Mercredi 2 décembre 2009 1
Présentation de la forme du module La mise en place du nombre comment? Chercher pour apprendre Approche du calcul de la GS au CP Le contrat du module 2
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Quelle signification du mot-nombre «3» pour un petit? Compter c est souvent faire : 1 2 3 4 sans notion de quantité 4
Quels problèmes? Pour quoi faire? Quels résultats, quelles procédures? à mémoriser à savoir élaborer Comment? Quel langage? verbal symbolique Comment dire? Quelles explications? Quelles significations? Pourquoi? 5
Faire comprendre que les nombres sont «liés les uns aux autres» Exemples en PS : Idées et illustration extraites de l ouvrage de Rémi Brissiaud «Premiers pas vers les maths Les chemins de la réussite à l école maternelle» «un» ««et quatre un»«et» un» «et un» En utilisant les doigts, on peut aussi montrer que : «et deux ça encore fait» trois un» 6
Dénombrement Comptage en associant la comptine à la quantité Décomposition Ex : 4 c est 3 et encore 1 Décomptage Comptage en arrière Le surcomptage Partir d une quantité et continuer le comptage Le subitizing 7
2 problèmes se posent en français (et non en anglais) : La polysémie du mot UN qui est article et nombre L absence de marque du pluriel aux noms 8
Qu est-ce qu un nombre entier? Le concept de base est le concept de nombre entier. Ce concept a été introduit comme outil pour résoudre des problèmes («Tous les animaux du troupeau sont-ils toujours là?», par exemple) A l école, on étudie d abord les entiers naturels (entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, ) La notion de nombre entier n est pas facile à définir : On peut établir une On peut établir une correspondance terme à correspondance terme à terme entre les éléments terme entre les éléments Ces ensembles de ces deux qu on ensembles peut mettre de en ces correspondance deux ensemblesterme à terme ont quelque chose d abstrait en commun : il ont le même nombre d objets. Le nombre entier permet d indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre) On ne peut pas établir une correspondance terme à terme avec un des ensembles précédents. 9
De façon générale qu est-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre? a) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l élève ) Exemples (GS) Premier exemple (inspiré d une proposition de Dominique Valentin) Dortoir Salle de jeu Combien de bébés font fini encore leur la sieste dans et sont le dortoir dans la? salle de jeux? 10
Roland Charnay dit que les objectifs suivants sont importants pour la maternelle dans le domaine de la construction du nombre : - la stabilisation de la connaissance de la suite orale - l apprentissage de différentes méthodes pour dénombrer - la connaissance de la correspondance suite orale-suite écrite par le biais de la bande numérique (trouver l écriture chiffrée associée à un mot-nombre et trouver le motnombre associé à une écriture chiffrée) - la compréhension du fait que les nombres sont des outils pour mémoriser des quantités (aspect cardinal du nombre) 11
-Activités citées par R. Charnay : - Réaliser une collection ayant le même nombre d éléments qu une collection donnée - Compléter une collection pour qu elle ait le même nombre d éléments qu une collection donnée - Comparer des collections La compréhension du fait que les nombres sont des outils pour mémoriser des positions dans une liste rangée (aspect ordinal du nombre) - Indiquer une position - Replacer un objet à sa position - Comparer des positions Remarque : La manipulation est, bien évidemment intéressante pour s approprier les situations et les problèmes posés mais Roland Charnay insiste aussi sur la fait qu il est souhaitable d amener les élèves à anticiper sur le résultat d une manipulation car c est ainsi qu on peut amener l élève à élaborer des procédures. 12
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Quelques précisions concernant la construction du concept de nombre en maternelle a) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) b) Il est souhaitable de varier les manières de répondre à la question «Combien y a-t-il de?» reconnaissance immédiate des petites quantités comptage un par un : on utilise la comptine numérique utilisant de "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) qui servent de repères Remarque concernant le dénombrement par comptage un par un : Ce qui est difficile c est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Pour cela, on peut travailler les décompositions: «Un, et un, et un et encore un ça fait quatre» «Trois et un ça fait quatre» On peut aussi procéder ainsi : 14
Si les objets sont déplaçables : ««deux trois» «un quatre» Si les objets ne sont pas déplaçables : «un» «trois «quatre»» «deux» Remarque : pour réussir à dénombrer les éléments d une collection par comptage l enfant doit - connaître la comptine numérique - savoir associer à chaque élément de l ensemble un mot-nombre et un seul de la comptine récitée dans l ordre - comprendre, comme on vient de le dire, que le dernier mot-nombre prononcé représente à lui seul la quantité de tous les objets - comprendre que la nature des objets à compter n a pas d importance - comprendre qu on peut compter les objets dans n importe quel ordre. 15
Exemple : On ajoute trois jetons. On ajoute quatre jetons. Combien y a-t-il de jetons dans la boîte? On peut ensuite vérifier en vidant la boîte. Boîte opaque (la réflexion précède ici la manipulation qui sert à vérifier si le résultat qu on a trouvé est exact) 16
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Une situation "de référence Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. 18
Collections assez nombreuses et proches PS Placer les bouchons : respect de la contrainte Jusqu'à 5 ou 6 bouteilles, bouchons proches PS Préparer sur un plateau avant de placer Jusqu'à 4 bouteilles, bouchons éloignés fin PS, MS Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une seule fois) Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés fin MS, GS Aller chercher en plusieurs fois Aller chercher avec un plateau en une seule fois 19
Aller chercher juste ce qu il faut de jetons pour 20
Les boîtes d œufs Il faut aller chercher dans son plateau des châtaignes pour remplir la boîte d œufs sans en prendre trop. Le nombre de voyages n est pas limité 21
- Des boîtes pour figurer des voitures, avec un quai - Des places dessinées - Des bouchons Il faut aller chercher en un seul voyage juste assez de voyageurs (les bouchons) pour remplir toutes les places de la voiture Film «Les WAGONS» Dominique Valentin : «Découvrir le monde avec les mathématiques» chez HATIER 22
Sur les quantités (à partir de la PS) Comparaison non numérique Appariement Sur les nombres Aspect cardinal (dès la MS) Comparaison Partage Aspect ordinal (dès la GS) 23
Suite orale non stable, non conventionnelle Importance de l ordre, de la disposition spatiale, de la nature des objets Non coordination de la correspondance un à un Non cardinalisation 24
Trouver l écriture chiffrée associée à un mot-nombre 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq 25
Le nombre mémoire de la quantité une activité à l'articulation Maternelle-CP D'après Cap maths CP 1. Aller chercher, en une seule fois, juste assez de gomettes pour réparer le ziglotron (MS, GS, CP) 2. Les commander oralement (GS, CP) 3. Les commander par écrit (GS, CP) 26
Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience mais peut la prolonger. 27
(GS, adaptable en MS et au CP) Des boîtes ou assiettes empilées avec 3 ou 4 ou 5 objets par boîte Un dé On jette le dé ; on gagne le contenu de la boîte du dessus si le nombre d objets est inférieur au nombre de points marqués par le dé Le même jeu peut avoir lieu avec les boîtes alignées On peut alors choisir la boîte gagnée 28
(GS, adaptable en MS et au CP) 25 objets, 6 pochettes mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette Puis, contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes Résolution à l'aide du matériel en maternelle Résolution sans matériel en fin de CP 29
(GS et CP) Respecter le rang CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle 30
Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS Les problèmes d'abord Priorité au calcul mental 31
Quels problèmes? Quels résultats, quelles procédures? à mémoriser à savoir élaborer Comment? Pour quoi faire? Quelles explications? Quel langage? Pourquoi? verbal Symbolique Comment dire? 32
Sur les quantités Résultat d une augmentation ou d une diminution Valeur de la transformation Etat avant transformation Résultat d une réunion Complément Positions sur une piste Position après un déplacement (en avant ou en arrière) Valeur du déplacement Position avant déplacement Résultat d un partage 33
Dessin et dénombrement Recomptage sur les objets Recomptage mental ou aidé (doigts ) Surcomptage mental ou aidé (doigts doigts ) Décomptage mental ou aidé (doigts ) Double comptage de à mental ou aidé (doigts ) Utilisation de résultats déjà connus 34
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 35
GS/CP cartes portant des points dessinés de 1 à 5 on montre une carte, on dit le nombre de points, on la retourne on recommence avec l'autre carte, en la plaçant tout à côté de la première quel est le nombre de points cachés? Validation en retournant les cartes Dossier sur les cartes à points 36
a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat. A la fin de l école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l univers du calcul, mais c est le CP qui installera le symbolisme et les techniques (programmes 2008) 37
Manipuler Favorise l appropriation de la situation et du problème Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Anticiper Incite à l'expérience mentale Oblige à élaborer des procédures 38
Les interactions entre élèves : imitation, aide, confrontation, observation Les interactions avec l enseignant : verbalisation, sollicitation 39
Nécessité d évaluer les connaissances de chaque élève : La comptine numérique Le dénombrement La constitution d une collection de cardinal donné Le successeur d une nombre La lecture des nombres 40
Acquérir des outils, des connaissances Etre capable de les utiliser, en autonomie Etre capable d'initiative pour aborder une question nouvelle, seul ou avec d'autres Etre Rôle central de la résolution de problèmes 41
Découvrir le monde avec les mathématiques, Dominique Valentin, Hatier, 2004 (deux tomes) Découvrir le monde avec les mathématiques, Francette Martin SCEREN Des situations pour apprendre les nombres Cycle 1 et GS, L Ney-C Rajain-E Vaslot SCEREN Apprentissages numériques GS, ERMEL, Hatier, 1990 42
Grand N Spécial maternelle, tome 1 et 2, IREM de Grenoble Premier pas vers les maths, Remi Brissiaud RETZ Faire des mathématiques à l école maternelle, Alain Pierrard SCEREN 43
Mettre en place des situations problèmes qui font travailler la notion de nombre en maternelle Mettre en place du matériel en relation avec ces situations problème 44