 Or, 7,84 g = 0,00784 kg = 7,84 0-3 kg cm 3 = 0-6 m 3 Donc : 3 7,84 0 kg ρ = -6 0 g cm 3 m 3 ρ 7,84 0 3 0 6 7,84 0 3 7840kg/m 3 7840kg.m 3 La masse volumique du fer est donc de 7840 kg m 3. Un exercice présenté par un élève qui demandait de l aide sur un forum d Internet. La vitesse d essorage d un lave linge est 0tr/min ( le tambour effectue 0 tours par minute). a) Exprimer cette vitesse en tr/s. b) Un essorage dure 3min 30s. Calculer le nombre de tours effectués par le tambour. c) Le tambour a effectué 33 tours pendant un essorage. Calculer, en minutes et secondes, la durée de cet essorage.
Solution : a) Vitesse en tr/s : La vitesse de rotation est de 0tr/min 0 Comme min = s, alors : 0 tours min tours s = 0 ( tours/s ) b) Nombre de tours effectués par le tambour en 3 min 30 s : 3 min 30 s = 3 s + 30 s = 80 s + 30 s = 20 s La macine fait 0 tours par seconde. En 20 secondes, elle effectue : 20 0 soit 200 tours c) Durée de l essorage : Durée en secondes de l essorage : Pour faire 0 tours, la macine à laver demande seconde. 33 Pour faire 33 tours, la macine à laver demande secondes, soit 336 secondes 0 Or 336 = 5 + 36 ( 5 paquets de secondes et 36 secondes ) Donc 336 secondes correspondent à 5 min 36 s