Les fractions Les fractions et les nombres décimaux doivent d abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d aires, de repérage d un point sur une droite. ( ) En dehors de la connaissance des fractions «d usage courant», le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales (fractions de dénominateurs 0, 00, 000, ). Outre les fractions décimales, les fractions utilisées ont un dénominateur compris entre 2 et (ou des puissances de ces nombres comme, 8, 6, 9, 2, ). Les fractions telles que 2,, 8, 6 peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des «pliages» successifs en deux de l unité (on évitera d utiliser les notations du type /2, avec la barre oblique). Dans d autres cas, par exemple ceux où l unité est partagée en trois ou en cinq, on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes. Ce réseau permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division. Des fractions supérieures à seront utilisées. L écriture fractionnaire ne doit pas être confondue avec le nombre qu elle représente. L écriture fractionnaire, comme l écriture à virgule ou l écriture décimale ne sont que des façons différentes d écrire un nombre. Selon les besoins, selon les contextes (sciences ou mathématiques par exemple) une écriture sera privilégiée plutôt qu une autre. L écriture fractionnaire se construit dès le cours moyen puis au collège avec des points de vue différents qui peuvent laisser à penser qu elle a des sens différents. Par exemple, la fraction correspond à l'identification d'un moyen d'écrire: - qu'une grandeur-unité a été partagée en parties égales et que l'on en a pris morceaux ( fois de l unité) ; - que l'on a pris fois la grandeur-unité et que l'on a ensuite réalisé un partage en parts égales ;
- que l on considère objets parmi objets, il s agit alors de prendre les collection d objets (trois parmi quatre). de la - le quotient décimal de la division de par, (ou divisé par ). - le nombre compris entre 0 et que l on lit quarts et qui peut s écrire également 0,7. - la solution de l équation x? =. Les significations données à la fraction doivent progressivement évoluer, du cours moyen au collège : du statut de fois représente également. Une fraction de deux entiers a b à la fraction-quotient, puis au nombre rationnel qu elle (avec b non nul) est une écriture d un nombre rationnel. Mais, dans l enseignement, la notion de fraction précède celle de nombre rationnel. La difficulté de son étude provient en particulier du fait qu une fraction comme différentes significations que les élèves ont du mal à relier entre elles. A l école primaire, une première signification est donnée à l unité que nous appellerons fraction-partage. prend, reliée au partage de Une unité étant donnée, on définit d abord le tiers de l unité en la partageant en parties égales, puis cinq tiers de l unité en reportant fois l une des parties obtenues. Dans le contexte des longueurs, cela peut être schématisé ainsi : Cette signification peut être traduite par l égalité = x = + + + + Cette fraction est introduite pour mesurer plus précisément des grandeurs qui ne peuvent être obtenues par simple report de l unité. Elle permet également de repérer des positions sur une ligne graduée. Au collège, en classe de sixième, une seconde signification est introduite, souvent appelée fraction-quotient.. est introduit comme solution de l équation x =, c est-à-dire comme quotient de par. Il s agit de réaliser que + + = x Dans le contexte des longueurs, cela correspond au partage d un segment de longueur unités en parts égales et peut être schématisé ainsi : =.
La difficulté pour les élèves réside dans le fait qu ils doivent, au collège, concilier ces deux significations de la fraction et comprendre que " partagé en, pris fois " est égal à " partagé en " ou encore que " fois le tiers de " est égal au " tiers de ". C est à partir de là que la fraction prend le statut de nombre rationnel qui sera enrichi par le calcul sur les fractions. Il faut ajouter que la compréhension de l écriture fractionnaire ne se mesure pas à la capacité à en nommer le numérateur et le dénominateur. Les exemples d élèves qui sont capables de cette dénomination et qui, en même temps, écrivent témoigner! D après Roland Charnay (TFM) =,2 sont là pour en 2 Programmes : En CM en ce qui concerne les fractions : - Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. En CM2 en ce qui concerne les fractions : - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction Inférieure à. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.
Ce qu il faut savoir avant de commencer l apprentissage des fractions Quelle que soit l approche choisie, un certain nombre de connaissances sont indispensables au début de l année de CM pour aborder l apprentissage des fractions : - Pour la multiplication : Maîtriser les tables de multiplication par 2,,, 0, au minimum. Être capable de trouver des multiples et des diviseurs d un nombre donné (le vocabulaire «multiple», «diviseur» n est pas indispensable). Connaître et pouvoir utiliser les expressions comme «n fois plus» et «n fois moins». - Pour le partage égalitaire : Faire la différence entre partage égalitaire et non égalitaire. Du point de vue géométrique : les élèves doivent avoir rencontré des partages d un segment de longueur donnée en plusieurs segments de même longueur. - Pour la droite graduée : Savoir ce qu est une graduation régulière (avec le choix d une unité) Savoir placer un nombre entier sur une droite graduée. Savoir ranger des nombres entiers dans l ordre croissant ou décroissant. Savoir placer un nombre entre deux autres nombres entiers. Voici une liste d exercices qu on peut proposer pour faire le point sur ces connaissances.. ranger dans l ordre croissant ou décroissant les nombres entiers suivants : 002, 26, 27, 8, 700, 070, 700 ; 62 ; 8 2. Placer précisément les nombres entiers suivants sur une droite déjà graduée de 00 en 00. 0 ; 2 ; 20 ; 20 ; 7. trouver des multiples des nombres suivants : 2 ; ; ; 7 ; 0 ;. trouve le ou les diviseurs communs de chacun des couples des nombres suivants : (6 ; 9) ( ; ) ( ; 2) ( ; ) (8 ; ). Partage par pliage la bande suivante en deux parties égales Partage par pliage la bande de papier suivante en parties égales 6. Trouver : Le double de, Le triple de 6, La moitié de 20, Le quart de 6, Le tiers de. Avant l étude des fractions une évaluation traitant de ces différents points est très utile. De plus, il est souhaitable de faire le point sur d autres connaissances en relation avec les fractions mais dont la maîtrise n est pas indispensable pour commencer la progression des robots : - Des connaissances concernant les expressions utilisant les fractions avec les durées (quart d heure, demi-heure ), les contenances (demi-litre ) etc. - Des connaissances relatives à la lecture des tableaux de nombres (par exemple, en relation avec la proportionnalité).
Difficultés : Il est indispensable de travailler la reconnaissance rapide de représentations d une fraction à partir de partages en parts égales en CM et en sixième (en insistant sur le choix de l unité et de la grandeur exprimée : longueur, aire, angle ). Auparavant il est fondamental d apprendre aux élèves à repérer d un seul coup d œil les partages égalitaires de ceux qui ne le sont pas. De plus ils doivent rapidement acquérir le réflexe de prendre tout de suite en compte ce qui est partagée en parts égales afin de déterminer aisément si la fraction exprimée est plus grande ou plus petite que ou qu un autre entier. Une des erreurs rencontrées fréquemment est justement la confusion entre partage égalitaire et partage non égalitaire. De plus la prise en compte de fractions supérieures à présente un certain nombre de difficultés. En effet, si l on a deux tartes à partager en 8 parts égales on peut considérer : que " l unité " est constituée des 2 tartes, dans ce cas chaque tarte est partagée en parts égales mais " l unité " est partagée en 8 parts égales, chaque convive recevant 8 de " l unité ", l ensemble des deux tartes étant constitué de 8 8 de l unité. ou considérer que l unité est une tarte qu on partage en parts égales et dans ce cas chaque convive recevra de tarte et l ensemble sera constitué de 8 de tarte. Un travail régulier avec l ardoise est bénéfique. Il permet de présenter une écriture fractionnaire ou une représentation géométrique d un partage en parts égales, les élèves étant alors sollicités pour donner respectivement soit une représentation soit une écriture fractionnaire. De même les jeux de loto, dominos, mariages, ainsi que des affichages, permettent cet entraînement. Difficultés relatives à l écriture et au vocabulaire Les élèves de cours moyen connaissent bien les entiers naturels ainsi que leurs propriétés, ce sont les seuls nombres ou presque, qu ils ont rencontrés avant d aborder les fractions et les nombres décimaux. Il est donc tout naturel qu ils essaient d appliquer les règles qui fonctionnent pour les entiers, à ces nouveaux nombres. En ce qui concerne les fractions, si l on sort l écriture fractionnaire d un contexte où elle a du sens, tout peut arriver! o Le numérateur et le dénominateur n ont alors plus de signification et peuvent donc être permutés sans que cela préoccupe les élèves qui Un demi o confondent alors 2 et 2. Pour des raisons analogues, si la référence à l unité n est pas faite, les élèves peuvent confondre, sur les représentations, les fractions un demi et un tiers par exemple. Un tiers Conclusion pour les élèves : un tiers est égal à un demi.
o Lors de l introduction des fractions supérieures à l unité, l utilisation de plusieurs surfaces à partager en parts égales, posent aussi le problème du choix de l unité. Si l unité est l ensemble des deux dessins, dans ce cas la partie grisée représente une fraction inférieure à, il s agit de la fraction Si l unité est un rectangle constitué de parts égales, la partie grisée est alors une fraction supérieure à et la fraction désignée est soit,soit + difficulté et donc de confusion si l enseignant ni prend pas garde. 7 8. 7. Ceci est source de - autre exemple de non prise en compte de l unité utilisée pour représenter une surface. Par exemple si l on représente une fraction par le schéma suivant : Ce schéma représente, si l unité est l aire du grand carré et 8 si l unité est l aire de l ensemble des deux carrés. Il représente, si l unité est l aire d un «petit» carré - Les élèves pensent souvent que si on plie une bande de papier quatre fois en parts égales, on obtient des quarts or on obtient des seizièmes. Les élèves confondent le nombre de pliages effectués concrètement et le dénominateur de la fraction qui représente le nombre total de parts obtenus par le pliage. D autre part, les mots, quatre et quart, se ressemblent beaucoup. o Le trait de fraction, comme la virgule, peuvent être considéré par les élèves comme deux symboles équivalents, séparant deux nombres entiers, d où la notation erronée 2 =,2
Difficultés relatives à l utilisation des fractions pour repérer des points sur la droite graduée
Les nombres décimaux La nature d un nombre ne dépend pas de son écriture, mais elle n est pas indépendante de la possibilité de l écrire sous une forme donnée. Ainsi ; 2 ;,708 sont tous trois des nombres décimaux. Cela se conçoit facilement si on définit un nombre décimal comme nombre pouvant être exprimé sous forme de fraction décimale, ce qui est le cas pour les trois nombres envisagés : est égal à 2 est égal,708 est égal 0 00 0 ou à 00. 8 800 000 708 0 ou à 000 à ou à 70800 00000 Un nombre décimal peut être exprimé de plusieurs façons à l aide de fractions décimales. Trois sont particulièrement intéressantes. La première sous forme de somme de fractions décimales de numérateurs inférieurs à 0 permet de mettre en évidence la valeur de chaque chiffre de l écriture à virgule du nombre (lien avec Ecriture à virgule : valeur positionnelle des chiffres). Ainsi :,708 = + dixièmes et 8 millièmes. 7 8 0 + 000 met en évidence que,708 nombre comporte unités, 7 La deuxième sous forme d une seule fraction décimale permet de préparer le lien avec la fraction quotient. Ainsi,708 = division de 708 par 000. 708 000 708 000 met en évidence que,708 est le résultat de la La troisième sous forme de somme d un entier est d une fraction décimale met en évidence la partie entière et la partie décimale du nombre. Ainsi,708 = + décimale (0,708 qui est égal à permet de reconnaître la partie entière () et la partie 708 000 ). Le passage de l une à l autre de ces deux écritures peut être justifiée avec les élèves de l école primaire par le fait que unité = 000 millièmes, dixième = 00 millièmes et centième = 0 millièmes. Historiquement, les fractions décimales ont été utilisées avant les nombres décimaux écrits à l aide d une virgule. Le mathématicien Al Kashi (mort en 29) fut le premier à exposer la théorie des fractions décimales. Il établit que les opérations pouvaient s effectuer de la même façon qu avec les entiers. On doit à Stevin (XVIe siècle), qui ignorait les travaux d Al Kashi, d avoir cherché à simplifier l écriture de nombres sous forme de fractions décimales, pour rendre les calculs plus simples car plus proches du calcul sur les entiers. Après diverses tentatives, l écriture avec une virgule (ou avec un point) s est imposée,,708 devenant une autre manière d écrire le nombre 7 + 0 + 8 000.
Ce bref rappel permet d insister sur l importance qu il y a pour la compréhension des nombres décimaux : d une part à relier écriture à virgule et écriture à l aide de fractions décimales (lien avec écritures à l aide de fractions décimales) ; d autre part à prolonger aux écritures à virgule les principes de la numération de position étudiée sur les entiers : Dans,26 : - la position du fait que sa valeur est multipliée par 0 ( dizaines d unités) - la position du 6 fait que sa valeur est divisée par 00 (6 centièmes d unités) - un chiffre à la place du 6 a une valeur 0 fois inférieure que le même chiffre à la place du 2, 000 fois inférieure que le même chiffre à la place du. La compréhension de ces relations permet de justifier et donc de comprendre la plupart des connaissances relatives à la comparaison et au calcul sur les nombres décimaux. Graduation et nombres décimaux Un nombre décimal peut être considéré comme une fraction décimale. Ainsi,7 peut être écrit sous la forme 7 00. Les nombres 0 et étant placés, ils déterminent une longueur-unité qui, partagée en 00 parties égales donnent des centièmes d unités et permet d associer la fraction 7 00 à un point de la droite situé à 7 centièmes d unités du point repéré par 0. Comme dans le cas général des fractions, la décomposition de,7 sous la forme + 7 0 + 00 permet de situer,7 en cherchant d abord le point repéré par, puis en avançant successivement de 7 dixièmes et de centièmes. Cela permet notamment de comprendre que,7 est inférieur à,9 puisqu on a placé,7 entre,7 et,8. Un autre intérêt de l utilisation d une graduation pour travailler les nombres décimaux est d illustrer le fait que, entre deux nombres décimaux, il est toujours possible d en intercaler d autres (en utilisant, si nécessaire, un agrandissement du segment dont les extrémités sont repérées par ces deux décimaux). Pré requis avant d aborder l étude des nombres décimaux : Les connaissances indispensables pour aborder l apprentissage des nombres décimaux sont les suivantes : Sur les fractions, les élèves doivent : - connaître la notion de fraction, l écriture fractionnaire et le vocabulaire afférent (numérateur, dénominateur, demi, tiers, quart, dixième, centième, millième, etc..). - savoir reconnaître des fractions égales et trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas des entiers naturels. - savoir aussi décomposer une fraction en une somme d un nombre entier et d une fraction inférieure à. Sur la droite graduée, les élèves doivent : - savoir ce qu est une graduation régulière (avec le choix d une unité) - savoir placer un nombre entier et quelques fractions simples sur une droite graduée. Les élèves doivent également savoir que notre numération de base dix est positionnelle, et être au clair sur les notions d équivalence, par exemple entre 0 dizaines et centaine, pour des nombres entiers naturels d au moins chiffres.
L écriture à virgule des nombres décimaux peut être présentée comme une simplification d écriture à partir des fractions décimales. Les documents d accompagnement des programmes ajoutent : «Les écritures à virgule prennent du sens en étant mises en relation avec les fractions décimales, ce qui correspond à l introduction historique des décimaux. Cela permet de comprendre que la valeur d un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale.» La présentation des décimaux à partir des fractions décimales permet donc d insister sur la signification de ces nombres et sur la valeur relative (en fonction de leur rang) des différents chiffres d une écriture à virgule. Dans les programmes officiels de l école élémentaire il est recommandé : «En dehors de la connaissance des fractions d «usage courant», le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales (fractions de dénominateur 0, 00, 000 ) Pour toutes ces raisons il est nécessaire de travailler les fractions décimales au cours d activités spécifiques. Travailler les mots nombres avec l ardoise, le jeu du furet, le jeu de loto Travailler les écritures équivalentes et les décompositions additives en se servant par exemple des jeux de mariage, loto, dominos, Faire placer des fractions décimales sur une droite graduée Proposer l utilisation réfléchie et non systématique d un tableau de numération pour mettre en évidence la place des dixièmes, centièmes Demander de passer de l écriture fractionnaire à l écriture décimale et inversement. Difficultés Identifier toute fraction à un nombre décimal et par exemple transformer l écriture avec 2,. - identifier tout nombre à virgule à un nombre décimal sans prendre conscience que la partie après la virgule doit être finie. Par exemple 00 2 qui vaut 0, est assimilé à un nombre décimal. - Ne reconnaître les nombres décimaux que lorsqu ils sont écrits avec une virgule et donc ne pas admettre qu un nombre entier est un nombre décimal. - De la même façon ne pas admettre qu un nombre écrit sous forme de fractions décimales est un nombre décimal et donc par exemple n est pas reconnu comme nombre décimal. - méconnaître la valeur positionnelle des chiffres après la virgule et la notion d échange de 0 dixièmes contre une unité, de 0 centièmes contre un dixième etc si bien que lorsqu il s agit de compter de dixième en dixième à partir de,8 par exemple on trouvera,9 ;,0 ;, ;,2 etc Pour comprendre la notion d ordre dans l ensemble des nombres décimaux et des nombres rationnels, il faut que les élèves apprennent de nouvelles propriétés et cela prend du temps. La première chose est de comprendre que pour ces nouveaux nombres, la notion de prédécesseur et de successeur n existe pas et donc qu entre deux nombres ont peut toujours en intercaler un autre. Par exemple, pour certains élèves il n existe pas de nombres entre 2, et 2, comme il n existe pas de nombres entre 2 et 2. Les élèves n ont pas alors présent à l esprit la façon dont les décimaux ont été construits, en partageant une unité en dix parties égales puis chacune de ces parties égales elle-même est partagée en dix parties égales et ainsi de suite. En second lieu la comparaison des nombres ne reposent plus sur la longueur des écritures et donc sur le nombres de chiffres de l écriture. Certains élèves diront que
7,0 est plus grand que 8, car le premier nombre a plus de chiffres que le second. Ils ne comprennent pas que ce qui compte, pour comparer deux nombres décimaux, c est la valeur positionnelle des chiffres qui composent ce nombre et donc qu il faut comparer les parties entières comme s il s agissait d entiers puis, en cas d égalité, traiter la partie décimale en respectant la valeur positionnelle de chaque chiffre. Il est donc fondamental de toujours demander aux élèves comment ils font pour comparer des nombres décimaux car parfois une méthode fausse peut conduire à un bon résultat. En effet 7, est supérieur à 7, mais ce n est pas parce que le premier nombre a plus de chiffres que le second mais parce que le chiffre des dixièmes du premier nombre est supérieur au chiffre des dixièmes du deuxième nombre. Enfin les élèves ont tendance à croire qu un nombre décimal est constitué de deux parties indépendantes qu ils traitent comme des entiers disjoints, juxtaposés. Par exemple pour comparer, et,2 certains élèves comparent les parties entières puis comme elle sont égales comparent les parties décimales comme s il s agissait d entiers. étant inférieur à 2 ils concluent que, est inférieur à,2. La numération décimale n est en fait pas acquise et la notion d échange dix contre de l ordre supérieure n est pas du tout assimilée. Par exemple, quand on demande aux élèves de compter de dixièmes en dixièmes à partir de,9 certains élèves écrivent ensuite,0 ;, ;,2 etc.ne comprenant pas qu ajouter un dixième à neuf dixièmes donne dix dixièmes et donc une unité car dix dixièmes sont échangés contre une unité. On voit bien que l abaque a encore toute sa place dans l apprentissage des nombres décimaux pour prendre conscience de ces échanges.
Programmes : Nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d un décimal à l unité près, au dixième près, au centième près. Compétences : En CM : Nombres décimaux - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu au /00ème). - Savoir :. Les repérer, les placer sur une droite graduée,. Les comparer, les ranger,. Les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,. Passer d une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Calcul : - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication d un nombre décimal par un nombre entier. - Division décimale de deux entiers. En CM2 : Nombres décimaux - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu au /0 000ème). - Savoir :. Les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,. Les comparer, les ranger,. Produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 0 ; 00 ; 000... et 0, ; 0,0 ; 0,00... - Donner une valeur approchée à l unité près, au dixième ou au centième près. Calcul : - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication d un nombre décimal par un nombre entier. - Division décimale de deux entiers.