TD de Physique n o 7 : Optique géométrique

E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M2 FE 3 e année Physique appliquée 2011-2012 TD de Physique n o 7 : Optique géométrique Exercice n o 1 : Dispersion angulaire d un prisme I- Déviation par un prisme On considère un prisme isocèle d angle au sommet A = 60, en verre d indice de réfraction n (cf figure cicontre). On envoie sur la face d entrée de ce prisme un faisceau laser de longueur d onde dans le vide λ 0. Le plan d incidence est dans un plan de section principale du prisme. On note i et r (resp. r et i ), les angles incident et réfracté à l entrée (resp. à la sortie) du prisme. 1. Équation du prisme. Définir la déviation D et donner les 4 équations permettant de déterminer cette déviation. 2. Condition d émergence du rayon incident. L indice de réfraction du prisme a une valeur proche de 1,5. Déterminer la plage d angles d incidence permettant au rayon lumineux d émerger du prisme. Faire l application numérique. 3. Minimum de déviation. a) À l aide des 4 équations de la question 1, montrer que la déviation présente un minimum en fonction de l angle d incidence i. Pour cela, on montrera au préalable que r = r = r m au minimum de déviation. Exprimer r m en fonction de A. b) On note D m la valeur de la déviation au minimum de déviation. Exprimer l angle d incidence i m au minimum de déviation en fonction de D m et A. 4. Application à la mesure d un indice de réfraction. a) Déduire des résultats précédents la valeur littérale de l indice de réfraction en fonction de A et D m. b) Pour la longueur d onde λ 0, on mesure D m = 36 20. Calculer la valeur de l indice de réfraction pour cette longueur d onde. II- Dispersion par un prisme L angle d incidence est maintenu fixe, mais la longueur d onde de la lumière incidente peut varier et l indice de réfraction du prisme, n, dépend de la longueur d onde. 1. Dispersion angulaire pour un angle d incidence quelconque. Pour un angle d incidence quelconque, calculer la dispersion angulaire, dd/dλ. Exprimer cette dispersion en fonction de A, r, i et dn/dλ. 2. Dispersion angulaire au minimum de déviation. On se place au minimum de déviation. Exprimer la dispersion angulaire en fonction de A, D m, dn/dλ. III- Application : mesure de la longueur d onde de la lumière du laser à l aide du prisme Le prisme précédent est monté sur un goniomètre. La fente source est dans le plan focal objet d une lentille convergente L 1. La lumière sortant du prisme est captée par une lentille convergente L 2. On observe les spectres sur un écran placé dans le plan focal image de L 2. La fente source est éclairée par deux faisceaux lasers colinéaires, de longueurs d onde voisines λ 0 = 632, 8 nm et λ (longueurs d onde dans le vide). Le prisme est réglé au minimum de déviation. La lentille L 2 a une distance focale f 2 = 40 cm. Le verre du prisme a une dispersion dn/dλ = 1, 0 10 4 nm 1. Les deux images de fentes sont séparées de 0, 60 mm sur l écran, la déviation la plus importante correspondant à la longueur d onde λ. En déduire la longueur d onde λ du second laser. 1

Exercice n o 2 : Fibre optique à saut d indice Une fibre optique à saut d indice d axe Ox est constituée d un cœur cylindrique de rayon ρ transparent, homogène et isotrope, d indice n 0, entouré d une gaine présentant les mêmes propriétés optiques mais d indice n 1 (n 1 <n 0 ). On considère un rayon SI situé dans un plan contenant Ox (cf figure ci-dessus). 1. Montrer que ce rayon ne peut se propager dans la fibre que si l angle d incidence θ i est inférieur à un angle θ max. Exprimer θ max en fonction de n 0, n 1 et N l indice de l air. 2. Déterminer la distance d entre ( deux intersections successives d un rayon lumineux avec l axe Ox en N fonction de ρ et de θ 0 (θ 0 = Arcsin n 0 sin θ i )). 3. Que pensez-vous du stigmatisme de cette fibre? Exercice n o 3 : Fibre optique à gradient d indice On considère une fibre optique d axe Ox dont le cœur transparent et isotrope a un indice qui varie continûment à partir de l axe suivant la loi : n = n 0 ar 2 dans laquelle r est la distance à l axe Ox et a une constante. Un rayon lumineux SO situé dans le plan xoy arrive sur la fibre sous l angle θ i. En un point M, le vecteur unitaire tangent u t à ce rayon fait avec Ox un angle θ (cf figure ci-dessus). 1. Sachant que n prend la valeur n 1 pour r = ρ le rayon du cœur, déterminer a en fonction de n 0, n 1 et ρ. 2. En utilisant la loi fondamentale de l optique, montrer que l équation différentielle du trajet du rayon SO est : ( dy 2 ( n ) 2 = 1. dx) A ( N A est une constante que l on exprimera en fonction de n 0 et θ 0 (θ 0 = Arcsin n 0 sin θ i ), N étant l indice du milieu extérieur à la fibre). 3. On donne n 1 /n 0 = 0, 99. Montrer que le terme (ay 2 /n 0 ) 2 peut être négligé dans l expression précédente. En déduire une expression simplifiée de (dy/dx) 2 en fonction de θ 0, n 0, a et y. 4. Établir l équation de la trajectoire simplifiée du rayon. Quelle est la nature de cette trajectoire? 5. Montrer que le rayon lumineux coupe l axe Ox en des points régulièrement espacés d une distance d que l on exprimera en fonction de θ i, ρ, n 0, N. Faire l application numérique pour θ i = 5, ρ = 15 µm, n 0 = 1, 50 et N = 1. 6. Quelle est la condition sur θ i pour que le rayon lumineux se propage dans le cœur de la fibre? 7. Que peut-on dire du stigmatisme de cette fibre quand les incidences θ i restent faibles? Exercice n o 4 : Théorie simplifiée de la formation d un arc-en-ciel On explique la formation d un arc-en-ciel par la réflexion à l intérieur d une goutte d eau d un rayon lumineux provenant du Soleil. Un rayon de lumière monochromatique, composant d un faisceau de lumière blanche, pénètre dans une goutte d eau sphérique d indice n et subit à l intérieur de la goutte une réflexion (cf figure ci-contre). 1. Expliquer pourquoi la réflexion du rayon dans la goutte ne peut pas être totale. 2. Quelle est la déviation D du rayon incident en fonction de l angle d incidence i et du premier angle réfracté r? 3. Trouver, en fonction de n, la valeur de sin i pour laquelle la déviation du rayon est minimale. Calculer α = π D pour n = 1, 33 (eau) et n = 1, 31 (glace). 2

4. Sachant que l intensité de la lumière émergeant de la goutte est maximale au minimum de déviation, expliquer la formation de l arc-en-ciel lorsque la lumière est blanche. On admet que la variation de l indice n avec la longueur d onde dans le vide satisfait la loi de Cauchy : n = n 0 + C λ 2 0 n 0 et C étant deux constantes positives. 5. On observe souvent un second arc-en-ciel d intensité plus faible et inversé par rapport au premier. Calculer β = D π. Interpréter sa formation en considérant une seconde réflexion dans la goutte d eau. Exercice n o 5 : Lentilles minces 1. Rappeler la définition d une lentille mince. 2. Construire l image B par une lentille mince d un point objet B situé en dehors de l axe optique. 3. Rappeler comment est construit le rayon transmis correspondant à un rayon incident sur une lentille mince. 4. Démontrer les formules de conjugaison de Newton et de Descarte. Problème : Télescope de Cassegrain I- Étude d un miroir sphérique. On considère le miroir sphérique de rayon R > 0, de centre C et de sommet S représenté sur la figure n 1. Figure n o 1 : Miroir sphérique de centre C et de sommet S. 1. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison reliant la position d un point objet A sur l axe à celle de son image A est donnée par : 1 SA + 1 SA = 2 SC. Les valeurs algébriques horizontales et verticales sont comptées positivement dans le sens des axes représentés sur la figure n 1. Cette relation de conjugaison est valable quels que soient les signes des valeurs algébriques SA, SA ou SC. 2. Définir et donner la position des foyers objet F et image F de ce miroir sphérique. On appellera distance focale f de ce miroir la quantité f = SF. Exprimer f en fonction de SC. 3. On considère un petit objet AB dans un plan perpendiculaire à l axe optique (cf annexe 1). La position du point B est repérée par la valeur algébrique AB, qui est positive puisque B est au-dessus de l axe optique. Construire, sur l annexe 1, soigneusement l image A B de AB par le miroir de la figure n 1. 4. Définir le grandissement transversal γ et l exprimer en fonction de SA et de SA. 5. Dans le cas des observations astronomiques, les objets (étoiles) sont situés à l infini. Quelle grandeur caractérise alors la position relative de deux étoiles? 3

Figure n o 2 : Utilisation d un miroir sphérique pour l observation de deux étoiles. Les pointillés indiquent la direction de l étoile B. 6. On désire observer deux étoiles A et B à l aide du miroir sphérique de la figure n 2. L étoile A se situe dans la direction de l axe optique et B dans une direction formant un angle α avec l axe optique. Comme le montre la figure n 2, on prendra un angle α non orienté. Sur l annexe 2, déterminer les positions de leurs images respectives A et B. 7. Exprimer A B en fonction de α et des caractéristiques du miroir. Comment a-t-on intérêt à choisir le rayon de courbure du miroir utilisé? 8. Discuter des avantages de l emploi des miroirs dans les télescopes par rapport aux lentilles utilisées dans les lunettes astronomiques. II- Étude d un des télescopes Cassegrain du VLT. Pour l observation d objets célestes, on n utilise pas un simple miroir sphérique, mais une combinaison de plusieurs d entre eux avec des formes différentes. L objet de cette section est d étudier un des quatre télescopes de type Cassegrain faisant partie du Very Large Telescope (VLT). Ce dernier est composé de deux miroirs dont la surface est une conique : un miroir primaire concave de forme parabolique, et un miroir secondaire hyperbolique convexe. Dans un souci de simplification, on peut modéliser chaque miroir par la calotte sphérique tangente à la surface réelle du miroir. Ainsi, dans les conditions de Gauss, le système réel est équivalent à un télescope formé de deux miroirs sphériques, dont l agencement et les caractéristiques numériques sont représentés sur la figure n 3. Figure n o 3 : Télescope du VLT en configuration Cassegrain. Le foyer F 1 se trouve entre S 2 et F 2. Le miroir primaire M 1, percé d un trou de diamètre D, en son centre, est concave, de sommet S 1 et de foyer F 1. On notera f 1 sa distance focale, R 1 son rayon de courbure et D 1 son diamètre. Le miroir secondaire M 2 est convexe, de sommet S 2 et de foyer F 2, situé à une distance e du sommet S 1. On notera f 2 sa distance focale, R 2 son rayon de courbure et D 2 son diamètre. Dans toute cette partie, on considère deux étoiles A et B, séparées d un angle α non orienté, l étoile A étant dans la direction de l axe du télescope et B étant située au-dessus de celui-ci dans le plan de la figure. 1. Déterminer la position des images successives de A par chaque miroir, notées respectivement A et A. En particulier, exprimer S 2 A en fonction de f 1, f 2 et e. 4

2. Sur le schéma donné en annexe 3, faire une construction soignée et détaillée des images B et B de B par les miroirs successifs. On fera bien apparaître sur la figure la méthode utilisée. 3. En notant γ le grandissement transversal effectué par le second miroir, exprimer A B et A B en fonction de f 1, γ et α. 4. Que représente A pour le télescope. Donner l expression de la focale équivalente f du télescope définie comme : f = A B α en fonction de γ et f 1. 5. Calculer numériquement la position de foyer global du télescope par rapport au sommet S 1, le grandissement γ et la focale équivalente f du télescope. On prendra soin de garder tous les chiffres significatifs donnés dans le tableau de la figure n 3. Que vaut la valeur algébrique A B dans le cas où les deux étoiles sont séparées de α = 1 d arc? 6. Dans ce cas, où γ > 1, quel est l avantage de cette configuration par rapport à un miroir unique? 7. Pour observer les images, on place une caméra CCD dans le plan de front de l image finale. Cette caméra est constituée de pixels carrés de 9 µm de côté. Quel est le plus petit angle δα séparant deux étoiles que l on peut espérer résoudre avec ce dispositif? 8. On note α m la valeur de α au delà de laquelle aucun des rayons frappant le miroir primaire n est réfléchi par le miroir secondaire. Exprimer α m en fonction des diamètres des miroirs, de e et de f 1 (on pourra utiliser l annexe 4). En déduire la taille angulaire du champ de ce télescope et faire l application numérique. 9. En réalité, le champ angulaire total n est que de 15 d arc. De quel élément provient en fait cette limitation du champ angulaire? 5