CHAPITRE XIII LES LOGARITHMES

CHAPITRE XIII LES LOGARITHMES Nous sommes ici à un tournant important, annoncé à plusieurs reprises déjà dans les pages qui précèdent : à notre avis, les Logarithmes font déjà partie des Mathématiques supérieures et, pourtant, ils se rattachent étroitement à ce que nous avons vu jusqu ici. Rien de magique ne s attache à ces Logarithmes qui ne sont, au départ, qu une méthode de calcul capable souvent de simplifier les opérations, mais indispensable dans bien d autres. Ce chapitre sera un peu plus long, car nous voulons y faire, au moins, un tour d horizon complet. 120. Définition des Logarithmes. Nous savons ( 1) que le nombre 1000 peut s écrire 1000 = 10 3 et nous dirons que, dans cette exemple, le chiffre 3, exposant de 10, est le LOGARITHME de 1000. De même, 2 sera le logarithme de 100, parce que 100 = 10 2 et 1 sera le logarithme de 10, car 10 = 10 1. On écrira ainsi 4 = log 10 000 6 = log 1000 000 et ainsi de suite, en utilisant ici la lettre l minuscule pour l abréviation «log». Voilà donc la définition, et toute la définition, des logarithmes : nous ne voyons là-dedans rien de compliqué. De façon plus générale, en partant d une expression telle, que y = 10 m, on appellera m le logarithme de y ; inversement dans cette même expression, y sera l antilogarithme de m ; par exemple 1000 (y) sera l antilogarithme de 3 (m), et 1 000 000 l antilogarithme de 6. Pour des raisons qui nous échappent, on n emploie pas toujours ce terme d antilogarithme, pourtant fort pratique. 121. Systèmes de Logarithmes. Les trois expressions 1000 = 10 3 100 = 10 2 10 = 10 1 ont en commun le nombre 10, doté de divers exposants. Ce 10 sera la BASE d un système de logarithmes, les logarithmes décimaux, ou encore vulgaires. Cette définition des logarithmes, qui nous éloigne beaucoup de l enseignement «scolaire» traditionnel, nous permettrait de mettre sur pied, nous-même, n importe quel autre système de logarithmes. Ainsi, dans un système de logarithmes, dont la base serait 2, nous aurions encore 8 = 2 3 4 = 2 2 et nous dirions encore 2 = log 4 3 = log 8 ou encore, dans un système de logarithmes dont la base serait 3, on aurait : 9 = 3 2 et 2 = log 9 27 = 3 3 et 3 = log 27

On devrait d ailleurs écrire, pour plus de précision, ici dans ces nouveaux systèmes, 3 = log 2 de 8 3 = log 3 de 27 Les indices 2 et 3, qui suivent l abréviation log, indiquent que la base utilisée est respectivement 2 ou 3 ; l absence d indice correspond aux logarithmes décimaux. Ou encore, si la base est ce fameux nombre «e» ( 103) on obtiendrait les logarithmes népériens et nous aurions encore e = 2,718 et 1 = Log 2,718 e 2 = 7,387 et 2 = Log 7,387 e 3 = 20,07 et 3 = Log 20,07 Pour désigner ces logarithmes népériens, nous proposons un «L» majuscule, soit «Log», par abréviation. Nous pourrons préciser maintenant la relation du 120, par laquelle nous définissons le logarithmes : y = a m et m = log a y en d autres termes, m est le logarithme de y dans un système, dont la base serait a. 122. Relations communes à tous les systèmes. Le tableau XIII-A TABLEAU XIII-A compare quelques antilogarithme valeurs, que logarithme décimal base de 2 base de 3 base de e présentent ces 0 10 0 = 1 2 0 = 1 3 0 = 1 e 0 = 1 logarithmes dans 1 10 1 = 10 2 1 = 2 3 1 = 3 e 1 = 2,718 divers systèmes, 2 10 2 = 100 2 2 = 4 3 2 = 9 e 2 = 7,387 mais il révèle, 3 10 3 = 1000 2 3 = 8 3 3 = 27 e 3 = 20,07 surtout, deux 4 10 4 = 10000 2 4 = 16 3 4 = 81 e 4 = 54,5 propriétés 5 10 5 = 100000 2 5 = 32 3 5 = 243 e 5 = 148,13 élémentaires, Les mêmes logarithmes dans plusieurs systèmes possibles. communes à tous les systèmes de logarithmes possibles. 123. Relation de base des logarithmes. Nous connaissons le principe ( 60) a m. a n = a m+ n qui donnerait, par exemple, avec a = 10, m = 3, n = 2 ; 10 3. 10 2 = 10 3+2 = 10 5 A chacun de ces termes, nous pourrions encore appliquer la définition générale des logarithmes ( 120), ce qui en confirme, d ailleurs, la solidité ; en effet, 3 = log 1000 ; 2 = log 100 et aussi 3 + 2 = log 100 000. Nous pouvons donc écrire log 1000 + log 100 = log 100 000 En d autres termes, on pourra remplacer le logarithme d un produit par la somme des logarithmes de chacun des facteurs : log (yy ) = log y + log y Ainsi, la multiplication de 100 par 100, par exemple, donne 10 000, alors qu en additionnant leurs logarithmes, soit 2 + 2, on trouve 4, qui est bien le logarithme de 10 000.

A l aide du petit tableau XIII-B, qui TABLEAU XIII-B représente un extrait fort simple d une table des logarithmes fort nombre logarithme nombre logarithme simple, elle aussi nous pourrons 1 0,000........ donner quelques exemples de cette 2 0,301 32 1,505 relation de base. 3 0,477 33 1,519 Premier exemple : multiplication de 4 0,602 34 1,531 2 par 12. 5 0,699 35 1,544 Nous poserons : 6 0,778 36 1,556 log 2. 12 = log 2 + log 12 et nous 7 0,845 37 1,568 tirerons du tableau XIII-B 8 0,903 38 1,579 log 2 = 0,301, log 12 = 1,079 En additionnant les deux : log 2 + log 12 = 1,380. Cette dernière valeur représente le logarithme du produit recherché. Or, en face 1,380 (situé dans la 2 e colonne), nous lirons, dans la 1 ere 9 10 11 12 13 14 15 0,954 1,000 1,041 1,079 1,114 1,146 1,176 39 40 41 42 43 44 45 1,591 1,602 1,612 1,623 1,633 1,643 1,653 colonne : 24, qui est bien le produit........ 46 1,662 recherché. 20 1,301 47 1,672 Deuxième exemple : 21 1,322 48 1,681 produit de 2. 3. 6. 22 1,342 49 1,690 Ici, il faudra même additionner 3 23 1,361 50 1,699 logarithmes. Le même tableau 24 1,380........ XIII-B donne encore 25 1,398 61 1,785 log 2 = 0,301 26 1,415 62 1,792 log 3 = 0,477 27 1,431 63 1,799 log 6 = 0,778 28 1,447 64 1,806 log x = 1,556 La 4 e 29 1,462 65 1,813 colonne contient ce logarithme Extrait d une table de logarithmes pour les nombres de 1 à 100. 1,556, à gauche duquel nous lisons 36. Troisième exemple : produit de 7 par 7. Comme dans les deux exemples précédents, nous poserons : log 7. 7 = log 7 + log 7 log 7 = 0,845 log 7 = 0,845 log x = 1,690 et nous lisons antilog 1,690 = 49. 124. Calcul des puissances. Dans ce troisième exemple, le produit de 7 par 7 correspond, au fond, à une élévation au carré du chiffre 7, et pour le résoudre, on s était borné à DOUBLER le logarithme de 7. En d autres termes et sous une forme plus générale, on pourra dire, qu élever un nombre à une puissance n, quelconque, revient à multiplier son logarithme par n, ce qui s écrit log a n = n log a Ainsi, on trouvera, d emblée, le cube de 3, par exemple log 3 3 = 3 log 3 = 3. 0,477 = 1,431

et nous voyons effectivement que c est là le logarithme de 27. De même encore, 2 6 ( deux puissance 6) se calculerait très simplement : log 2 6 = 6 log 2 = 6(0,301) = 1,806 et nous lirons directement le nombre 64 dans notre tableau XIII-B, en face de 1,806. Les logarithmes rendent donc de très grands services dans les élévations de puissance. Grâce à ces logarithmes, on déterminera encore, avec la même aisance, des exposants fractionnaires, plus complexes ( 85), tels que dans 9 3/2. Il n y a aucune raison pour ne pas appliquer encore la règle, que nous venons de trouver, en nous aidant encore du tableau XIII-B : log 9 3/2 = 2 3 log 9 = 2 3 (0,954) = 1,431 La 4 e colonne donne encore le nombre 27, qui est le résultat recherché, car il s agissait bien d élever au cube la racine carrée de 9. 125. Calcul des racines. Si les logarithmes facilitent les opérations dans les calculs qui précèdent, ils deviennent proprement INDISPENSABLES dans l extraction des racines de rang supérieur (à 3 surtout!). De toute évidence, le 61 restera, lui aussi, valable : au lieu de diviser 1 million par 10 000 ( ce qui donnerait 100), on pourra soustraire leurs logarithmes soit 6 4 = 2 et 2 est effectivement le logarithme de 100. Cette nouvelle propriété aussi pourrait s écrire : log y y = log y log y Appliquons cette nouvelle donnée, à la division 63 : 3. Du logarithme de 63, soit 1,799, on retranchera le logarithme de 3, soit 0,477, ce qui donne 1,332, qui est bien le logarithme de 21. De même, 25 : 5 donnerait : log 25 : 5 = log 25 log 5 = 1,398 0,699 = 0,699 soit le logarithme de 5 qui est bien le résultat recherché. Ce dernier calcul revient encore à extraire la racine carrée de 25 et il suffi, pour cela, de diviser le logarithme de 25 par 2. Nous rejoignons là, le dernier exemple du paragraphe précédent, et cela confirme aussi notre façon d écrire une racine carrée, à l aide de l exposant fractionnaire ½ ( 84). De même, la racine cubique de 64 se calculerait comme suit : log 3 64 = 1 log 64= 1 ( 1,806) = 0, 602 6 3 Cette dernière valeur 0,602 est bien le logarithme de 4, racine cubique de 64. Et la racine SIXIÈME de 64, que l on ne peut pratiquement calculer par aucun moyen arithmétique, s obtiendrait directement à l aide des logarithmes log 6 64 = 1 log 64 = 1 ( 1,806) = 0, 301 6 6 Le tableau XIII-B indique le chiffre 2 comme antilogarithme de 0,301. C est là, l inverse du deuxième exemple du paragraphe précédent, où nous avions bien calculé 2 puissance 6. 126. La règle à calcul. Les règles à calcul (ou à calculer) appliquent essentiellement les principe, encore fort élémentaires, que nous venons de définir. Sur de telles règles, on

n inscrit pas directement les chiffres 1, 2, 3, 4, etc., mais des longueurs, proportionnelles aux logarithmes de ces chiffres (fig. XIII-1). Une règle à calcul, longue de 10 cm, par exemple, portera la division 2 à 3,01 cm, parce que log 2 = 0,301 (tableau XIII-B) ; la division 3 à 4,77 cm, la division 4 à 6,02 cm et ainsi de suite. Le tableau XIII-C contient ces distances pour deux règles à calcul possible. Multiplier 2 par 3 revient alors d après le 123, à additionner (fig. XIII-2) les longueurs, qui correspondent, respectivement, au logarithme de 2 et au logarithme de 3, soit 3,01 cm et 4,77 cm = 7,78 cm ; a cette DISTANCE, nous trouverons, effectivement, la division 6, qui est bien le résultat recherché. Pour rendre plus aisées encore de telles multiplications, on place, face à face, deux règles identiques, l une fixe et l autre constituée par une réglette mobile. Inversement on le comprend sans peine la division se réduira à la soustraction de deux de ces longueurs. Pour diviser 9 par 3, on retranchera (fig. XIII-3), dans une règle de 10 cm, 4,77 cm de 9,54 cm, et il subsiste une longueur de 4,77 cm, qui correspond bien à la division N 3, quotient recherché. Une élévation au carré revient encore a additionner 2 longueurs égales d une règle à calcul deux fois plus courte, comme celle, par exemple, de la troisième colonne de notre tableau XIII-C, ou encore l échelle B 2. Elever au carré 3, par exemple, revient à additionner la longueur 2,385 à 2,385, soit 4,77 cm, mais la lecture pourrait être plus directe encore. Cette longueur correspond à la fois à la division 3 de la première règle et à la division 9 de la deuxième règle. A la verticale du 3 (échelle B), on lit, en effet, 9, échelle B 2 ; de même, que l on trouve, à la verticale du 2 (échelle B), le 4 de l échelle B 2, ou encore 100 (B 2 ), à la verticale de 10 (B). 127. Mantisses et caractéristiques. Reprenons deux valeurs de notre tableau XIII-B : log 2 = 0,301 log 20 = 1,301 Nous trouvons dans la colonne de gauche, en passant d une ligne à l autre, un nombre 10 fois plus grand, alors que le logarithme (colonne de droite) augmente d une unité seulement : la partie décimale, elle n a pas changé et reste 301. L B 3 B 2 b 2 a b Fig. XIII-1. Extrait d une règle à calcul très répandue (modèle Elec-log-log, Graphoplexe, aussi appelée Rietz dans d autres marques). L échelle B (nombre de base) fait partie de la réglette fixe inférieure alors que la réglette supérieure porte B 3 (cubes) et (Logarithmes décimaux). Les échelles b et b 2 sur la réglette mobile correspondent respectivement à B et B 2 ; l échelle a porte les inverses de B, soit par exemple 1/ 8 pour 8, 1 / 6 pour 6 et ainsi de suite. En plus, détail de quelques divisions.

Fig. XIII-2. Position des réglettes pour la multiplication de 2 par 3. Fig. XIII-3. Position des réglettes pour la division de 9 par 3 Ce même tableau XIII-B montre aussi le logarithmes, inférieurs à l unité pour les nombres ne comprenant que le chiffre des unités et des logarithmes, compris entre 1 et 2, pour des nombres comportant des dizaines. Tout cela est fort logique et découle directement de notre définition des logarithmes ( 120). Ainsi, tout logarithme se compose de deux parties : La CARACTÉRISTIQUE, qui précède la virgule et qui indique combien le nombre contient de chiffres ( la caractéristique 1 correspond à 2 chiffres, 3 à 4 chiffres, etc.). La MANTISSE, qui suit la virgule et qui ne tient compte que de la valeur du nombre, soit 301, pour 2 ; peu importe, pour cette mantisse, que 2 soit contenu dans 20 ou dans 200 000. C est cette seule valeur, que contiennent les tables normales de logarithmes, et les règles à calcul (échelle L, fig. XIII-1). A la verticale du 2 (échelle B) nous lisons bien, dans l échelle L un peu plus de 3, ou encore 0,300 ; de même, à la verticale du 5 (échelle B), près de 0,700 (échelle L) ; dans ce dernier cas, le tableau XIII-B donne 0,699! La précision de la lecture dépend de la dimension même de la règle. Cette remarque étend notablement le tableau XIII-B, puisqu il nous fournit même le logarithme de 4 700, par exemple. Ce nombre comporte 4 chiffres et sa caractéristique sera donc 3 ; la mantisse sera la même que pour 47, soit 0,672, et cela donne log 4700 = 3,672 Inversement le logarithme 2,544 se décomposera en une caractéristique 2, indice d un nombre de 3 chiffres, et une mantisse 0,544 ; le tableau XIII-B porte 1,544 pour 35 ; nous aurons donc, ici, antilog 2,544 = 350 128. Echelle logarithmique. TABLEAU XIII-C Division Longueur de la règle 10 cm 5 cm 1 0 0 2 3,01 cm 1,5 cm 3 4,77 cm 2,385 cm 4 6,02 cm 3,01 cm 5 6,99 cm 3,50 cm 6 7,78 cm 3,89 cm 7 8,45 cm 4,23 cm 8 9,03 cm 4,52 cm 9 9,54 cm 4,77 cm 10 10 cm 5 cm 11 10,41 cm 5,2 cm 12 10,79 cm 5,4 cm Dimensions géométriques de deux modèles de règles à calcul.

Les règles graduées normales, telles qu on les utilises pour le dessin, utilisent une échelle linéaire : la même distance sépare les divisions 2 et 3, ou encore 8 et 9. En utilisant les divisions du tableau XIII-C, par contre, on obtiendrait une échelle logarithmique (fig. XIII-4), aux propriétés les plus intéressantes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 distances 0,3 cm 0,47 cm 0,6 cm 0,7 cm 0,84 cm 0,95 cm 0,77 cm 0,9 cm Fig. XIII-4. Exemple d une échelle logarithmique. Supposons, que nous ayons à étudier les variations de la fonction y = ax, pour une très grande étendue de valeurs, attribuées à la variable indépendante. Si nous réservons à chaque buées à la variable indépendante. Si nous réservons à chaque unité de x, par exemple, 5 mm (fig. XIII-5), nous pourrons facilement tracer la variation jusqu à x = 40 environ, mais au-delà? Pour x = 100, déjà, notre feuille de papier devrait avoir une largeur de 50 centimètres et pour x = 10 000, il nous faudrait un rouleau de 50 mètres! y+ y+ x+ 3 5 10 30 50 300 1000 5000 100 500 3000 10000 x+ Fig. XIII-5. Une même fonction, représentée sur échelle linéaire et sur échelle logarithmique: pour une même longueur, on place près de 10 000 fois plus de valeurs de x. Si, par contre, nous portons en abscisse non pas x directement, mais son logarithme, nous obtiendrons la fonction y = a log x et nous pourrons embrasser, d un même coup d œil, une étendue de valeurs de x allant de 0 à 10000 et même plus loin.

De part leur définition même, les logarithmes réservent une même longueur à des intervalles allant de 0 à 1, 1 à 10, 10 à 100, 100 à 1000, 1000 à 10000, etc. La courbe obtenue (fig. XIII-5) pourra ne plus avoir la même forme, disons géométrique, mais elle nous permettra d observer tout aussi bien le sens général et les accidents (minimum, maximum, inversion, inflexion, etc.) de la variation. D ailleurs, pour qu une fonction linéaire redonne une droite (chapitre XVIII) il suffira de prévoir la même échelle logarithmique pour l ordonnée aussi bien que pour l abscisse. Et c est là peut-être, que les logarithmes cessent d être un simple artifice de calcul : par leurs lois sensorielles, Fechner et Weber ont montré que notre ouïe, en particulier, réagissait suivant une loi logarithmique, et nullement linéaire! Il faut mettre en ligne 100 fois (10 2 ) plus d énergie pour donner à notre oreille l impression de 2 (logarithme de 100) fois plus de bruit.