TP Échantillonnage Converion analogique numérique I. Intérêt de la converion analogique numérique II. Introduction à l échantillonnage II.1. Principe II.2. Filtre anti repliement II.3. Mouvement apparent d un egment tournant III. Expérience autour de l échantillonnage III.1. Préentation du montage III.2. Échantillonneur imple III.3. Échantillonneur bloqueur IV. Mie en évidence de l échantillonnage et de la quantiication de la plateorme Syam-SP5 IV.1. Échantillonnage IV.2. Codage de valeur quantiiée V. Annexe : quantiication d un ignal Pour introduire la numériation et l échantillonnage : http://www-igm.univmlv.r/~dr/xpose2005/javasound_arinie/general/echantillonage.html Animation imple pour comprendre l échantillonnage : http://www.otralo.net/3_animation/w/echantillonnage.w Principe de numériation d un ignal : http://cultureciencephyique.en-lyon.r/reource/principe-numeriation.xml I. Inte re t de la converion analogique nume rique Lorqu on cherche à meurer une grandeur phyique (onde de preion onore, onde électromagnétique, température, etc.) on utilie en général un capteur dont le rôle et de convertir le ignal phyique en un ignal électrique qui et donc une onction continue du temp (au en mathématique) image de variation temporelle de la grandeur phyique étudiée. Ce type de ignal et qualiié d'analogique par oppoition à un ignal numérique. 1
La numériation d un ignal préente énormément d avantage que nou ne détailleron pa ici (lecture impliiée, correction d erreur lor de la tranmiion, robutee du ignal vi-à-vi du bruit électronique, création de copie paraite, traitement acilité par un calculateur, miniaturiation etc.). L'opération de numériation correpond à la ucceion de 3 étape chématiée Figure 1 : l échantillonnage (ampling en anglai) qui permet de prélever un enemble de valeur (appelée échantillon) prie à de intant dicret ; la quantiication qui alloue à chacun de ce échantillon une valeur approchée (et qui correpond à une dicrétiation de valeur du ignal) ; le codage qui conite à coder en binaire ur un nombre ini de bit chaque niveau quantiié. t Codage 111 110 101 100 011 010 001 000 t 111 Quantiication 110 101 100 011 Échantillonnage 010 001 000 t 2
Codage 111 110 101 100 Signal numérié Figure 1 : Échantillonnage, quantiication et codage d un ignal Quantiication 011 Échantillonnage 010 001 000 t On a uppoé ici une quantiication par valeur inérieure. À noter que la quantiication du ignal ur la Figure 1 eectue ur 8 niveaux ce qui correpond à 3 bit. II. Introduction a l e chantillonnage II.1. Principe Échantillonner un ignal conite à prendre un certain nombre de point régulièrement epacé de ce ignal. Mathématiquement cette opération revient à multiplier le ignal analogique original ( ) par un ignal ( ) d'amplitude 1 à chaque intant pour lequel on prend un échantillon (opération répétée à la période ) et d'amplitude zéro inon. Cette onction et appelée peigne de Dirac. Signal analogique t x 1 T Peigne de Dirac t Signal échantillonné t La période d échantillonnage et l intervalle de temp entre deux valeur prélevée ur le ignal analogique. La réquence d échantillonnage correpond donc au nombre de valeur prélevée par econde. 3
Inluence de la réquence d échantillonnage http://www.otralo.net/3_animation/w/echantillonnage.w On comprend ur cette imulation que pour que la recontruction du ignal de ortie oit idèle au ignal d'entrée il aut une réquence d échantillonnage uiamment grande. En eet, i celle-ci et trop aible, le variation rapide du ignal ne pourront être retrancrite. À l invere, une trop grande valeur de donnera une quantité d inormation trè importante à tocker et à traiter. Le critère de Nyquit-Shannon introduit le concept d'une réquence d'échantillonnage uiante pour une recontruction (à peu prè!) idèle du ignal d entrée. La imulation ait apparaître que doit être upérieure à deux oi la réquence du ignal inuoïdal utilié. Une autre contrainte de l échantillonnage et de pouvoir ditinguer de ignaux diérent pour une réquence donnée. On a repréentée ci-deou deux inuoïde de réquence (donc de période 10 ) et échantillonnée à : Figure 2 On contate que le ignal échantillonné et identique pour le deux inuoïde. On parle de phénomène d aliaing en anglai (et de repliement de pectre en rançai). Par réérence au terme anglophone, on peut dire que et l alia de par échantillonnage. Sou-jacent on a ici le ait que Application n 1. Spectre d un ignal échantillonné L échantillonnage d un ignal analogique ( ) peut être modélié par la multiplication de ( ) par un ignal ( ) compoé d impulion de durée et d amplitude 1. x(t) τ t 0 T 2T Le ignal ( ) peut être décompoé en érie de Fourier ou la orme : ( ) ( ) avec que ( ) ( ). On e placera dan le ca imple où et uiamment petit pour. On a alor : 4
( ) ( ) 1. Soit ( ) ( ) le ignal analogique à échantillonner. Déterminer le pectre du ignal échantillonné et repréenter l allure de celui-ci pour. Par quel type de iltrage peut-on récupérer le ignal analogique de départ? Le ignal à échantillonner contient cette oi deux inuoïde de réquence et telle que : ( ) ( ) ( ) S S 0 Remarque On aurait pu aui écrire mai cette écriture ne met pa en évidence le caractère ymétrique de et par rapport à. 2. Repréenter dan ce ca l allure du pectre du ignal échantillonné en e retreignant aux harmonique et. Et-il poible de récupérer par iltrage le ignal analogique de départ? On conidère cette oi-ci un ignal comprie entre et : dont le réquence de harmonique utile ont 0 3. Déterminer le pectre du ignal échantillonné et repréenter l allure de celui-ci en ditinguant le ca et. Solution : Spectre d un ignal échantillonné 1. Le ignal échantillonné et donné par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) avec. On obtient alor le pectre : ( ) [ ( ( ) ) ( ( ) )] 5
a n 3 3 0 3 Il et poible de retrouver le ignal analogique par iltrage pae-ba de réquence de coupure comprie entre et. Cette étape de iltrage emble aire partie de la recontitution du ignal «à temp continu» qui conite à interpoler (linéairement mai aui par pline ou de courbe de Bézier?). L échantillonnage a pour eet de périodier et de dédoubler le moti réquentiel autour de multiple de la réquence d échantillonnage. 2. Le ignal échantillonné contient alor pour et le harmonique de réquence : et, et. Ce 6 harmonique e dipoent elon le diagramme ci-deou : a n On contate que deux paire d harmonique coïncident puique et. Aprè échantillonnage, il n et plu poible de éparer le ignaux de réquence et : par réérence au terme anglophone, on peut dire que et l alia de par échantillonnage. On parle d aliaing en anglai et de «repliement du pectre» en rançai. 3. Ca a n 0 3 3 0 3 6
Ca a n 3 3 0 3 Commentaire Dan le premier ca, on peut récupérer le ignal de départ par iltrage pae-ba. Dan le deuxième ca, le pectre périodié adjacent e uperpoent et on oberve un mélange de réquence : on parle de repliement en rançai et d aliaing en anglai. Il devient impoible d eectuer une éparation correcte de réquence. On en déduit le critère de Nyquit-Shannon : L échantillonnage d un ignal néceite une réquence d'échantillonnage upérieure au double de la réquence maximale préente dan ce ignal : Remarque Pour max e il n y a pa de chevauchement/recouvrement de réplique du pectre de (autrement dit pa non plu de repliement). En pratique, il convient d avoir. On remarque que le moti du pectre e répète avec une période (cela vient du ait l on a uppoé nul, en réalité la durée de impulion n et pa nulle et le amplitude de réplique de atténuent). On peut en déduire qu une tranlation de avec de la réquence du ignal d entrée ne modiie pa le échantillon. Pour on retrouve le ca. II.2. Filtre anti repliement Un ignal périodique réel comporte dan on pectre de harmonique dont le réquence tendent ver l inini (mai dont l amplitude tend ver 0). Pour éviter le phénomène de repliement du pectre ur un ignal réel (puiqu il et impoible de vériier le critère de Nyquit-Shannon pour de réquence ininie!), on utilie un iltre «anti repliement» qui a pour rôle d'éliminer le partie du ignal dont la réquence et upérieure à la réquence maximale qu'on enviage d échantillonner. Application n 2. Gabarit d un iltre anti repliement Pour le CD audio la réquence d'échantillonnage et de 44,1 khz. Le iltre antirepliement ne doit pa aecter le réquence inérieure à 20 khz. 1. Déterminer la réquence maximum que l on peut échantillonner avec une telle valeur de. 2. Déterminer la réquence de coupure d un iltre pae ba idéal qui permettrait d éviter le repliement du pectre tout en tranmettant le maximum de ignaux. 7
Solution : Gabarit d un iltre anti repliement 1.. 2. À partir de, on a : la diérence avec la réquence d'échantillonnage étant inérieure à 20 khz, le réquence ont repliée dan la zone audible. Le iltre anti repliement utilié pour échantillonner le ignaux analogique audio doivent atténuer au maximum le réquence upérieure à 24,1 khz. Le choix 44,1 (et non 44,0) vient a priori d un choix technologique datant de l époque du tockage de on ur la bande magnétique d un magnétocope II.3. Mouvement apparent d un egment tournant On préente un expérience permettant de viualier l inluence de l échantillonnage à l aide du mouvement apparent d un egment tournant trobocopé. On note : la réquence du ignal, ici la réquence de rotation de la roue ; la réquence d échantillonnage, c et-à-dire celle du trobocope. Il aut utilier le petit dique noir (marque MOTSO) et une alim AX322. On commence par une valeur de réquence du trobocope élevée et on diminue progreivement. On contate que : La première immobilité du egment e produit pour. En diminuant à nouveau la réquence d échantillonnage, on retrouve le immobilité uivante pour avec entier. Cela rejoint le ait que tou le ignaux de réquence ont de «alia» de. À l invere i on trobocope à telle que alor on oberve egment immobile. À teter : l identité de échantillonnage pour : c et et qu il aut aire varier! Autrement dit la vitee de rotation via la tenion d alimentation. On peut enin citer un eet connu de l échantillonnage en vidéo : lorqu on ilme par exemple à 25 image par econde une roue à rayon cela revient à «échantillonner» on mouvement à. La roue emblera immobile i celle-ci tourne à raion de 25 tour par econde ( ) ou moin En eet, pour une roue comportant 5 rayon, l immobilité doit oberver pour de vitee 5 oi plu aible oit pour ce qui correpond pour une roue de 60 cm de diamètre à une vitee du véhicule de l ordre de 3. Si on réduit légèrement la vitee du véhicule alor au lieu de aire un cinquième de tour entre chaque image, la roue en era légèrement moin et elle donnera l impreion de tourner en en invere. On parle d eet trobocopique en rançai et de «wagon-wheel eect» en anglai. On peut aui mentionner le danger de l eet trobocopique dan le ca de machine tournante qui peuvent apparaître immobile ou l éclairage produit par le lampe à gaz (alimentée en 50 Hz et donnant lieu à un éclairage trobocopique à 100 Hz). Réérence : http://en.wikipedia.org/wiki/wagon-wheel_eect Simulation ur cet eet trobocopique : 8
http://www.michaelbach.de/ot/mot-wagonwheel/index.html III. Expe rience autour de l e chantillonnage On cherche à mettre en œuvre un circuit illutrant le principe de l échantillonnage. III.1. Préentation du montage Pour prélever de échantillon d un ignal analogique on utilie un interrupteur commandé (circuit intégré 4066 ur le boitier) que l on commande par un ignal de la orme de la Figure 3. Aini lorque et dan l état haut, l interrupteur commandé et ermé et le ignal analogique et tranmi. u (t) Interrupteur u τ commandé R é 0 T 2T t Figure 3 : Signal de commande de l interrupteur Figure 4 : Échantillonneur imple On dipoe d un boitier pré-câblé contenant 2 circuit intégré : l interrupteur commandé 4066 et un ALI monté en uiveur qui era utilié par la uite. Photo 1 : Boitier pré-câblé On ditingue : Le borne d alimentation (rouge et bleue) et la mae (noire) de deux circuit intégré. 9
Une borne blanche C qui reçoit le ignal de commande de l interrupteur. Une borne jaune qui reçoit le ignal analogique à échantillonner. Deux borne jaune correpondant au ignal échantillonné é que l on viualie en dipoant une réitance entre la borne de gauche et la mae. L écartement entre S_interrupteur et la mae et prévu pour recevoir le réitance ou boîte tranparente du labo. Deux borne verte (entrée et ortie du uiveur) qui eront utiliée pour réalier par la uite un échantillonneur-bloqueur. C 4066 S R é Figure 5 III.2. Échantillonneur imple Avant toute utiliation, on doit alimenter ce boitier en. Régler le ignal de commande délivré par le GBF n 1 : ignal créneau de réquence avec de rapport cyclique 1%, d amplitude 5 V et de valeur minimale nulle. Dty Cyc, HiLevel 5 V, LoLevel 0 V. Réalier le montage de la Figure 5 avec à l aide du boitier pré-câblé. Régler le ignal analogique (généré par une econd GBF) en inuoïdal alternati d amplitude crête à crête 6 V. NE JAMAIS DÉPASSER 5 V EN AVALEUR ABSOLUE POUR LE SIGNAL ANALOGIQUE. Expérience 1 et 2 Oberver à l ocillocope l échantillonnage d un ignal inuoïdal de réquence. Faire varier le paramètre du ignal de commande (durée de impulion et réquence d échantillonnage) et oberver leur inluence. La ynchroniation et trè délicate. Pour améliorer celle-ci, il aut ynchronier ur, aire un averaging léger (1 balayage) et modiier la réquence de au hertz prè (merci le GBF numérique!). Dan toute ce expérience on uppoe que l on n et pa limité par l échantillonnage due à l ocillocope lui-même (qui échantillonne à qq dizaine de MHz). 10
Faire l acquiition du ignal échantillonné 1 é et de à l aide de la plate-orme Syam- SP5 (choiir 10 000 point ur une durée totale de 4 m). Faire calculer le pectre de ce ignaux. Q1. Vériier que le pectre correpondent bien aux réultat de l application n 1. Choiir et reaire une acquiition. Q2. Commenter le pectre obtenu. On doit vériier que le réquence ont. Au paage on peut remarquer la décroiance en inu cardinal de amplitude de harmonique du ignal de ortie. Expérience 3 et 4 Réalier l échantillonnage, l acquiition et l analye de Fourier pour un ignal carré de réquence 1 khz et pour. Ne erait-il pa plu judicieux d échantillonner à 9 khz pour avoir de dédoublement à de valeur paire de réquence? Q3. Sur le pectre de vériier la décroiance en et le réquence de harmonique (valeur multiple impaire de ). Q4. Sur le pectre de é vériier la concordance de valeur de réquence de harmonique avec le réultat de l application n 1. Y a-t-il repliement du pectre? Reprendre la même expérience avec. Q5. Sur le pectre de é vériier la concordance de valeur de réquence de harmonique avec le réultat de l application n 1. Y a-t-il repliement du pectre? III.3. Échantillonneur bloqueur Le ignal échantillonné précédemment doit être numérié. Cette opération n et en pratique réaliable que i le ignal et maintenu contant pendant la converion. La durée de palier doit donc être uiamment longue pour que le CAN puie le convertir en numérique. On utilie pour cela un «échantillonneur-bloqueur» = E/B (ou ample and hold = S/H en anglai) qui tranorme le ignal dicret iu de l échantillonneur imple en un ignal continu par morceaux. Le principe d un tel dipoiti peut être illutré par le montage uivant réalié à l aide du boitier pré-câblé. 1 Il peut être utile de débrancher l ocillocope qui perturbe la plate-orme Syam-SP5. 11
Interrupteur commandé u S v Suiveur S S v C é Figure 6 : Échantillonneur bloqueur Photo 2 Q6. Expliquer le rôle du condenateur et du uiveur. Réalier le montage de la Figure 6. Q7. Oberver l inluence de et de la nature du ignal d entrée ur le ignal échantillonné en réaliant le acquiition uivante numérotée de 1 à 5. On complétera le tableau uivant : Exp. n Signal d entrée Valeur de réquence de pic dan le pectre du ignal de ortie 1. Sinuoïdal 10 khz Oui Critère de Nyquit-Shannon repecté? 2. Triangulaire 10 khz ( 3 ) 3. Triangulaire 5 khz ( 3 ) Oui pour : harmonique 1, 3 et 5 (limite) Oui pour harmonique ondamental 4. Sinuoïdal 2 khz Limite 5. Sinuoïdal 1,5 khz Non 12
IV. Mie en e vidence de l e chantillonnage et de la quantiication de la plate-orme Syam-SP5 IV.1. Échantillonnage Le Agilent DSO-X-2002A ont une réquence d échantillonnage maxi de 2GSa/ (gigaample per econd) oit 2 GHz (?). Cette réquence et ajutée automatiquement en onction du ignal à aicher (et il emble que la réolution en bit varie dan le en invere de cette réquence). Le GBF Agilent 33220A délivrent juqu à 10 MHz en inuoïdal et en créneau mai eulement 100 khz pour du triangulaire La plateorme Syam-SP5 perturbe l aichage de l ocillocope. Cette perturbation (avec le Agilent DSO-X-2002A) dépend de l échelle verticale. Plu cette échelle et aible plu la ynchro et diicile. Cela dépend donc aui de l amplitude du ignal pour une échelle ixée. Faire remarquer la relation entre le nombre de point, la période et la durée totale d acquiition. Dan Lati-Pro, chercher la période d échantillonnage minimum. En déduire la réquence aociée aini que la réquence maximum repectant le critère de Shannon. e,min n oit e,max MHz. Oberver le ignal aiché par Lati-Pro pour un ignal inuoïdal de réquence pui pour (en inuoïdal et en créneau). Expliquer vo obervation. IV.2. Codage de valeur quantiiée Principe de l expérience On note et le valeur maximale et minimale autoriée pour un calibre ur une entrée donnée de la plate-orme Syam-SP5. Cette plate-orme réalie jutement une converion analogique numérique avec échantillonnage, quantiication et codage. Le valeur acquie ont codée avec une réolution de bit, prenant comme valeur 0 ou 1, on dipoe alor de valeur poible entre et. L'écart minimal entre deux valeur poible de la tenion et le pa en tenion de la carte d'acquiition donné par. La meure de permet donc de remonter à la valeur de avec. Expérience Générer une tenion continue de 0,8 V avec le GBF (bouton «Utility» pui réglage DC Oet). Faire l'acquiition de 1000 point de cette tenion (ur l entrée EA0 par exemple et ur une durée quelconque) en choiiant le calibre (clic droit ur le bouton EA0 pour changer de calibre). Le tracer de ce valeur en onction du temp donne en zoomant ortement le graphe cideou : 13
On peut contater viuellement qu il y a un pa minimum mai contant entre deux valeur diérente. La détermination de ce pa va permettre de remonter au nombre de bit ur lequel ont codée le valeur du ignal. Exporter la courbe au ormat.cv (cliquer ur Fichier Exportation pui choiir la courbe à exporter). Ouvrir le ichier dan le tableur de l ordinateur (OpenOice Calc) et claer le valeur de la tenion dan l ordre croiant. Inérer un graphique en nuage de point à partir de ce valeur : ur OpenOice Calc cliquer ur Inertion Diagramme pui choiir «XY (diperion)». On doit obtenir un graphe ayant l allure uivante : 0,82 0,81 0,8 0,79 0,78 0,77 0,76 0 200 400 600 800 1000 Q8. À l aide du tableau de valeur calculer et en déduire la valeur de. 14
V. Annexe : quantiication d un ignal Partie à mettre en orme Lor de la numériation, il aut également dicrétier le valeur de l amplitude du ignal et coder en binaire ce valeur. Le nombre de valeur dont on dipoe pour déinir l amplitude dépend du nombre de «bit» que l on utilie. Un «bit» (de l anglai binary digit) et un chire binaire (0 ou 1) Avec 2 bit, on peut écrire : 00, 01, 10 et 11 oit 4 valeur. (4 = 2 2 ) Avec 3 bit, on peut écrire : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 oit 8 valeur ( 8 = 2 3 ) Avec 4 bit, on peut écrire 2 4 = 16 valeur Avec n bit, on peut écrire 2 n valeur Que vaut l octet (enemble de 8 bit) 10110010 en décimal? 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 = 128 = 64 = 32 = 16 = 8 = 4 = 2 = 1 Octet = 1 0 1 1 0 0 1 0 omme de: 1 x 128 0 x 64 1 x 32 1 x 16 0 x 8 0 x 4 1 x2 0 x 1 Ici 10110010 = 1x128 + 0x64 + 1x32 + 1x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 178 Plu le nombre de bit et élevé, plu l amplitude du ignal numérique era proche de celle du ignal analogique. Ordre de grandeur : Type de upport de Quantiication choiie on CD audio 16 bit DVD 24 bit Téléphonie 8 bit Radio numérique 8 bit Si le nombre de bit de quantiication n et pa uiant, on obtient un «bruit de quantiication» qui déigne la diérence entre le ignal analogique et le ignal numérié. Le nombre de palier n et pa uiant pour ditinguer deux ignaux de niveaux proche. Dan l exemple ci-deou, exprimer l ordre de grandeur de l amplitude maximale du bruit et comparer à la valeur maximale du ignal analogique : le nombre de bit de quantiication choii et-il uiant? 15
Le bruit de quantiication atteint une amplitude maximale voiine de 0,5 V, oit environ le quart de la valeur maximale du ignal analogique : le nombre de bit de quantiication choii n et pa uiant. Choix de critère de numériation : En réumé, plu la réquence d échantillonnage et la quantiication ont grande, meilleure era la numériation. Alor pourquoi e retreindre au niveau de ce valeur? La limite vient du nombre d octet qui vont être néceaire pour numérier le ignal car ce nombre era écrit ur un upport de tockage (dique dur, clé USB, DVD ). La capacité de tockage de ce upport n et pa illimitée. De plu, il aut pener qu il aut du temp pour écrire toute ce donnée ur un upport (durée qui dépend de beaucoup de paramètre : type de upport, verion du port USB etc.) Le inormaticien parlent de «lux» ou «débit binaire» (en ko/ ou Mo/). Cette vitee d écriture ne peut pa être ininie! Pite de rélexion et inormation : Le nombre N d octet (enemble de 8 bit) néceaire pour «décrire» numériquement une minute de on et: N = F x (Q/8) x 60 x n avec F réquence échantillonnage en Hz Q : quantiication en bit n : nombre de voie (i le on et téréo, n= 2 ; en mono : n = 1) N exprime en octet Exemple : on d un CD audio (44,1 khz et 16 bit, téréo): N = 44 100 x (16/8)x 60 x 2 = 10 584 000 octet On divie par 1024 : N = 10 335 ko On divie par 1024 : N = 10,9 Mo on d un ilm ur DVD(48 khz et 24 bit, téréo): N = 48 000x (24/8)x 60 x 2 = 17 280 000 octet = 16,5 Mo Exercice bilan : Une peronne mal attentionnée télécharge ur un orum une chanon de 3 minute au ormat mp3. 16
La chanon a été numériée par un pirate à 16 khz et 8 bit mono. La peronne, voulant une qualité «DVD» pour la chanon, modiie le ichier et le tranorme en 48 khz et 24 bit téréo. 1. Calculer le poid en octet de la chanon avant tranormation. 2. Même quetion aprè tranormation. 3. Décrire la enation auditive que l on éprouve en écoutant le ichier téléchargé avant tranormation. 4. La qualité de la chanon a-t-elle été améliorée par la tranormation? 5. Comment la peronne peut-elle améliorer la qualité du ichier téléchargé? 1. N = 16 000 x (8/8) x 3x60 (3 minute) x 1 (mono) = 2,88.10 6 o = 2,8 Mo 2. N = 48 000 x (24/8) x 3x60 x 2 (téréo) = 51,8.10 6 o = 49,4 Mo 3. FE aible : de aigu emblent abent de la chanon Quantiication aible : on entend beaucoup de bruit et peu la ditinction on intene/peu intene. 4. NON, le réquence aigue abente ne peuvent pa être «inventée» et le bruit rete préent. Il et jute codé ur plu de bit. 5. Elle ne peut pa! 17