Résistance des matériaux 1. Notion de poutre Une poutre est en règle générale un profilé dont la section droite est de faible dimension par rapport à la longueur. Exemples : 2. Hypothèses fondamentales Les matériaux sont supposés homogènes et isotropes les déformations seront très petites par rapport aux dimensions 3. Objectifs Dans cette leçon, on se limitera à 3 objectifs : Choix du matériau et connaissance de ses caractéristiques mécanique Étude de la résistance et dimensionnement Étude de la déformation
4. Sollicitations 5. Unités utilisées Force : Newtons Section : mm² Contraintes : Mpa (N/mm²)
6. raction simple 6.1Contrainte normale N Effort normal (perpendiculaire à la section) en Newtons SIGMA : δ = N/S Section S (mm²) 6.2 Condition de résistance Données du matériau : Résistance élastique (Re) en Mpa : c'est la limite avant laquelle la pièce peut retrouver sa forme d'origine. Module d'élasticité longitudinal (E) en Mpa Donnée liée à la sécurité : Coefficient de sécurité : s Donnée pratique pour la condition de résistance : Rpe = Re/s Rpe : résistance pratique élastique (Mpa) Condition de résistance : δ Rpe Exercice : Un tirant de longueur 3,2 m et de diamètre 30 mm doit supporter un effort axial N = 65000 N L'acier a une limite élastique Re = 450 MPa On utilisera un coefficient de sécurité s=5. Vérifier si le tirant est bien dimensionné Aide : Dans un premier temps, calculer Rpe. Ensuite calculer la section puis sigma. Enfin, écrire la condition de résistance et remplacer les valeurs trouvées.
Rpe = Re / s = 450 / 5 = 90 Mpa Section S = π R² = π 15² = 706,86 mm² δ = N/S = 65000 / 706,86 = 91,95 MPa Condition de résistance : δ Rpe or δ = 91,95 MPa : plus grand que Rpe (90 MPa) : Le tirant n'est pas bien dimensionné. Calcul du diamètre mini : section : S = π R² contrainte : δ = N/S = 65000 / (π R²) = 20690 / ( R²) Condition de résistance : δ Rpe donc 20690 / ( R²) 90 20690 90 R² 20690 / 90 R² 230 R² 15,16 R d 30,33 mm On choisira un tirant de diamètre 31 ou 32 mm suivant le fournisseur. 6.3 Allongement ΔL : Allongement (Delta L) en mm N : effort normal en Newtons S : section en mm² L0 : longueur initiale en mm E : module d'élasticité longitudinal en MPa Exercice : ΔL = N L0 S E Calculer l'allongement du tirant de l'exercice précédent (longueur 3,2 m ; diamètre 32 mm ; N = 65000 N ; E = 200 000 MPa)
ΔL = N L0 S E ΔL 65000 3200 = (π 16²) 200 000 ΔL = 1,293 mm Exercice : Une barre métallique pleine (de section cylindrique) de longueur 3,75 m est soumise à un effort de traction de 18 kn La barre est en acier dont la résistance élastique Re = 300 MPa le coefficient de sécurité s = 5 E = 200 000 MPa a) calculer la résistance pratique (Rpe) b) Écrire la formule permettant de calculer la contrainte normale et remplacer les valeurs connues. c) Écrire la condition de résistance et calculer le diamètre mini de la barre. d) calculer l'allongement de cette barre Réponses : a) Rpe = Re/s = 300 / 5 = 60 Mpa b) δ = N/S δ = 18 000/( π R²) = 5729 / R² c) δ Rpe donc δ 60 avec δ = 5729 / R² que l'on remplace 5729 / R² 60 5729 / 60 R² 9,77 mm R on prendra d = 20 mm d) ΔL = N L0 S E 18000 3750 ΔL = (π 10²) 200 000 ΔL = 1,074 mm
7. Cisaillement Section S (mm²) Effort tangentiel en Newtons appelé aussi effort tranchant contrainte : AU : τ = en MPa n S S : section n : nombre de sections cisaillées 8. Sections cisaillées 2 sections cisaillées (n= 2) 1 section cisaillée (n= 1) 2 sections cisaillées (n= 2) 9. Condition de résistance du matériau Rpg : résistance pratique au glissement Rpg = Reg /s Reg : résistance élastique au glissement s : coefficient de sécurité τ Rpg 10.Relations entre Re et Reg Matériau Aciers doux, alliages d'alu (Re 270 MPa) Aciers mi-durs (320 Re 520 MPa) Aciers durs, fontes (Re 600 MPa) Relation entre Re et Reg Reg = 0,5 Re Reg = 0,7 Re Reg = 0,8 Re
11.Exercice 1 : Les pièces 1 (rouge) et 2 (verte) sont assemblées par 2 rivets 3 (en bleu). La résistance élastique du matériau Re = 90 Mpa (Alliage d'aluminium). Le coefficient de sécurité s = 3. Diamètre des rivets : 8mm Calculer l'effort tranchant maximum admissible pour le cisaillement des rivets. Réponse : Reg = 0,5 Re = 0,5 90 = 45 MPa Rpg = Reg / s = 45 / 3 = 15 MPa Calcul de AU : τ = n S τ = / (2 π 4² ) τ = / 100,5 Condition de résistance : τ Rpg / 100,5 15 15 100,5 1507,9 N 12.Exercice 2 : Clavetage 3 F2/3 16 8 Une poulie (1) transmet à un arbre (2) une puissance P = 11 kw à une fréquence de rotation N = 300 tr/min Déterminer : La longueur de la clavette (3) Sachant que la clavette est en C38 Re = 375 Mpa Coefficient de sécurité s = 5
Calcul de F2/3 : P = C ω C = P / ω ω = (2 3, 14 300) / 60 = 31,41 rad/s C = P / ω = 11 000 / 31,41 = 350 Nm C = F2/3 d donc F2/3 = C/d = 350 / 0,016 = 21 875 N Calcul de Rpg : Reg = 0,7 Re = 0,7 375 = 262,5 MPa Rpg = Reg / s = 262,5 / 5 = 52,5 Mpa Calcul de AU : τ = n S τ = 21875 / ( 8 L) Condition de résistance : τ Rpg 21875 / ( 8 L) 52,5 L doit être au moins de 53 mm de long