Licence parcours Musique et Métiers du son ORRETION TD n 3 Acoustique 1 Applications SOURES AOUSTIQUES MUSIALES Exo : 1.1 Etude du onctionnement d une guitare basse. Une guitare basse 4 cordes est accordée ainsi : Fréquence Diamètre corde orde de MI 41 Hz 2,28 mm orde de LA 55 Hz 1,778 mm orde de RE 73,5 Hz 1,27 mm orde de SOL 98 Hz 0,762 mm La longueur libre de chaque corde est de L = 88 cm. La masse volumique étant de ρ = 7,2.10 3 kg.m -3. 1 - alculer la tension dans chacune des cordes. LONGUEUR 88 cm 0,88 m masse vol 7200 kg/m3 réquence diametre masse FORE Hz mm célérité(m/s lineique (kg/m N orde de MI 41 2,28 72,16 0,029396259 153,07 orde de LA 55 1,778 96,8 0,01787664 167,51 orde de RE 73,5 1,27 129,36 0,009120735 152,63 orde de SOL 98 0,762 172,48 0,003283464 97,68 2 En déduire la charge que subit le manche de la guitare. Il s agit de aire la somme des tensions dans les cordes : on trouve : 570, 9 N (soit 57 kg) Exo : 1.2 La partie vibrante d une corde de guitare à 80 cm de long. Après avoir été pincée, elle donne le LA 3 dont la réquence est 440 Hz. 1) Quelle est la longueur d onde λ stationnaire obtenue sur la corde? corde = n. De la ormule 2.L on peut en déduire que : 2L = = n.2.l déinition de la longueur d onde λ. Donc λ = 2.L = 1,6 m 2) Quelle est la vitesse de propagation d une onde dans cette corde? La célérité est donc = 1,6*440 = 704 m.s -1 (avec n = 1) ce qui correspond à la 3) Quelles sont les réquences inérieures à 2000 Hz sur lesquelles la corde, convenablement excitée, peut résonner? Il s agit des harmoniques de 440 Hz. Donc 880 Hz ; 1320 Hz et 1760 Hz 4) Peut-on obtenir toutes ces réquences en excitant la corde par son milieu? 1
non, si on pince au centre, on oblige ce point à être ventre de vibration. Seul 440 Hz et 1320 Hz peuvent être compatible. 5) Un choc décale le chevalet de la guitare, ce qui allonge la partie vibrante de la corde de 1,5 cm. Sur quelle réquence ondamentale résonne-t-elle à présent? La longueur devient 81,5 cm. La réquence devient 704/(2.0,815) = 432 Hz 6) Si l on ait résonner simultanément la corde précédente et un diapason donnant le LA 3, qu entend-on? Un battement modulation d amplitude de (440-432)/2 = 4 Hz. Exo : 1.3 Etude du onctionnement de la corde d un piano. A l instant t = 0, on rappe la corde avec un petit marteau de largeur e (e << L longueur de la corde) situé entre les abscisses x = a et x = a + e. e choc communique à la corde une impulsion initiale (v : vitesse initiale) à la partie rappée. 2.v.e a On admettre que les amplitudes A n sont de la orme : A n =.sin n. π. n. π. L 1 omment varie les amplitudes des harmoniques? Les amplitudes sont inversement proportionnelles au rang de l harmonique (1/n) 2 Si on rappe la corde en a = L/2, quelles sont les harmoniques restantes? a π Le sinus dans l expression de A n devient : sin n. π. = sin n. L 2 La onction sinus est nulle lorsque les rangs n sont pairs (n = 2, 4, 6.) 3 En posant (2.v.e/π.) = 0,01. Déterminer l atténuation en db des 5 premières harmoniques par rapport à la ondamentale. ommenter. 0,01 π L expression de A n devient :A n =.sin n. n 2 Mettons les résultas dans un tableau (nous tenons compte que des harmoniques impaires ici) : n = 1 A 1 = 0,01 (amplitude du ondamental n =3 A 3 = 0,01/3 = 0,0033 n = 5 A 5 = 0,01/5 = 0,002 n =7 A 3 = 0,01/7 = 0,00143 n =9 A 3 = 0,01/9 = 0,000111 Atténuations : 2
0,0033 Amplitude A 3 par rapport à A 1 20log( = -9,54 db 0,002 Amplitude A 5 par rapport à A 1 20log( = -13,97 db 0,00143 Amplitude A 7 par rapport à A 1 20log( = -16,9 db 0,000111 Amplitude A 9 par rapport à A 1 20log( = -19dB 4 On veut supprimer la 7 eme harmonique de la corde. Déterminer la position a du marteau. a a L Pour avoir A 7 = 0 (donc pour le rang n= 7) sin 7. π. = 0 7. π. = π a = L L 7 Remarque : Les marteaux du piano rappent les cordes au 1/7 ou 1/9 de leur longueur ; il ne peut alors se produire de nœud à cet endroit, et on évite ainsi la présence du 7ème ou du 9ème harmonique qui donneraient un timbre désagréable : il est acile de voir que ces harmoniques ne ont pas partie de l accord parait du son ondamental. Exo : 1.4 Etude du onctionnement de la trompette. 1) Fréquence ondamentale de la trompette. La trompette est considérée comme un tuyau acoustique ermé (par les lèvres du musicien) ouvert (pavillon). Les réquences de résonance sont déinies par : n = ( 2.n+1). La réquence ondamentale est donnée pour n = 0 ond = = 59,86 Hz A l extrémité ouverte, la pression acoustique est théoriquement considérée nulle (rélexion totale). ette hypothèse simpliicatrice (puisque, heureusement pour le musicien, une partie de la pression est transmise à l extérieur de la trompette) traduit le ait que la pression réléchie est considérablement plus importante que la pression transmise (on néglige cette dernière). A l extrémité ermée, c est la vitesse acoustique qui est considérée nulle. ette hypothèse, qui est peut-être moins diicile à apprécier que la précédente, est pourtant tout aussi discutable. En eet, les lèvres du musicien qui erment l extrémité dite ermée, sont loin d être «ininiment rigide». 2) Note correspondante à cette réquence. ette note est appelée «note d accord» La note «La» la plus proche de la réquence 60,71 Hz est le La 0 qui est à la réquence 55 Hz. Si on eectue le rapport entre les deux réquences : 59,86 55 = 1,1 = ( 12 2 ) n avec n le nombre de demi-tons qui séparent les deux réquences. On trouve n = 1,47 La note d accord n est donc pas très juste et cela correspond à une note entre Sib et Si. ependant, la valeur de la réquence ondamentale (qui donne la hauteur de la note d accord) peut luctuer suivant la valeur de la célérité (340 m.s -1 pour le calcul) qui varie en onction de la température. Lorsque la température augmente, la réquence augmente. De même l imprécision de la mesure de la longueur L peut entraîner des écarts dans le calcul de la réquence. Si la note d accord est un Sib, la réquence «juste» doit être : ond = 55. 12 2 = 58,27 Hz 3
Si on considère que la longueur est correcte, cela ait une célérité de : air =. ond = 331 m.s -1 ce qui correspond à une température de l air quasiment de 1 elsius. e qui n est pas une température très agréable pour jouer de la trompette!! 4) Longueur de variation de la coulisse d accord pour sonner «juste». Il y a un demi-ton d écart en dessous la note d accord. e qui signiie que la réquence ondamentale émise est égale à un La : ond = 55 Hz On peut écrire le système d équations suivant : ond = = 55 Hz ond = 4.(L + l) = 58,27 Hz (l étant la longueur à rajouter pour aire l accord) On obtient : D où : l = L.[ ond ond' = ond ond' (L + l) L - 1] = -7,96 cm (il aut donc diminuer la longueur du tuyau de 7,96 cm) e qui correspond à un déplacement d environ 4 cm pour la coulisse d accord. 5) Longueur de la coulisse correspondant au troisième piston Le calcul est similaire à la question précédente. On abaisse le son de trois demi-tons en activant le troisième piston, ce qui revient à ajouter la longueur l 3 à la longueur du tuyau. D où le système d équation : ond = = 58,27 Hz piston3 = 4.(L + l3) = 58,27.( 12 2 ) -3 = 49,06 Hz (l 3 étant la longueur de la coulisse recherchée) On obtient : ond piston3 = (L + l3) L D où : l 3 = L.[ ond piston3-1] = 26,65 cm Exo : 1.5 Etudes des instruments à maillets (Marimba ; Xylophone ; Vibraphone) Les barres sont mises en vibrations de lexion. haque vibration est ampliiée par un résonateur tube du type ermé-ouvert.. Les résonateurs du marimba sont accordés sur le ondamental de la vibration de la barre Les résonateurs du xylophone sont accordés sur le troisième harmonique de la vibration de la lame. 1) Les réquences de résonance d un tube ermé/ouvert sont : n = n. On dit que le résonateur du marimba (le tube) est accordé sur le ondamental de la barre. ette dernière produit un La 3, donc une réquence ondamentale égale à 440 Hz. On a donc la relation suivante : = 440 Hz La longueur du tube situé sous la barre est donc : L Marimba = = 19 cm (avec = 340 m.s -1 ) 4.(440) 4
2) On dit que le résonateur du xylophone (le tube) est accordé sur le 3 eme harmonique de la barre. ette dernière produit un La 3, dont la réquence ondamentale est 440 Hz. L harmonique de rang 3 est donc égale à 3.440 = 1320 Hz On a donc la relation suivante : = 1320 Hz La longueur du tube situé sous la barre est donc : L Xylophone = = 6,4 cm (avec = 340 m.s -1 ) 4.(1320) 3) Pour la note Do 1 Déterminons d abord la réquence correspondante à la hauteur Do 1. ette note est séparée du La 3 par 2 octaves et par 9 demi-tons. On a donc la relation suivante : On en déduit que Do1 = 65,4 Hz 110 = ( ) 9 12 2 (110 Hz correspond à la réquence du La 1 ) DO1 Pour cette note la longueur des barres respectivement pour le marimba et le xylophone sont : L Marimba = = 1,29 m 4.(65,4) L Xylophone = 4.(3.65,4) = 43 cm Exo : 1.6 Etude oreille externe Le conduit auditi de l oreille est assimilable à un tube acoustique ouvert et ermé (par le tympan), chez l adulte, la longueur moyenne du conduit est de 2,7 cm. Déterminer la réquence de résonance naturelle de l oreille, cette résonance correspond en ait à la sensibilité maximale de notre oreille (voir courbes de Fletcher). 340 Dans ce cas n = n. et pour n =1 1 = = 3148 Hz exactement. 4.0,027 Exo : 1.7 Accorder ses bouteilles On souhaite connaître la réquence que l on entend lorsque l on soule dans une bouteille. onsidérons une petite bouteille dont : longueur du goulot l=2 cm Diamètre du goulot d=1,5 cm Diamètre de la bouteille D=4 cm Hauteur de la bouteille h=6 cm Question : alculez la surace du goulot, le volume interne de la bouteille puis la réquence propre de la bouteille. On peut rester en cm Surace du goulot A =.d 2 /4 = 1,77 cm 2 Volume =.h.d 2 /4 = 75,4 cm 3 Donc la réquence propre est : = 34000. 2. π 1,77 75,4.2 = 586 Hz 5
Exo : 1.8 Estimation du volume V d une guitare Le caisse d une guitare acoustique agit comme un résonateur de Helmholtz dans le registre grave. La rosace a pour dimension : Diamètre : 10 cm Epaisseur de la table d harmonie : 3 mm On prendra la longueur corrigée pour lieux estimer la longueur de l évent du résonateur équivalent à la caisse de résonance de la guitare. Pour une guitare «olk» courante, la réquence propre de la caisse est accordée sur le La 1 Pour une guitare classique courante, la réquence propre de la caisse est accordée sur le Sol# 1 1) alculer pour ces types de guitare le volume de la caisse. La ormule de résonance est : avec A section de la rosace = π.0,1 2 /4 = 78,53.10-4 m 2 L longueur corrigé de l évent = 0,003 +0,8.0,1 = 0,083 m V le volume à déterminer Pour la guitare olk, la réquence de résonance est donc 100 Hz, on peut écrire : 110 = 340. 2. π 78,53.10 V.0,083 4 V = 0,022 m 3 Pour la guitare classique, déterminons la réquence correspondante au Sol# 2. La réquence du La 1 est 110Hz donc la réquence du Sol# 2 situé un demi ton en dessous est : = 110/1,0595 = 103,82 Hz Donc on peut écrire : 103,82 = 340. 2. π 78,53.10 V.0,083 4 V = 0,0257 m 3 6