Chapitre n 3 : LE GAZ PARFAIT

Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne Chapitre n 3 : LE GAZ PARFAIT I) Modèle du gaz parfait : 1) L'état gazeux : Dans l'état gazeux, les atomes sont généralement associés en molécules déformables, très faiblement liées entre elles et séparées par de grands espaces vides. Le volume qu'elles occupent est beaucoup plus petit que celui qui leur est offert. Exemple : Dans 1 cm 3 d'air à la pression de 1 atmosphère, il y a environ 3,3.10 19 molécules. C'est-à-dire que chaque molécule a, à sa disposition, en moyenne, un volume 3 1 cm V = = 3.10 20 cm 3. 19 3,3.10 moléc Chaque molécule ayant des dimensions de l'ordre 3,6.10 8 cm, occupe un volume d'environ v = (3,6.10 8 ) 3 = 5.10 23 cm 3. Le volume dont dispose chaque molécule est donc 600 fois plus grand que le volume d'une molécule. La distance moyenne d entre les molécules (supposées régulièrement espacées) est égale à l'arête du cube de volume V. Soit : d = 3 V = 3 3.10 20 = 3.10 7 cm = 3 nm. Dans le volume libre disponible, les molécules d'un gaz sont en perpétuelle agitation en tous sens. Elles subissent des collisions entre elles et avec les parois du récipient qui les contient; elles peuvent être déformées et vibrer. On peut simplifier l'étude d'un gaz réel en définissant le modèle du gaz parfait. 2) Le modèle du gaz parfait : Le gaz parfait est un gaz idéal, un modèle, dans lequel les molécules sont supposées rigides et totalement indépendantes les unes des autres. Les seules interactions qu'elles peuvent subir lors de leur agitation sont les chocs élastiques entre elles ou avec les parois du récipient contenant le gaz. Nous supposerons désormais que les gaz étudiés sont des gaz parfaits. Le gaz parfait est un modèle de gaz très simple. Il permet de comprendre les comportements des gaz réels. II) Notion de température et de pression : 1) Agitation thermique et température absolue : On peut imaginer que les molécules d'un gaz (parfait) sont animées de mouvements incessants en tous sens avec des vitesses quelconques. Les trajectoires sont des lignes brisées : segments de droites interrompus par des collisions élastiques des molécules entre elles ou avec les parois. Pour décrire un tel système, on définit une mesure de vitesse moyenne v des molécules et par suite une énergie cinétique moyenne E C = 21.m.v 2 (m étant la masse d'une molécule) puis on introduit une nouvelle grandeur notée T (à l'échelle macroscopique), appelée température absolue, proportionnelle à E C. Ecole Européenne de Francfort Page 49

Le gaz parfait Le mouvement désordonné des molécules est donc décrit par une vitesse moyenne v (grandeur moléculaire) à laquelle on fait correspondre une température T (grandeur macroscopique). On appelle agitation thermique le mouvement désordonné des molécules. Dans un gaz la distance moyenne que parcourt une molécule entre deux chocs est appelée libre parcours moyen l (ne pas confondre avec la distance moyenne d entre molécules). Le libre parcours moyen dépend de la dimension des molécules et de la densité du gaz. Exemple : Pour l'oxygène sous la pression atmosphérique : l = 5.10 6 cm = 50 nm. A la température ordinaire, la vitesse moyenne des molécules d'oxygène est v = 450 m.s 1, on trouve qu'une molécule a : n = v/l = 10 10 chocs par seconde!!! Remarque : Ce nombre considérable explique la rapidité avec laquelle un équilibre statistique peut s'établir au sein d'un gaz. La température absolue, notée T, s'exprime en kelvin (symbole K). Si le mouvement est nul, l'énergie cinétique moyenne est nulle et la température absolue également T = 0 K. Le zéro absolu est une température limite que l'on ne peut pas atteindre. Inversement, une température T très élevée correspond à une agitation thermique intense. Dans la pratique, on utilise généralement une autre échelle de température que l'échelle absolue : l'échelle Celsius. Elle est définie par la grandeur θ telle que : T (K) = 273,15 + θ ( C) L'unité de cette échelle est le degré Celsius (ou C). Remarque : Il est important de noter que seule l'échelle absolue a un sens physique (l'agitation thermique). L'échelle Celsius est purement arbitraire (il existe d'ailleurs d'autres échelles : Fahrenheit, Réaumur,...) : elle attribue la valeur θ = 0 C à la température de la glace fondante, et la valeur θ = 100 C à celle de l'eau bouillante. Ceci, sous la pression normale (la pression normale est définie par la suite). Remarque : Bien que les échelles soient différentes : 1 C = 1 K ce qui n'est pas le cas pour les échelles Fahrenheit ou Réaumur. 2) Pression dans un gaz et interprétation microscopique : On considère une force F agissant perpendiculairement et uniformément (force répartie) sur une surface plane S. On appelle pression p la quantité : F P = S Dans le système international (SI), la pression s'exprime en pascal (symbole Pa), 1 newton 1 pascal =, mais pour les gaz, on utilise généralement le bar ou le millibar (1 mb, 2 1 m appelé également hectopascal) : 1 bar = 10 5 Pa et 1 millibar = 10 2 Pa = 1 hpa F( N) P(Pa) = S( m 2 ) Dans un gaz, l'agitation thermique fait que les molécules ont de très nombreux chocs sur les parois du récipient qui le contient : la pression est l'effet statistique à l'échelle macroscopique des innombrables chocs des molécules sur les parois. Les instruments utilisés pour mesurer la pression des gaz s'appellent des manomètres. Le principe est très simple : il s'agit d'équilibrer l'action du gaz par une force extérieure. Pour mesurer la pression atmosphérique on utilise un manomètre à vide ou baromètre. Page 50 Christian BOUVIER

Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne En 1643, le physicien Torricelli (1608-1647) a montré l'existence de la pression atmosphérique en utilisant un baromètre à mercure. Il procédait comme l'indique la figure : (1) - Le tube AB est rempli de mercure et bouché avec le doigt. (2) - Le tube AB est retourné au-dessus d'une cuve contenant du mercure. (3) - L'extrémité A du tube étant sous le niveau du mercure de la cuve et le doigt enlevé, le mercure reste soulevé sur une hauteur de 76 centimètres environ. A l'extrémité B, audessus du mercure, on a le vide. Le baromètre à mercure est précis mais difficilement transportable (presque 1 m de hauteur, lourd, fragile et son support doit être stable). On utilise fréquemment un baromètre à capsule anéroïde (vidé d'air). L'organe sensible permettant la mesure est la capsule de Vidie. Exemple : A cause de l'atmosphère, une surface de 1 m 2, au niveau de la mer, subit une force voisine de celle provoquée par une masse de 10 tonnes. Cela représente une force de 100 000 N (newtons) par mètre carré c'est-à-dire une pression p 0 de 100 000 Pa (pascals) ou 1 000 hpa (hectopascals) ou 1 000 mb (millibars). Exemple : Lorsque le baromètre à mercure indique une hauteur de 76 cm de mercure, on a : P 0 = ρ Hg.g.h = 13600x9,8x0,76 = 101300 Pa = 1013 hpa Exemple : La pression atmosphérique varie avec l'altitude : entre 0 et 600 m, elle diminue de 1 hpa chaque fois que l'on s'élève de 8,5 m. Interprétation moléculaire : Analysons le mécanisme du choc à l'échelle des molécules. Supposons pour simplifier que toutes les molécules (masse m) ont la même vitesse, la vitesse moyenne v. Raisonnons avec une molécule : sur la paroi, le choc est élastique, la molécule arrivant avec la vitesse v rebondit et repart dans la direction symétrique par rapport à la normale; sa vitesse est alors v '. Avant le choc sa quantité de mouvement est : p = m. v Après le choc, sa quantité de mouvement est : p ' = m. v ' La variation de la quantité de mouvement est : p = p ' p 0 Ecole Européenne de Francfort Page 51

Le gaz parfait La quantité de mouvement n'est donc pas conservée lors du choc. Nous savons que cela signifie que le système (ici la molécule) n'est pas isolé : une force f intervient. Effectivement, le contact de la molécule avec la paroi lors du choc supprime cet isolement et tout se passe comme si une force f modifiait cette quantité de mouvement. Le raisonnement fait pour une molécule peut être repris pour l'ensemble des molécules : les nombreux chocs, de toutes les molécules, contribuent à une force F somme des forces f. Si le gaz est enfermé dans un récipient muni d'un piston mobile de surface S, on constate qu'il faut exercer une force F ' pour compenser l'action F des molécules du gaz. Nous avons donc F + F ' = 0 le gaz exerce sur le piston la pression : F F' P = = S S La pression paraît constante en tous les points de la paroi du récipient (pour une température donnée) car l'observation est faite à l'échelle macroscopique sur un très grand nombre d'événements que sont les chocs élastiques en tous les points de la paroi. La pression sera d'autant plus grande que le nombre de chocs sera plus important pour une durée donnée (fréquence des chocs) et que la quantité de mouvement des molécules sera plus élevée (masse et vitesse moyenne des molécules). La pression d'un gaz parfait est due aux innombrables chocs des molécules sur les parois. Elle dépend du volume du récipient, du nombre de molécules et de la température. III) Loi des gaz parfaits : 1) Loi de Boyle-Mariotte : A mesure qu'un ballon sonde rempli d'hélium monte dans l'atmosphère, son volume augmente parce que la pression extérieure diminue graduellement. Inversement, quand on diminue le volume enfermé dans une pompe en enfonçant le piston, on augmente la pression du gaz enfermé. Au XVII e siècle, le chimiste irlandais Robert Boyle a étudié le comportement des gaz. En 1776, Edme Mariotte, un physicien français énonce en même temps que lui, la loi. La loi de Boyle-Mariotte dit que le volume d'une masse donnée (quantité de matière n) de gaz maintenu à température constante est inversement proportionnel à sa pression : V = k 1. P 1 ou P.V = k1 à T et n constants Ainsi pour une masse de gaz donnée dans des conditions de pressions (P 1 et P 2 ) et de volumes (V 1 et V 2 ) différents, mais à température constante, on aura : P 1.V 1 = k 1 = P 2.V 2 Page 52 Christian BOUVIER

2) Loi de Gay-Lussac-Charles : Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne L'expérience montre que pour une masse donnée de gaz à pression constante, le volume augmente si la température augmente et le volume diminue si la température diminue. En fait le rapport quantitatif entre les variations de volume et de température est remarquablement constant : en extrapolant la droite obtenue pour une pression donnée jusqu'au volume zéro, celle-ci coupe l'axe des températures à 273,15 C. (zéro absolu!!). En 1848, le physicien écossais, lord William Thomson Kelvin, comprit la signification de cette température (le zéro absolu). Jacques Charles et Joseph Gay-Lussac, deux scientifiques français furent les premiers à étudier cette relation. La loi de Charles dit que pour une masse donnée de gaz maintenu à pression constante, le volume V du gaz est directement proportionnel à sa température absolue T : V = k2 à P et n constants T Pour une masse de gaz donnée dans des conditions de températures (T 1 et T 2 ) et de volumes (V 1 et V 2 ) différents, mais à pression constante, on aura : V 1 V = 2 k2 = T1 T2 Une conséquence de la Loi de Gay-Lussac-Charles est que pour une masse donnée de gaz maintenu à volume constant, la pression P du gaz est directement proportionnelle à sa température absolue T : P = k3 à V et n constants T Les deux expressions V P = k2 et = k3 correspondent à la même loi T T Ecole Européenne de Francfort Page 53

3) Loi d'avogadro : Le gaz parfait Le travail du scientifique italien Amedeo Avogadro compléta les recherches de Boyle, de Charles et de Gay-Lussac. En 1811, il propose l'hypothèse suivante : A la même température et à la même pression, des volumes égaux de gaz différents contiennent le même nombre de molécules. Le volume d'un gaz donné est proportionnel à la quantité de matière qu'il contient : V = k 4.n à P et T constants Ou n est la quantité de matière (nombre de moles) et k 4 est la constante de proportionnalité. 4) Equation des gaz parfaits : La loi de Boyle : P.V = k 1 (à T = c te et n = c te ) La loi de Charles : V = k 2.T (à P = c te et n = c te ) ou P = k 3.T (à V = c te et n = c te ) La loi d'avogadro : V = k 4.n (à P = c te, et T = c te ) Nous pouvons combiner ces trois lois : P.V = k 3.T.k 4.n = k 3.k 4.n.T, on pose k 3.k 4 = R La loi des gaz parfaits s'écrit : P.V = n.r.t P est la pression du gaz (exprimée en Pa), V est le volume de gaz (exprimé en m 3 ), n est la quantité de matière de gaz (exprimée en mol), T est la température absolue du gaz (exprimée en K) et R est la constante des gaz parfaits. Dans le système international (S.I.) la constante des gaz parfaits prend la valeur : R = 8,32 Pa.m 3.mol 1.K 1 IV) Applications : 1) Conditions normales, conditions standards et conditions ambiantes : En thermodynamique, on rencontre deux pressions de référence : - la pression standard P = 1 bar = 10 5 Pa 750 mm Hg, recommandée par l'iupac. - la pression normale : P 1 atm = 1,01325 10 5 Pa 760 mm Hg. Il n'y a pas de température standard. Il convient donc de préciser la température considérée : - les conditions normales de température et de pression (CNTP) spécifient une température T = 0 C = 273,15 K et une pression de P = 1 atm = 1013,25 hpa = 1,01325 bar. - les conditions ambiantes de température et de pression (CATP) spécifient une température de T = 25 C = 298,15 K et une pression de P = 1 000 hpa = 1 bar. 2) Volume molaire des gaz : Dans les conditions normales (CNTP) : V 0 = 2,24.10 2 m 3.mol 1 = 22,4 L.mol 1 Dans les conditions ambiantes (CATP) : V S = 2,48.10 2 m 3.mol 1 = 24,8 L.mol 1 Page 54 Christian BOUVIER

Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne A RETENIR I) Modèle du gaz parfait : 1) L'état gazeux : Dans l'état gazeux, les atomes sont généralement associés en molécules déformables, très faiblement liées entre elles et séparées par de grands espaces vides. Le volume qu'elles occupent est beaucoup plus petit que celui qui leur est offert. 2) Le modèle du gaz parfait : Le gaz parfait est un gaz idéal, un modèle, dans lequel les molécules sont supposées rigides et totalement indépendantes les unes des autres. Les seules interactions qu'elles peuvent subir lors de leur agitation sont les chocs élastiques entre elles ou avec les parois du récipient contenant le gaz. II) Notion de température et de pression : 1) Agitation thermique et température absolue : On appelle agitation thermique le mouvement désordonné des molécules. La température absolue, notée T, s'exprime en kelvin (symbole K). La température Celsius est définie par la grandeur θ telle que : T (K) = 273,15 + θ ( C) L'unité de cette échelle est le degré Celsius (ou C). 2) Pression dans un gaz et interprétation microscopique : F( N) P(Pa) = S( m 2 ) La pression d'un gaz parfait est due aux innombrables chocs des molécules sur les parois. Elle dépend du volume du récipient, du nombre de molécules et de la température. III) Loi des gaz parfaits : 1) Loi de Boyle-Mariotte : Le volume d'une masse donnée (quantité de matière n) de gaz maintenu à température constante est inversement proportionnel à sa pression : V = k 1. P 1 ou P.V = k1 à T et n constants 2) Loi de Gay-Lussac-Charles : Pour une masse donnée de gaz maintenu à pression constante, le volume V du gaz est directement proportionnel à sa température absolue T : V = k2 à P et n constants T Pour une masse donnée de gaz maintenu à volume constant, la pression P du gaz est directement proportionnelle à sa température absolue T : P = k3 à V et n constants T Ecole Européenne de Francfort Page 55

3) Loi d'avogadro : Le gaz parfait A la même température et à la même pression, des volumes égaux de gaz différents contiennent le même nombre de molécules. Le volume d'un gaz donné est proportionnel à la quantité de matière qu'il contient : V = k 4.n à P et T constants 4) Equation des gaz parfaits : La loi des gaz parfaits s'écrit : P.V = n.r.t P est la pression du gaz (exprimée en Pa), V est le volume de gaz (exprimé en m 3 ), n est la quantité de matière de gaz (exprimée en mol), T est la température absolue du gaz (exprimée en K) et R est la constante des gaz parfaits. Dans le système international (S.I.) la constante des gaz parfaits prend la valeur : R = 8,32 Pa.m 3.mol 1.K 1 IV) Applications : 1) Conditions normales, conditions standards et conditions ambiantes : Deux pressions de référence : - la pression standard P = 1 bar = 10 5 Pa 750 mm Hg, recommandée par l'iupac. - la pression normale : P 1 atm = 1,01325 10 5 Pa 760 mm Hg. Il convient de préciser la température considérée : - les conditions normales de température et de pression (CNTP) spécifient une température T = 0 C = 273,15 K et une pression de P = 1 atm = 1013,25 hpa = 1,01325 bar. - les conditions ambiantes de température et de pression (CATP) spécifient une température de T = 25 C = 298,15 K et une pression de P = 1 000 hpa = 1 bar. 2) Volume molaire des gaz : Dans les conditions normales (CNTP) : V 0 = 2,24.10 2 m 3.mol 1 = 22,4 L.mol 1 Dans les conditions ambiantes (CATP) : V S = 2,48.10 2 m 3.mol 1 = 24,8 L.mol 1 Page 56 Christian BOUVIER

I) Cocotte-minute. Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne POUR S'ENTRAÎNER Une cocotte-minute de capacité V = 8,0 L, contient un litre d'eau. On visse le couvercle. L'air intérieur est à la pression atmosphérique P 0 = 1,02.10 5 Pa; l'ensemble est à la température θ = 20 C. On chauffe le tout jusqu'à la température θ' = 112 C. Une masse m = 6,0 g d'eau s'est vaporisée. a) Quelle quantité de matière d'air est enfermée dans la cocotte? b) Quelle quantité de matière d'eau s'est vaporisée? c) Quel est le volume V' occupé par l'air et la vapeur d'eau à la température θ' = 112 C? d) Quelle est la pression P' qui règne à l'intérieur de la cocotte-minute à cette température? On donne : masse molaire moléculaire de l'eau : M H2O = 18 g.mol 1. constante des gaz parfaits : R = 8,32 S.I. II) Pompe de bicyclette. A l'aide d'une pompe, un cycliste gonfle son pneumatique de volume constant V 1 = 3200 cm 3. L'air admis dans le corps de pompe est à la pression atmosphérique P 0 = 1013 mbar et à la température T 0 = 293 K. Le corps de pompe à un volume V = 80 cm 3 : c'est donc le volume d'air admis dans la pompe, à la pression atmosphérique, quand le cycliste tire sur le piston. C'est cet air qui est poussé dans le pneumatique quand le cycliste enfonce le piston. a) Quelle est la quantité de matière d'air entrant dans le pneumatique à chaque coup de pompe? b) Le cycliste donne 60 coups de pompe. En admettant qu'à la fin de l'opération l'air dans le pneumatique est toujours à la température T 0 = 293 K, quelle est alors la pression de l'air dans le pneumatique? c) La pression maximale admissible dans le pneumatique est P max = 1,7 bar. A quelle température devrait être l'air atmosphérique pour atteindre cette pression? On donne : Constante des gaz parfaits : R = 8,32 S.I. III) Cycle de transformations. On réalise l'expérience suivante. Dans un cylindre muni d'un piston, on enferme 0,1 mole d'air sous la pression P 0 = 1,0 bar et la température normale T 0 = 273 K (point A). a) Quel est le volume V 0 de cette quantité d'air dans le cylindre? On donne la constante des gaz parfaits R = 8,32 J.K 1.mol 1. b) Grâce à un dispositif de chauffage, on élève la température de ce gaz en maintenant son volume constant et égal à V 0 jusqu'à ce que la pression atteigne la valeur P 1 = 2 bars (point B). Calculer la température T 1 correspondante. c) L'état du gaz étant pression P 1, et température T 1, on augmente alors le volume de V 0 à V 2 = 2.V 0 en maintenant la pression constante P 1 (point C). Calculer la nouvelle température T 2. d) En refroidissant le gaz à volume constant V 2 (point D), puis en réduisant son volume à pression constant P 0, on revient à l'état initial (point A). L'air a alors décrit le cycle ABCD. Calculer la température T 3 correspondant au point D. Ecole Européenne de Francfort Page 57

Le gaz parfait IV) Loi des gaz parfait, formule du soufre gazeux. La formule moléculaire du soufre gazeux change avec la température. On veut étudier cette formule moléculaire à 445 C puis à 1000 C. a) Sachant que la masse volumique de l'air est µ 0 air = 1,293 kg.m 3 dans les conditions normales de températures et de pression (T 0 = 273,15 K et P 0 = 101325 Pa), calculer sa valeur à la pression normale P 0 et à 445 C (µ 445 air) puis à 1000 C (µ 1000 air). b) La densité du soufre gazeux par rapport à l'air, sous la pression normale est d 445 soufre = 6,6 à 445 C et d 1000 soufre = 2,2 à 1000 C. Calculer dans ces deux cas les masses volumiques du soufre : µ 445 soufre et µ 1000 soufre puis les masses molaires moléculaires correspondantes du soufre M 445 soufre et M 1000 soufre. c) En déduire les formules moléculaires de la vapeur de soufre à 445 C puis à 1000 C, sachant que la masse atomique du soufre est M S = 32 g.mol 1. Page 58 Christian BOUVIER