MAT-1102-3 SIGLE Étude statistique et probabiliste «Les jeux télévisés» TITRES de la situation et du cours NOM DES MEMBRES DE L ÉQUIPE : Monique Lamoureux CENTRE : Geneviève Boileau Centre de formation des Maskoutains Julie Gauthier, Josée Thériault CS : Commission scolaire de Saint-Hyacinthe DOMAINE GÉNÉRAL DE FORMATION DURÉE : 11 h SANTÉ ET MIEUX-ÊTRE ENVIRONNEMENT ET CONSOMMATION x MONDE DU TRAVAIL CITOYENNETÉ CLASSE DE SITUATION Prévision d événements aléatoires. SITUATION DE VIE RETENUE Participation à divers jeux télévisés. CATÉGORIE(S) D ACTION Détermination de la probabilité qu un événement aléatoire se manifeste. COMPÉTENCE(S) POLYVALENTE(S) Communiquer. - décoder avec exactitude les symboles, les notations et les termes associés aux statistiques et aux probabilités; - repérer les renseignements explicites qui permettent d attribuer un sens aux données; - structurer convenablement le message en ayant recours à des modes de représentation appropriés; - utiliser avec rigueur les symboles, les notations et les termes associés aux statistiques et aux probabilités; - s assurer de la clarté du message. Raisonner avec logique. - induire les caractéristiques communes à plusieurs données; - induire les techniques multiplicatives permettant de calculer les cas possibles et les probabilités; - déduire des renseignements implicites; - déduire la complémentarité, la compatibilité ou la dépendance de deux événements aléatoires; - vérifier le réalisme et la cohérence de ses conclusions. Exercer son sens critique et éthique. - vérifier la crédibilité des sources d information; - détecter les sources de biais susceptibles d influencer les résultats d une collecte de données; - détecter les facteurs pouvant influencer des prévisions probabilistes; - se forger une opinion ou faire des choix basés sur des faits ou des données objectives; - minimiser les sources de biais lors d une collecte de données. SAVOIRS ESSENTIELS Probabilité Hasard. Expérience aléatoire. Événement. Événements équiprobables et non équiprobables. Univers des cas possibles. Cas favorables. Événements probables, certains et impossibles. Relation entre deux événements (dépendants, indépendants, complémentaires, compatibles, incompatibles). Calcul du nombre de cas possibles et du nombre de cas favorables. Dénombrement pour une expérience d au plus trois étapes à l aide de modes de représentation. 1
ACTIVITÉS D APPRENTISSAGE MATÉRIEL DURÉE 1. PRÉPARATION Je complète la mise en situation «Faites vos jeux!». Je compare les résultats obtenus et je justifie mes choix tout au long du déroulement de la partie avec un ou une collègue de la classe. Au besoin, je reprends la mise en situation. 2. RÉALISATION En équipe de deux, je complète la mise en situation «La somme gagnante». Annexe 1 Annexe 2 Je consulte le document «Théorie sur les probabilités». Annexe 3 Je consolide mes apprentissages en complétant des exercices sur les probabilités. Je complète la mise en situation «Le cadenas». Annexe 4 Je corrige mes réponses et je présente mes résultats à mon enseignant. Je complète la mise en situation «La machine à gommes». Annexe 5 Je compare mes réponses avec un ou une collègue. Je consolide mes apprentissages en complétant des exercices sur les probabilités. 3. INTÉGRATION À la lumière des activités précédentes, je dresse le bilan de mes apprentissages et je m autoévalue. Annexe 2e (Corrigé) Annexe 3e (Corrigé) B et B, p. 229 à 261 MAT 2008 Annexe 4e (Corrigé) Annexe 5e (Corrigé) Annexe 6 Je complète la mise en situation «Le trèfle à quatre feuilles». Annexe 7 Annexe 7e (Corrigé) 30 min. 10 min. 50 min. 3 h 1 h 10 min. 50 min. 3 h 30 min. 1 h 2
Réservé à l usage du personnel enseignant ANNEXE 2e CORRIGÉ LA SOMME GAGNANTE Source : Cadieux, R. Gendron, I. Ledoux A. Panoramath manuel A volume 2, Éditions CEC, Anjou, Québec, p.21 1. Selon toi, quelle est la somme que doit choisir le participant? 7 (réponse variable) 2. Justifie ta réponse. Parmi les éléments de l univers des possibles du lancer de 2 dés, la somme la plus fréquente est 7. (justification en fonction de la réponse précédente) 3
Réservé à l usage du personnel enseignant ANNEXE 3e CORRIGÉ THÉORIE SUR LES PROBABILITÉS Complète le tableau en indiquant la somme obtenue. Tableau des sommes des nombres apparaissant sur la face supérieure de deux dés 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 4
ANNEXE 3e (suite) CORRIGÉ Théorie sur les probabilités (suite) De quelle façon décrirais-tu l événement B «obtenir une somme inférieure à 9»? B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Et l événement C «obtenir une somme supérieure à 12»? C = { } ou C = Ø 1. Décris deux événements équiprobables dans cette situation. A «Obtenir une somme inférieure à 5» B «Obtenir une somme égale à 7» (réponses variables) 2. Décris, cette fois, deux événements non équiprobables. A «Obtenir une somme correspondant à un nombre premier» B «Obtenir une somme correspondant à un multiple de deux» (réponses variables) 3. Maintenant que tu en sais un peu plus sur les chances d obtenir une somme gagnante en jetant les dés, reviens à la question du départ. Es-tu toujours en accord avec la réponse que tu avais proposée? et pourquoi? Étant donné que les événements associés à «Obtenir une somme de...» sont non équiprobables, on peut conclure que la somme la plus fréquente est 7. Ainsi, le participant devrait choisir une somme de 7. 5
Réservé à l usage du personnel enseignant ANNEXE 4e CORRIGÉ LE CADENAS Pour gagner un gros lot de 250 $, M. Lachance doit ouvrir un cadenas à numéros à cinq chiffres (de 1 à 5). La combinaison pour l ouvrir est composée d un code de trois chiffres et le même chiffre peut se répéter deux ou même trois fois dans la combinaison. M. Lachance affirme qu il y a plus de 100 arrangements différents. Peux-tu l aider à justifier cette affirmation. Pour chacune des réponses, justifie ton choix. 1. Sur la première roulette, y a-t-il plus de chances d obtenir un 5 qu un 2? Oui Non Chacun des chiffres a autant de chances de faire partie de la combinaison gagnante. 2. S il y a un 5 sur la première roulette, les possibilités d obtenir un 5 sur la seconde roulette sont-elles moindres? Oui Non Les roulettes sont indépendantes. Le résultat de la première roulette n influence en rien le résultat de la seconde. 3. M. Lachance affirme que la combinaison (1, 1, 1) a moins de chance d être obtenue que la combinaison (1, 2, 3). Es-tu d accord? Oui Non Sur chaque roulette les chiffres ont autant de chances les uns que les autres et chaque roulette est indépendante. 6
ANNEXE 4e (suite) CORRIGÉ Le cadenas (suite) 4. Y a-t-il une combinaison plus probable qu une autre? Oui Non Chaque combinaison a autant de chances que les autres. 5. Quel nom donne-t-on à ce type d expérience? Équiprobable Non équiprobable Justifie ta réponse : Chaque combinaison a autant de chance d ouvrir le cadenas. 6. M. Lachance a placé le nombre 1 sur la première roulette. Construis la portion du diagramme en arbre décrivant toutes les combinaisons possibles. 1 re roulette 2 e roulette 3 e roulette 7
ANNEXE 4e (suite) CORRIGÉ Le cadenas (suite) 7. S il avait plutôt mis 2 sur cette même roulette, en quoi la portion de l arbre serait-elle différente de la précédente? Il y aurait un 2 à la place du résultat 1 sur la première roulette. 8. Combien de résultats obtiens-tu pour la première roulette, la seconde et la troisième? 1 re roulette 5 2 e roulette 5 3 e roulette 5 9. Calcule le nombre de cas possibles associés à cette situation. 1 re 2 e 3 e 5 x 5 x 5 = 125 125 cas possibles ou combinaisons différentes. 10. Finalement, M. Lachance avait-il raison d affirmer qu il y aurait plus de 100 combinaisons différentes? Justifie ta réponse Oui Non Oui, puisque 125 est plus grand que 100. 11. Peut-on obtenir un triplet, c'est-à-dire 3 mêmes chiffres pour ouvrir le cadenas? Énumère les combinaisons possibles de triplets. Oui Non { (1.1.1) ; (2.2.2) ; (3.3.3) ; (4.4.4) ; (5.5.5) } 8
ANNEXE 4e (suite) CORRIGÉ Le cadenas (suite) 12. Si l on considère un doublet au début de la combinaison (deux chiffres se répètent, sur la 1re roulette et la 2e roulette), combien de combinaisons obtiens-tu? 25 combinaisons Énumère ces combinaisons : { (1.1.1) ; (1.1.2) ; (1.1.3) ; (1.1.4) ; (1.1.5) ; (2.2.1) ; (2.2.2) ; (2.2.3) ; (2.2.4) ; (2.2.5) ; (3.3.1) ; (3.3.2) ; (3.3.3) ; (3.3.4) ; (3.3.5) ; (4.4.1) ; (4.4.2) ; (4.4.3) ; (4.4.4) ; (4.4.5) ; (5.5.1) ; (5.5.2) ; (5.5.3) ; (5.5.4) ; (5.5.5) } 9
Réservé à l usage du personnel enseignant ANNEXE 5e CORRIGÉ LA MACHINE À GOMMES Yvon Lavallée a toujours rêvé de jouer au Banquier, à La poule aux œufs d or ou à La roue de fortune. Voici son unique chance Pour ce faire, il doit jouer à la machine à gommes. Ce jeu consiste à obtenir une gomme sur laquelle est imprimé le symbole du jeu télévisé auquel il pourra participer. Ces gommes se trouvent parmi plusieurs gommes ayant des symboles différents. Il a droit à une participation, c'est-à-dire tourner une fois le mécanisme de la machine à gommes qui en fera tomber une seule. Voici comment sont répartis les symboles sur les gommes : Répartition des symboles Symbole Le Banquier La poule aux œufs d or La roue de fortune Cerise Étoile Trèfle Citron Nombre de gommes présentant ce symbole 1 2 3 7 7 7 43 1. Quel est l univers des possibles? U = {Le Banquier, La poule aux œufs d or, La roue de fortune, cerise, étoile, trèfle, citron} 2. Yvon a-t-il autant de chance de participer au Banquier qu à La roue de fortune? Justifie. Non, Yvon a 1 seule chance de participer au Banquier alors qu il a 3 chances de participer à la Roue de fortune. 3. Quels sont les cas favorables de cette situation? Justifie. Les cas favorables sont : Le Banquier, La poule aux œufs d or et la Roue de fortune. Ces cas sont favorables car ils te permettent de participer à un jeu télévisé. 10
ANNEXE 5e (suite) CORRIGÉ La machine à gommes (suite) 4. Yvon a déclenché le mécanisme de la machine à gommes, il a maintenant sa gomme en main. Sans l avoir vue, peut-il affirmer qu il participera à un jeu télévisé? Justifie. Non, il ne sait pas ce qu il a pigé. C est un événement probable. 5. Fou de joie d avoir une participation à La poule aux œufs d or, Yvon a, par inadvertance, mâché sa gomme. Sa participation à ce jeu est maintenant un événement certain, probable ou impossible? Justifie. Un événement impossible car il n a plus de preuve. (Oui, s il a montré sa gomme à la personne responsable avant de la mâcher.) 6. Yvette, la copine d Yvon, a joué avant lui et a obtenu une gomme lui permettant de participer à La roue de fortune. Est-ce que la participation possible d Yvon à La poule aux œufs d or est dépendante ou indépendante du résultat de la pige de sa copine? Justifie. Sa participation est dépendante parce que cette expérience est sans remise. (Yvette n a pas remis sa gomme dans la machine à gommes.) 7. Est-ce que ce jeu est équiprobable? Si oui, justifie. Si non, quelle(s) modification(s) apporterais-tu pour le rendre équiprobable? Non, il n est pas équiprobable. Pour le rendre équiprobable, on pourrait avoir, par exemple, 10 gommes de chaque symbole. 11
Réservé à l usage du personnel enseignant ANNEXE 7e CORRIGÉ LE TRÈFLE À QUATRE FEUILLES CARTES DE JEU DES PARTICIPANTS Pour M me Marguerite Deschamps Résultats obtenus : Roulettes A B C Résultats 1 6 0 Carte de jeu : Trèfles X X Montant d argent 500 $ Pour Jasmin Desjardins Résultats obtenus : Roulettes A B C Résultats 3 6 2 Carte de jeu : Trèfles X Montant d argent 1 500 $ Pour Mme Violette Desmarais Résultats obtenus : Roulettes A B C Résultats 7 1 4 Carte de jeu : Trèfles Montant d argent 8 500 $ 12
ANNEXE 7e (suite) CORRIGÉ Le trèfle à quatre feuilles (suite) ~ QUESTIONS ~ 1. Faisant suite au premier tour du jeu des «Tableaux», est-ce que l un des participants a la possibilité de gagner le gros lot? S il y a lieu, nomme le participant. Justifie. Oui, M me Marguerite Deschamps, parce qu elle a la possibilité de piger un trèfle et qu elle a déjà 2 trèfles en main. 2. À la fin du jeu des «Tableaux», quel(s) participant(s) est (sont) certain(s) de partir avec un montant d argent d au moins 2 000 $? Nomme le ou les participant(s). Justifie. M me Violette Desmarais, car s il ne reste qu un tour, M me Marguerite Deschamps pourrait piger un trèfle et M. Jasmin Desjardins peut avoir un trèfle ou un montant supplémentaire d au moins 500 $. Donc, M me Marguerite Deschamps : 3 trèfles + 500 $ M. Jasmin Desjardins : il n est pas certain d avoir 2 000 $, mais c est possible M me Violette Desmarais : pas d influence, car dès le début du jeu elle a déjà 8 500 $ 3. Au terme du jeu des «Tableaux», un des participants peut-il affirmer qu il va repartir avec 15 000 $? Justifie. Non, le maximum possible pour ces 3 participants est de 12 500 $ au jeu des «Tableaux». Deuxième jeu Les organisateurs décident de faire participer deux autres donateurs. 4. M. Laurier Latulipe est l un des heureux chanceux. Pourrait-il avoir la possibilité de partir avec 15 000 $ au terme du jeu des «Tableaux»? Justifie. Oui, s il a 3 fois la case de 5 000 $ lors du jeu des «Roulettes». Autre cas possible : Jeu des «Roulettes» : 2 X 5 000 $ + Jeu des «Tableaux» (réponses variables) : 2 X 2 000 $ + 1 X 1 000 $ 5. Mme Rose Lafleur, la deuxième chanceuse, pourrait-elle avoir la possibilité de ne gagner aucun montant d argent et de quand même gagner le voyage en Irlande? Justifie. Oui, si elle a 3 trèfles au jeu des «Roulettes». 4 6. Les résultats qu obtiendra M. Narcisse Bordeleau sont-ils influencés par les résultats obtenus par M. Latulipe et Mme Lafleur? Non, les événements sont indépendants parce que chaque joueur a son propre jeu des «Roulettes» et son propre jeu des «Tableaux». 13