Première Loi binomiale. Intervalle de fluctuation Année scolaire 0/0 I) Raels sur l'utilisation des arbres ondérés : - haque issue est rerésentée ar un chemin - haque chemin est constitué de branches a) On alique le rincie multilicatif our déterminer la robabilité de chaque issue en multiliant les robabilités de toutes les branches qui constituent le chemin. b) Pour calculer la robabilité d'un événement, on ajoute les robabilités de toutes les issues qui constituent l'événement. Exemle : On lance deux fois de suite un dé non truqué à six faces numérotées de à. On modélise cette situation à l'aide d'un arbre ondéré :
ur chaque branche, on a une robabilité de Remarque : i on avait effectué trois tirages successifs, l'arbre aurait été comliqué à rerésenter à cause de ses trois niveaux de branches. i on note Ω l'univers, il contient éléments (il y a chemins dans l'arbre = issues ossibles) On considère deux événements : A : «Obtenir deux chiffres airs» et B : «Obtenir au moins un» 9 issues corresondent à l'événement A. haque issue a une robabilité égale à x = Donc P(A) = 9x = issues corresondent à l'événement B. Donc P(B) = x = onsidérons la variable aléatoire X qui comte le nombre de obtenus : Ecrivons la loi de robabilité de X : x i 0 P(X = x i ) 0 On choisit maintenant de modéliser la situation récédente de la façon suivante : On considère l'événement : «On obtient» Arbre ondéré : / / / est l'événement contraire de On eut considérer qu'obtenir est un succès et un échec. II) Ereuve de Bernoulli. chémas de Bernoulli : ) Définition d'une éreuve de Bernoulli de aramètre : 'est une exérience aléatoire n'ayant que deux issues ossibles : - oit succès avec une robabilité - oit échec avec une robabilité Exemles : jeu de Pile ou Face, on vise une cible : on réussit ou on échoue
) Variable de Bernoulli : oit X variable aléatoire valant 0 en cas d'échec et en cas de succès. On obtient la loi de robabilité suivante : x i 0 P(X = x i ) alcul de l'esérance de X : E(X) = 0x( ) + x = alcul de la variance de X : V(X) = ( )x(0 ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ) chéma de Bernoulli : a) Définition : oit n un entier naturel non-nul et [0;] Un schéma de Bernoulli est une exérience aléatoire qui consiste à rééter n fois de manière indéendante une même ereuve de Bernoulli de aramètre. Exemles : - On lance dix fois de suite un dé à six faces arfaitement équilibré et on s'intéresse à l'événement : «Obtenir» - Dans une très grande entrerise (afin d'assurer l'indéendance des réonses obtenues) on interroge séarément 0 emloyés our savoir si ils sont satisfaits de leurs conditions de travail. b) oefficients binomiaux : Activité de découverte : Une entrerise fabrique des ièces our l'industrie automobile. Elle a un cahier des charges avec des normes de fabrication que doivent vérifier les ièces roduites. haque ièce a une robabilité d'être en conformité avec ces normes et q = de ne as l'être. On choisit de rélever au hasard n ièces de manière indéendante. Notons X n : la variable aléatoire qui comte le nombre de ièces en conformité dans le rélèvement effectué. ) On rélève deux ièces. onstruire un arbre ondéré our cette situation. ombien de chemins mènent à l'événement (X = 0)? Même question avec (X = ) et (X = )? ) On rélève trois ièces. onstruire un arbre ondéré our cette situation. ombien de chemins mènent à l'événement (X = 0)? Même question avec (X = ), (X = ) et (X = )? ) oit n entier naturel, et soit k entier naturel tel que 0 k n, on note ( n k ) le nombre de chemins corresondant à l'événement (X n = k) quand on a rélevé n ièces.
( n k ) e lit «k armi n». Déterminer la robabilité de l'événement (X n = k) en utilisant la notation ( n k ) olution : ) Notons our conforme et our non conforme : - - - seul chemin mène à l'événement (X = 0) - chemins mènent à l'événement (X = ) - seul chemin mène à l'événement (X = ) ) - - - - - - - - seul chemin corresond à l'événement (X = 0) - chemins coresondent à l'événement (X = ) - chemins corresondent à l'événement (X = ) - seul chemin corresond à l'événement (X = ) ) On considère l'événement (X n = k) :
Il y a ( n k ) chemins coresondants à cet événement dans l'arbre et chaque chemin a une robabilité k x ( ) n k : car our chaque chemin, il y a k succès et donc n k échecs. Par conséquent : P(X n = k) = ( n k ) k x ( ) n k Définition : oit n N et k N tel que 0 k n Les coefficients binomiaux sont les ( n k ) ( se lit «k armi n») désignant le nombre de chemins corresondants à k succès lors de la réétition de n éreuves de Bernoulli identiques et indéendantes. Proriétés : a) Par convention : ( 0 0) = b) ( n k ) + ( n k +) = ( n + k +) Triangle de Pascal (Blaise Pascal (-) : Mathématicien, hysicien, inventeur, hilosohe, moraliste et théologien français ) n k 0 0 + + + + + + On retrouve les valeurs qui corresondent au nombre de chemins dans l'activité de découverte récédente. Remarque : oient a et b deux nombres réels : (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b
(a + b) = a + a b + ab + b On retrouve les coefficients du triangle de Pascal. ( 'est le binôme de Newton) Utilisation de la calculatrice our calculer les ( n k ) : (casio grah +) Exemle : alcul de ( 0 ) uis 0 uis nr uis Résultat affiché : 7 90 : Dans le menu RUN, auyer ensuite sur OPTN uis F uis PROB III) Loi binomiale : ) Probabilité : On considère un schéma de Bernoulli constitué de n éreuves de Bernoulli indéendantes, de aramètre. On ose X variable aléatoire qui comte le nombre de succès : P(X = k) = ( n k ) k x ( ) n k On dit que X suit une loi binomiale de aramètres n et Exemle : On tire successivement avec remise cinq cartes dans un jeu de cartes. Quelle est la robabilité d'avoir trois trèfles? Le fait de tirer les cartes avec remise assure d'avoir la même éreuve de Bernoulli réétée fois. (il y a bien à chaque fois deux issues ossibles : ou bien la carte est un trèfle ou bien elle ne l'est as) Posons X la variable aléatoire qui comte le nombre de trèfles à l'issue des tirages. X suit une loi binomiale de aramètres ( ; ) (car il y a 8 trèfles dans un jeu de cartes : 8 = ) On a P(X = ) = ( ) x( ) x( ) = 0 x x 9 = ) Esérance, variance et écart-tye : On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de aramètres n et : E(X) = n V(X) = n( ) σ(x) = n ( ) Remarque : omme on a réété la même éreuve de Bernoulli n fois, sachant qu'une variable de Bernoulli a une esérance de, on eut esérer gagner nx.
IV) Echantillonnage : ) Rael de seconde : Dans une oulation, la roortion d'un caractère est. On s'intéresse à un échantillon de taille n de cette oulation. On détermine la fréquence f du caractère dans cet échantillon. Exemle : On estime dans la oulation française la art des gauchers à %. On eut étudier ce caractère à l'échelle d'une classe (échantillon). Définition : (Intervalle de fluctuation au seuil de 9%) Dans une oulation, on considère un caractère ayant une roortion. On étudie ce caractère sur un échantillon de taille n. On aelle f la fréquence de ce caractère dans cet échantillon : i 0, 0,8 et n, alors dans 9% des cas au moins, f [ - n ; + n ] [ - n ; + ] est aelé intervalle de fluctuation au seuil de 9% n Exemle : Au Royaume-Uni, % des collègiens souffrent d'asthme. Dans un collège de 8 élèves, 8 ont récisé souffrir d'asthme sur leur fiche médicale. La fréquence observée sur cet échantillon aartient-elle à l'intervalle de fluctuation au seuil de 9%? oit f : fréquence observée 8 f = 8 0,8 On a = 0, et n = 8. es valeurs vérifient bien les conditions vues récédemment : ( 0, 0,8 et n ) 0, - 8 0,07 et 0, + 8 0,9 On a bien f [0, - 8 ; 0, + 8 ] ) Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale : a) Définition : i X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de aramètres (n ; ), l'intervalle de fluctuation au seuil de 9% de la fréquence f = X n sur un échantillon de taille n est : I = [ a n ; b ] où a et b sont deux entiers naturels les lus n
etits ossibles tels que : P(X a) > 0,0 P(X b) 0,97 Pour déterminer a et b, on va calculer un tableau de robabilités cumulées. On va utiliser la calculatrice. b) Utilisation de la calculatrice : (casio grah +) Menu TABLE OPTN TAT DIT BINM Bcd A l'écran : BinominalD(X,n,) (n et étant les aramètres de la loi binomiale de X) Ensuite : ET ermet de régler les valeurs de k. On en déduit a et b en vérifiant les deux conditions encadrées au-dessus. (Voir les exemles en exercices) c) Prise de décision : - On fait l'hyothèse que la roortion d'un caractère dans une oulation est. - On mesure la fréquence f sur un échantillon de taille n - On détermine I = [ a n ; b n ] - i f I, alors l'hyothèse est accetée au seuil de 9% - i f I, alors l'hyothèse est rejetée au seuil de %