Calculs simplifiés e sections rectangulaires ou en T en béton armé en fleion simple NOTE TECHNIQUE Sommaire 1 Objet 2 2 Références 3 3 Notations 4 4 Formulations 5 4.1 Section rectangulaire.................................. 7 4.2 Section en T....................................... 8 4.2.1 Section en T avec moment négatif....................... 8 4.2.2 Section en T avec moment positif....................... 8 4.3 Sections minimale et maimale aciers........................ 11 5 Calculs numériques 12 5.1 Section rectangulaire sans acier comprimé....................... 12 5.2 Section en T sans acier comprimé, ae neutre en ehors e la table.......... 13 6 Conclusions 14 Liste es figures 1 section rectangulaire.................................. 5 2 section en T....................................... 8 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 1
1 Objet On présente ans cette note : Les formules théoriques utilisées pour le calcul es quantités aciers ans une section rectangulaire ou en T en béton armé soumise à e la fleion simple. Le étail es calculs pour une section onnée. Pour simplifier, on ne consière ans la suite que les aciers à palier horizontal (cas le plus fréquent). La théorie associée peut être retrouvée ans e nombreu articles e la littérature. Page : 2 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
2 Références [1] Jean Rou, Pratique e l Eurocoe 2 AFNOR éitions, Eyrolles 2009. [2] Roman Nicot, Béton Armé Application e l eurocoe 2 Ellipses, Technosup, 2001. [3] Eurocoe 2, Calcul es structures en béton et ocument application nationale NF-EN-1992-1-1, 2004. [4] SAFE, Reinforce concrete esign manual Computers an Structures Inc., 2008. c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 3
3 Notations A s section aciers tenus mm 2 A s section aciers comprimés mm 2 a hauteur e la zone comprimée mm b largeur e la zone comprimée mm b f largeur e la table e compression mm b w largeur e l âme pour une section en T mm position effective pour les aciers e traction (hauteur totale-enrobage) mm hauteur effective es aciers e compression (enrobage supérieur) mm Ec moule e compression u béton MP a Es moule e l acier MP a f f c contrainte e calcul u béton, α ck cc γ c MP a f ck contrainte caractéristique e compression u béton sur cylinre à 28 jours MP a f ctm contrainte moyenne e résistance en traction u béton MP a f s contrainte calculée ans les aciers e compression MP a f y contrainte e calcul e l acier = f yk γ s MP a f yk contrainte caractéristique e résistance en traction e l acier MP a h hauteur totale e la section mm h f hauteur e la table pour une section en T mm M E moment e calcul au centre e gravité e la section N.mm m M moment e calcul normalisé, E b 2 ηf c m moment ite normalisé position e l ae neutre mm position ite e l ae neutre mm z bras e levier mm α cc coefficient pour les contraintes à long terme u béton δ facteur e reistribution ɛ c éformation u béton ɛ s éformation es aciers tenus ɛ s éformation es aciers comprimés γ c coefficient e sécurité u béton γ s coefficient e sécurité e l acier λ facteur éfinissant la hauteur effective e la zone e compression η facteur e réuction pour chargement soutenu ω tau e renforcement normalisé en traction ω tau e renforcement normalisé en compression tau e renforcement normalisé ite en traction ω Page : 4 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
4 Formulations La procéure e calcul est basée sur l équilibre e la section, avec un iagramme rectangulaire pour le béton, comme iniqué sur la figure suivante : b e cu hfc A's ' Cs a h As e s Ts Tcs SECTION DEF. CONT. FIGURE 1 section rectangulaire L effort sur la zone comprimée u béton est éterminé par : avec : F c = ηf c ab a = λ η = 1.0 pour f ck 50MP a et η = 1.0 ( f ck 50 200 ) pour 50 < f ck 90MP a λ = 0.8 pour f ck 50MP a λ = 0.8( f ck 50 400 ) pour 50 < f ck 90MP a c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 5
La valeur ite u ratio e la position e l ae neutre par rapport à la hauteur effective est éfini par l une es epressions suivantes : ( ) = δ k 1 k 2 pour f ck 50MP a ( ) = δ k 3 k 4 pour f ck > 50MP a Pour es aciers tels que f yk 500MP a les valeurs suivantes sont utilisées : k 1 = 0.44 k2 = k4 = 1.25(0.6 + 0.0014 ɛ cu2 ) k3 = 0.54 δ est pris égal à 1. Page : 6 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
4.1 Section rectangulaire Le moment normalisé est calculé par : m = M E b 2 ηf c Pour une section avec aciers e tractions seulement, le moment ite amissible pour le béton s écrit : ( ) [ ( ) ] m = λ 1 λ 2 La procéure pour le calcul es sections aciers est alors la suivante : si m m il n est pas nécessaire e calculer es aciers e compression, et le ratio normalisé aciers vaut ω = 1 1 2m La section aciers e traction est onnée par : ( A s = ω ) ηf c b f y si m > m il faut alors es aciers e traction et e compression calculés en utilisant les ratios normalisés : ( ) ω = λ = 1 1 2m ω = m m 1 frac ω = ω + ω correspon à l enrobage es aciers comprimés Les sections acier en compression et en traction sont obtenues par les relations : [ ] A s = ω ηf c b f s ηf c [ ] ηf A s = ω c b f y f s est la contrainte ans les aciers comprimés calculée suivant : [ ] f s = E s ɛ c 1 f y c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 7
4.2 Section en T La procéure e calcul est basée sur l équilibre e la section, avec un iagramme rectangulaire pour le béton, comme iniqué sur la figure suivante : b f e cu hf c hf c A's ht ' f' s Cs Cw Cf a= l h As bw e s Ts Tw Tf SECTION DEF. CONT. FIGURE 2 section en T 4.2.1 Section en T avec moment négatif Si le moment est négatif, c est la fibre inférieure qui est comprimée. On consière ans ce cas une section rectangulaire e largeur b e hauteur h, la hauteur utile étant la ifférence entre la hauteur totale et l enrobage e la fibre supérieure. On est ramené ans ce cas au calcul une section rectangulaire, traité ans le paragraphe précéent. 4.2.2 Section en T avec moment positif Le moment étant positif, c est la fibre supérieure qui est comprimée. La procéure e calcul est basée sur l équilibre e la section, avec un iagramme rectangulaire pour le béton, comme iniqué sur la figure 2. Page : 8 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
Le moment normalisé est calculé par : m = M E b f 2 ηf c les valeurs ites e m et ω et a ma sont ensuite calculées : ( ) [ ( ) ] m = λ 1 λ 2 les valeurs e ω et a sont calculées par : ( ) ω = λ = 1 1 2m a ma = ω ω = 1 1 2m a = ω Si a h f le calcul e la section aciers tenus est mené comme pour une section rectangulaire, en prenant comme largeur e section b f (largeur e la table e compression). Des aciers e compressions sont nécessaires, si m > m. Si a > h f le calcul e la section aciers tenus est mené en eu parties. La première partie pour équilibrer l effort e compression ans la table, la secone pour équilibrer l effort e compression an l âme. La quantité aciers nécessaires pour équilibrer l effort e compression ans la table vaut : Et le moment résistant corresponant vaut : A s2 = (b f b w)h f ηf c f y M 2 = A s2 f y ( h f 2 ) Il reste à éterminer la quantité aciers nécessaires pour équilibrer la force e compression ans l âme e section rectangulaire e largeur b w soumise au moment M1 = ME M 2. On calcule le moment réuit m 1 : m 1 = M 1 b w 2 ηf c c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 9
Si m 1 m ω 1 = 1 1 2m 1 Réacteur Document Date [ ] ηf A s1 = ω c b w 1 f y Si m1 > m ω = m 1 m 1 ( ω = λ ) ω 1 = ω + ω A s = ω [ ηf c b f f s ηf c ] [ ] ηf A s1 = ω c b w 1 f y La quantité f s correspon à la contrainte ans les aciers comprimés et vaut : [ ] f s = Esɛ c 1 f y Avec les formules ci-essus, la quantité totale aciers e traction vaut A s = A s1 + A s2, et la quantité aciers e compression vaut A s. Page : 10 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
4.3 Sections minimale et maimale aciers La quantité minimale aciers e traction nécessaire est la valeur maimale es quantités ci essous : A s,min = 0.26 fctm f yk b A s,min = 0.0013b f ctm étant la valeur moyenne e la résistance en traction u béton calculée forfaitairement par : f ctm = 0.3f (2/3) ck pour f ck 50 MPa. f ctm = 2.12ln(1 + fcm 10 ) pour f ck > 50 MPa. f cm = f ck + 8 MPa. Le minimum nécessaire pour le calcul e vérification ouverture es fissures oit être effectué par ailleurs. La quantité maimale aciers e traction ou e compression oit être inférieure à 0.04 fois la section totale e béton. c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 11
5 Calculs numériques 5.1 Section rectangulaire sans acier comprimé La section étuiée aura pour imensions 0.20.5 m. L enrobage es aciers inférieurs et supérieurs est e 3 cm. Le moment fléchissant e calcul vaut M E = 50000 N.m Les caractéristiques u béton et e l acier valent f ck = 30 MPa et f yk = 500 MPa respectivement. Les coefficients e sécurité u béton et e l acier γ c et γ s valent respectivement 1.5 et 1.15. Les quantités calculées sont les suivantes : k 1 = 0.44 k 2 = k 4 = 1.25 k 3 = 0.54 ) = 0.448 ( η = 1.0 et λ = 0.8 f c = 20.0 et f y = 434.8 m = 0.0542 m = 0.278 On est bien ans le cas m m et les aciers comprimés ne sont pas nécessaires. One en éuit : ω = 0.056 As = 2.47cm 2 Page : 12 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr
5.2 Section en T sans acier comprimé, ae neutre en ehors e la table La section étuiée aura pour imensions h = 0.8m h f = 0.15m b w = 0.3m b f = 0.5m L enrobage es aciers inférieurs et supérieurs est e 8 cm. Le moment fléchissant e calcul vaut M E = 835000 N.m Les caractéristiques u béton et e l acier valent f ck = 25.5 MPa et f yk = 500 MPa respectivement. Les coefficients e sécurité u béton et e l acier γ c et γ s valent respectivement 1.5 et 1.15. Les quantités calculées sont les suivantes : k 1 = 0.44 k 2 = k 4 = 1.25 k 3 = 0.54 ) = 0.448 ( η = 1.0 et λ = 0.8 f c = 14.16 et f y = 434.8 m = 0.189 m = 0.294 a = 0.153 > h f A s2 = 11.73cm 2 m1 = 0.000191 < m A s1 = 18.11cm 2 On est bien ans le cas a > h f et m1 m et les aciers comprimés ne sont pas nécessaires. La section totale aciers inférieurs s en éuit : As = As1 + A s2 = 29.84cm 2 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 13
6 Conclusions Cette note a permis e rappeler les formules simplifiées utilisées pour calculer es sections rectangulaires ou en T en béton armé soumises à e la fleion simple, selon l EUROCODE 2. Les calculs numériques u paragraphe 5 fournissent les résultats es calculs e vérifications effectués. Les formules ont été programmées avec interface graphique (GUI) en Tcl/tk, Python et Java. Les programmes corresponants peuvent être fournis sur emane. Fin e la note Page : 14 c 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr