Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes
Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation de commutateurs aux antennes Max-RWA : Routage et affectation de longueur d onde dans le réseaux optiques Alignement multiple de séquences Quelques problèmes classiques Problème SAT (satisfiabilité booléenne) Problème du voyageur de commerce Problème du sac à dos, de recouvrement d ensembles, de bin-packing Problèmes de la théorie des graphes : problèmes de stable max et de clique maximum, problèmes de coloriage de graphe Liens entre problèmes réels et problèmes classiques INF6953 Exemples de problèmes
Quelques domaines d application pour les MH Design de réseaux de télécommunications Mise en oeuvre de réseaux de télécommunications - Affectation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles - Routage et affectation de longueurs d ondes (max-rwa) - Affectation de fréquences dans les réseaux hertziens (RLFAP, FAPP) Bio-informatique : alignement multiple, recherche de chaîne médiane, Construction d'emploi du temps Tournées de véhicules - Vehicle Routing Problem Ordonnancement - Job Shop Scheduling INF6953 Exemples de problèmes 3
Problème d allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Contexte - Dans les réseaux radio-mobiles, on doit affecter une fréquence à chacune des antennes (cellules). On donne - Un graphe G = (V, E) représentant le réseau, V =n - Une fonction D : {..n} x {..n} -> N - D(i, j) = distance imposée entre les fréquences des antennes i et j - Un entier L = nombre de longueurs d ondes disponibles INF6953 Exemples de problèmes
Problème d allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Un appelle plan d affectation de fréquences une application f : {..n} -> {..L} qui indique, pour toute antenne i=..n, la fréquence f(i) allouée à cette antenne. On demande un plan d affectation tel que - Pour toute paire i, j dans {..n}, on vérifie f(i) f(j) >= D(i, j) INF6953 Exemples de problèmes 5
Problème d affectation de commutateurs aux antennes Contexte - Dans les réseaux radio-mobiles, on doit affecter un commutateur à chacune des antennes (cellules). On donne - Un entier n = nombre d antennes - Un entier m = nombre de commutateurs - Une fonction c : {..n}x{..m} -> R+ - c(i, j) = coût pour affecter le commutateur j à l antenne i - Une fonction C : {..m} -> N - C(j) = capacité du commutateur j - Une fonction cr : {..n}x{..n} -> R+ - cr(i, i )=coût (de relève) si i et i sont reliés à des commutateurs différents INF6953 Exemples de problèmes 6
Problème d affectation de commutateurs aux antennes Un plan d affectation est une fonction h : {..n} -> {..m} - h(i) = commutateur affecté à l antenne i Contrainte - Respecter la capacité de chaque commutateur : pour tout commutateur j, affecte au plus C(j) commutateurs à j. Coût d un plan d affectation = coût des liens + coûts de relève On demande - Un plan d affectation qui respecte la contrainte et de coût minimum INF6953 Exemples de problèmes 7
Problème Max-RWA Contexte - Dans les réseaux optiques, on doit satisfaire un maximum de demande de connexion en affectant à chacune d entre elles un chemin et une longueur d onde. - On donne Un graphe G = (V, E) - V représente l ensemble des stations - E représente l ensemble des liens Un entier L = nombre de longueurs d ondes disponibles Un ensemble D de demandes : - Chaque demande i étant définie par - origine(i), destination(i) = l origine et la destination de la demande i - mult(i) = le nombre de routes entre origine(i) et destination(i) INF6953 Exemples de problèmes 8
Problème Max-RWA On appelle plan de routage : - tout ensemble S de couples chemin/longueur d onde tel que : - Le nombre de chemins joignant origine(i) à destination(i) est inférieur ou égal à mult(i). - Deux chemins quelconques qui partagent un arc (dans le même sens) n ont jamais la même longueur d ondes On demande - un plan de routage qui maximise le nombre de demandes satisfaites. INF6953 Exemples de problèmes 9
Max-RWA : un exemplaire du problème ) Réseau ) Demandes i orig(i) dest(i) mult(i) 3 3 3 3 3) L= (nombre de longueurs d ondes) INF6953 Exemples de problèmes 0
Max-RWA : une solution i orig(i) dest(i) mult(i) 3 3 3 3 S = {(--, ), (-3, ), (-, ), (-3-, ), (3-, ) } S = 5 (c.a.d. 5 demandes satisfaites sur 6) INF6953 Exemples de problèmes
Problème d alignement multiple de séquences Contexte - Domaine de la bioinformatique On donne - Un ensemble Σ = alphabet - n chaînes s,, sn sur Σ = séquences - Une fonction f : Σ x Σ -> N, où Σ = Σ union { - } - f définit le coût d insertion, de remplacement ou de suppression INF6953 Exemples de problèmes
Problème d alignement multiple de séquences Définitions - Un alignement pour s,, sn est obtenu en ajoutant dans chaque chaîne des caractères d insertion - à des positions quelconques de manière à ce que les chaînes obtenues s,, s n aient toutes la même longueur - Le coût d un alignement {s,, s n} est défini par Σ<=p<q<=n Σi=..l f(s p[i], s q[i]) On demande un alignement de coût minimum INF6953 Exemples de problèmes 3
Problème d alignement multiple de séquences : un exemplaire du problème Σ ={A, C, T, G} 3 chaînes s=agccagtg, s=gccgtgg, s3=agagagg f (a, b)= pour a et b quelconque appartenant à Σ Voici 3 exemples d alignements M, M et M3 M M M3 AGCCAGTG- AGCCAGT-G AGCCAGT-G- -GCC-GTGG -GCC-GTGG -GCC-GT-GG AG--AGAGG AG--AGAGG -AGA-G-AGG INF6953 Exemples de problèmes
Problème d alignement multiple de séquences : une solution On suppose un coût d insertion égal à pour une insertion, une suppression ou un remplacement quelconque Alignement M A G C C A G T G - - G C C - G T G G A G - - A G A G G 0 0 0 -> coût total égal à INF6953 Exemples de problèmes 5
Quelques problèmes classiques Satisfiabilité booléenne (SAT) : problème du calcul des propositions. Satisfiabilité booléenne maximale (max-sat) Voyageur de commerce (TSP, Traveling Salesman Problem ) Coloriage de graphe, k-coloriage de graphe Stable maximal, clique maximale Sac-à-dos (knapsack), sac-à-dos multidimensionnel Placement (bin-packing) Recouvrement d ensembles Affectation quadrique INF6953 Exemples de problèmes 6
Problème de satisfiabilité booléenne (SAT) Définition préliminaires - Soit un ensemble de variables booléennes x,, xn. Un littéral est soit une variable, soit la négation d une variable. Une clause et une disjonction de littéraux (littéraux reliés par le connecteur OU). - La longueur d une clause correspond au nombre de ses littéraux. Exemple - x7, NOT x sont des littéraux - Exemple : x7 OR (NOT x) OR x est une clause de longueur 3 INF6953 Exemples de problèmes 7
Problème SAT On donne - n variables booléennes x,, xn - m clauses définies sur x,, xn On demande - une fonction {x,, xn } -> {V, F } qui satisfait toutes les clauses INF6953 Exemples de problèmes 8
Problèmes SAT et k-sat Le problème k-sat correspond au cas particulier du problème SAT dans le cas où les clauses ont toutes une même longueur fixée égale à k. - Par exemple, 3-SAT est le problème SAT avec des clauses toutes de longueur 3. Complexité - Le problème SAT est NP-complet. - k-sat est NP-complet pour k >= 3. - Les problèmes -SAT, Horn-SAT sont polynomiaux. INF6953 Exemples de problèmes 9
Problème de satisfiabilité booléenne maximale (max-sat) Le problème max-sat (problème d optimisation) - On donne : n variables booléennes x,, xn m clauses définies sur x,, xn - On demande de trouver une affectation des variables x,, xn qui satisfait un nombre maximum de clauses. Variante : Dans max-sat pondéré, on donne des pondérations réelles sur les clauses w,, wn et on doit trouver une solution qui maximise le poids total des clauses satisfaites. Les problèmes max-sat et max-sat pondéré sont NP-difficiles. INF6953 Exemples de problèmes 0
Problème du voyageur de commerce (TSP) Le voyageur de commerce (TSP = Traveling Salesman Problem) est l un des problèmes combinatoires les plus étudiés en RO et théorie des graphes et en optimisation combinatoire Définition Dans un graphe, un cycle hamiltonien est un cycle qui passe par chaque sommet une fois et une seule On donne - un graphe G=(V, E) - une fonction w : V x V -> R+ - d(x, y) indique la distance entre les sommets x et y On demande de trouver un cycle hamiltonien* de longueur minimale (*i.e., une tournée qui visite chaque ville une fois et une seul). INF6953 Exemples de problèmes
Problème du voyageur de commerce (TSP) Complexité - TSP est NP-difficile - Pas approximable dans le cas général - TSP avec inégalité triangulaire approximable en.5 x longueur optimale INF6953 Exemples de problèmes
Problème du sac à dos Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids et l utilité, choisir un sous-ensemble de ces objets dont le poids total ne dépasse pas le poids maximum et dont l utilité totale est maximale. INF6953 Exemples de problèmes 3
Problème du sac à dos Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids et l utilité, choisir un sous-ensemble de ces objets dont le poids total ne dépasse pas le poids maximum et dont l utilité totale est maximale. On donne - Un entier n = nombre d objets - Une fonction u : {..n} -> R+, u(i) représente l utilité de l objet i - Une fonction w : {..n} -> R+, w(i) représente le poids de l objet i - Un réel W = poids total maximum autorisé On demande un ensemble S inclus dans {..n} - tel que Σ e dans S p(e) <= W - qui maximise Σ e dans S w(e) INF6953 Exemples de problèmes
Problème de recouvrement d ensemble Étant donné un ensemble E et un ensemble F de parties de E qui recouvre E (dont la réunion est E) et connaissant le coût de chaque partie, choisir un sousensemble de F dont la réunion recouvre E et dont le coût total est minimum. INF6953 Exemples de problèmes 5
Problème de recouvrement d ensemble Étant donné un ensemble E et un ensemble F de parties de E qui recouvre E (dont la réunion est E) et connaissant le coût de chaque partie, choisir un sousensemble de F dont la réunion recouvre E et dont le coût total est minimum. On donne - un ensemble E, des ensembles E En dont la réunion égale E - une fonction c : {..n} -> R+ On demande un sous-ensemble S de {..n} - tel que U i dans S Ei = E - et qui minimise Σ i dans S c(i) INF6953 Exemples de problèmes 6
Problème de placement (bin-packing) Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids, connaissant également que la capacité d une boîte, répartir les objets dans des boîtes tout en minimisant le nombre total de boîtes. INF6953 Exemples de problèmes 7
Problème de placement (bin-packing) Étant donné un ensemble d objets dont on connaît le poids, connaissant également que la capacité d une boîte, répartir les objets dans des boîtes tout en minimisant le nombre total de boîtes. On donne - un entier n = nombre d objets - une fonction w : {..n} -> R+ - w(i) = poids de l objet i - un entier C = capacité d une boîte On demande une partition {P,..,Pk} de {..n} - telle que Σ i dans Pi w(i) <= C, pour tout i =..k - et qui minimise k INF6953 Exemples de problèmes 8
Graphes : quelques définitions Étant donné un graphe G=(V, E) : - On appelle ensemble stable tout sous-ensemble de V qui ne contient aucune paire de sommets reliés entre eux. - On appelle k-coloriage (total légal) toute fonction (totale) c : V -> {,..,k} telle que - pour toute arête xy, c[x]<>c[y]. - INF6953 Exemples de problèmes 9
Graphe (non orienté) 7 6 3 8 5 INF6953 Exemples de problèmes 30
Ensemble stable 7 6 3 8 5 V = {, 7, 8} constitue un ensemble stable INF6953 Exemples de problèmes 3
Clique 7 6 3 8 5 V = {,, 5} constitue une clique INF6953 Exemples de problèmes 3
k-coloriage (légal) 7 6 3 8 5 La figure représente un 3-coloriage complet légal de G. INF6953 Exemples de problèmes 33
Problèmes de stable maximum et de clique maximum Problème de stable maximum - Étant donné un graphe G=(V, E), - Trouver un stable maximum de G (de cardinal aussi grand que possible). Problème de clique maximum - Étant donné un graphe G=(V, E), - Trouver une clique maximum de G (de cardinal aussi grand que possible). INF6953 Exemples de problèmes 3
Problèmes de stable maximum et de clique maximum Remarques - Un ensemble V de sommets est une clique ssi c est un ensemble stable dans le graphe complémentaire, et inversement. - Trouver une clique maximum revient à trouver un stable maximum dans le graphe complémentaire, et inversement. Les deux problèmes sont donc «équivalents». - Les deux problèmes sont NP-difficiles. INF6953 Exemples de problèmes 35
Problèmes de k-coloriage et de coloriage Problème de k-coloriage de graphe - Étant donné un graphe G et un entier k, - Trouver un k-coloriage de G. Problème de coloriage de graphe - Étant donné un graphe G, - Trouver un k-coloriage de G avec un nombre minimum k de couleurs. Remarques : - Le problème de -coloriage est polynomial. - Les problèmes de coloriage et de k-coloriage (k >= 3) est NP-difficile dans le cas général. INF6953 Exemples de problèmes 36
Applications réelles et problèmes académiques Les problèmes «académiques» (voyageur de commerce, coloriage, sac à dos, stable max, etc.) : - Ils possèdent une définition très simple. - Ils peuvent être vus comme des versions simplifiées ou «épurées» de problèmes réels. De nombreux problèmes réels ressemblent à un problème académique : - Le FAP (affectation de fréquence) est une extension du coloriage - Le VRP (problème de tournées de véhicule) est analogue au voyageur de commerce, avec des contraintes supplémentaires (plusieurs véhicules, capacité maximales à respecter, etc.). Les problèmes classiques ont été très étudiés. - Il est utile de les connaître et de connaître les algorithmes proposés pour les résoudre. INF6953 Exemples de problèmes 37
Exemples d applications liées au coloriage de graphe Emploi du temps Allocation de registres : voir la thèse de doctorat (Kri 0) Max-RWA : Routage et affectation de longueur d onde dans le réseaux optiques Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles : FAP Affectation de fréquences dans les réseaux par voie hertzienne : - RLFAP - Affectation de fréquences avec polarisation (FAPP) INF6953 Exemples de problèmes 38
Max-RWA : Définition Étant donné. Un réseau représenté par un graphe G = (V, E) : - V représente l ensemble des stations - E représente l ensemble des liens. Le nombre L de longueurs d ondes disponibles 3. Un ensemble D de demandes : Chaque demande i étant définie par origine(i), destination(i) et mult(i). On appelle plan de routage : - tout ensemble S de couples chemin/longueur d onde tel que :. Le nombre de chemins joignant origine(i) à destination(i) est inférieur ou égal à mult(i).. Deux chemins qui partagent un arc (dans le même sens) n ont jamais la même longueur d ondes. On cherche : - un plan de routage qui maximise le nombre de demandes satisfaites. INF6953 Exemples de problèmes 39
Max-RWA : un exemplaire du problème ) Réseau ) Demandes i orig(i) dest(i) mult(i) 3 3 3 3 3) L= (nombre de longueurs d ondes) INF6953 Exemples de problèmes 0
Max-RWA : graphe auxiliaire de à : demandes -3- --3 de à 3 : demande -- --3-3 - 3-- 3- de à : demandes -3- de 3 à : demande INF6953 Exemples de problèmes
Max-RWA et coloriage de graphe Il y a un lien étroit entre max-rwa et le coloriage de graphe : résoudre le max-rwa revient à résoudre un problème de coloriage de graphe «non standard» pour un certain graphe (le graphe auxiliaire). Problème max-rwa Graphe auxiliaire - Demande i - groupe de sommets - Un chemin de o(i) à d(i) - un sommet du groupe - Paire de chemins adjacents - arcs entre les deux sommets Une configuration est représentée par : - un multi-coloriage partiel S (un ensemble de couples sommet/couleur, i.e. un sommet peut être colorié avec 0,, ou plusieurs couleurs) tel que - Dans un groupe, le nombre de couples est inférieur ou égal à mult(i) - Deux sommets adjacents n ont pas la même couleur - La qualité d une solution est le nombre de couples ( S ). INF6953 Exemples de problèmes
Max-RWA : coloriage du graphe auxiliaire de à : demandes -3- --3 de à 3 : demande -- --3-3 - 3-- 3- de à : demandes -3- de 3 à : demande INF6953 Exemples de problèmes 3
Max-RWA : solution i orig(i) dest(i) mult(i) 3 3 3 3 S = {(--, ), (-3, ), (-, ), (-3-, ), (3-, ) } S = 5 (c.a.d. 5 demandes satisfaites sur 6) INF6953 Exemples de problèmes