Chapitre 8 Les engrenages Les engrenages ont pour fonction de transmettre un mouvement. Les engrenages sont généralement composés de roues dentées, mais peuvent aussi inclure des crémaillères et des couronnes. En transmettant le mouvement, les engrenages peuvent démultiplier la force appliquée. À l instar du palan qui servait à utiliser une force plus faible que le poids de la charge, mais sur une distance plus grande que l élévation de cette charge (section 4.3), le pignon d un engrenages utilisera un moment de force plus faible que celui que produira la roue, mais en tournant plus vite que cette dernière (figure 8.1). Les engrenages nous permettront d aborder deux nouveaux concepts, celui des variables angulaires et celui de la puissance. Roue Pignon Figure 8.1 Engrenage constitué d un pignon et d une roue. 79
80 Physique des mécanismes 8.1 Les variables angulaires La relation entre la longueur d arc s d un cercle de rayon r et l angle qui la sous-tend est s = r. (8.1) L angle doit être exprimé en radians. Lorsque la longueur d arc est égale à la circonférence, on retrouve bien l équation C =2fir. En divisant chaque membre de l équation (8.1) par le temps que prend un corps pour parcourir la longueur d arc, on obtient les relations de la vitesse angulaire Ê et de l accélération angulaire s t = t r v t = Êr (8.2) v t t = Ê t r a t = r. (8.3) Au mouvement circulaire correspondent les mêmes équations qu au mouvement rectiligne (voir tableau 8.1.) Exemple 8.1 Pendant que vous faites fonctionner le Rotor (voir figure 7.1), vous remarquez un passager en grande détresse et vous diminuez la vitesse angulaire du cylindre de 3, 4 rad/s à 2 rad/s en 20 tours, avec une accélération angulaire constante du manège. a) Quelle est l accélération angulaire durant cette diminution de la vitesse angulaire? b) Combien de temps la diminution de vitesse nécessite-t-elle? Solution
Chapitre 8. Les engrenages 81 θ s Figure 8.2 Relation entre la longueur d arc de cercle et l angle qui la sous-tend. Tableau 8.1 Les équations du mouvement circulaire à accélération angulaire constante. Variable absente Équation Ê f = Ê i + t (8.4) Ê f = Ê i t + 1 2 t2 (8.5) t Ê 2 f = Ê 2 i +2 (8.6) = 1 2 (Ê i + Ê f )t (8.7) Ê i = Ê f t 1 2 t2 (8.8)
82 Physique des mécanismes 8.2 Rapports de transmission Lorsque le mouvement d un engrenage est transmis par les dentures (figure 8.3), on obtient les relations suivantes s 1 = s 2 1 r 1 = 2 r 2 1 2 = Ê 1 Ê 2 = 1 2 = r 2 r 1. (8.9) Lorsque que le mouvement est transmis par un axe de rotation commun, les relations suivantes sont obtenues 1 = 2 s 1 r 1 = s 2 r 2 s 1 s 2 = v t1 v t2 = a t1 a t2 = r 1 r 2. (8.10) Exemple 8.2 Un cycliste professionnel sprinte à une cadence de 120 tours/min en utilisant un rapport de dentures plateau/pignon de 53/11. À quelle vitesse se déplace-t-il si la circonférence de ses roues est de 210 cm? Solution
Chapitre 8. Les engrenages 83 s1 s2 θ s 1 = s 2 θ 1 = θ2 Figure 8.3 Transmission par les dentures et transmission par un axe commun. ω 2 r 2 r 1 ω 1 R 3 ω 3 v vélo s 3 Figure 8.4 Transmission de la vitesse angulaire en vitesse linéaire sur un vélo.
84 Physique des mécanismes 8.3 La puissance La notion de travail vue aux chapitres 4 et 5 nous renseigne sur l énergie transférée par les di érente forces. Cependant, cette notion de travail ne nous renseigne pas sur la rapidité avec laquelle le travail est e ectué. La puissance est définie comme étant le taux auquel une force e ectue un travail P = W t. (8.11) Puisque W = F d on peut écrire P = F t d (8.12) = F v. (8.13) La figure 8.5 illustre un pignon hissant une charge en tournant à vitesse constante sur une crémaillère fixe. Si le pignon s élève d une hauteur h en un temps t, la puissance du moteur qui entraîne le pignon est P = U t = mgh. (8.14) t De plus, puisque F = /r et v = Êr, on peut trouver une relation entre la puissance du moteur et le moment de force que celui-ci applique à l arbre du pignon P = F 4 3 v = (Êr) (8.15) r = Ê. (8.16) Les équations (8.11), (8.13) et (8.16) nous donnent trois façons de calculer la puissance. La puissance est exprimée en watt (W) dans le SI, mais le cheval vapeur ou horse power (hp) est aussi couramment utilisé. 1 J/s =1W et 1 hp =746W. (8.17)
Chapitre 8. Les engrenages 85 v ω r 100 N Figure 8.5 Engrenage servant à hisser une charge.
86 Physique des mécanismes Exemple 8.3 Un moteur entraîne un pignon P sur un arbre a tel qu illustré à la figure 8.6. Le pignon entraîne à son tour une couronne C montée sur un arbre b. Le moteur développe une puissance de 4 hp et fonctionne à une fréquence de rotation constante de 300 tours/min. En supposant qu il n y a pas de perte d énergie dans ce mécanisme, déterminez a) le moment de force exercé par le moteur sur le pignon P et b) le moment de force exercé par la couronne C sur l arbre b. Solution
Chapitre 8. Les engrenages 87 C a P b Figure 8.6 Un pignon entraînant une couronne.
88 Physique des mécanismes 8.4 Exercices 8.1 Quelle est la vitesse angulaire (a) de l aiguille des secondes, (b) de l aiguille des minutes et (c) de l aiguille des heures d une horloge analogique. 8.2 Une roue possède six rayons espacés de manière égale. Le rayon de cette roue est de 30 cm. Elle est montée sur un essieu fixe et tourne à 2,5 tours/s. Vous voulez tirer une flèche de 20 cm parallèlement à son essieu à l travers la roue sans toucher un rayon. Supposez que la flèche et les rayons sont très minces. (a) Quelle doit être la vitesse minimale de la flèche? r ω (b) L endroit visé entre l essieu et la jante est-il important? Si oui, où est-il préférable de viser? 8.3 Un disque tournant initialement à 120 rad/s ralentit avec une accélération constante de 4 rad/s 2. (a) Combien de temps lui faut-il pour s arrêter? (b) Quel est le déplacement angulaire du disque durant cette période? 8.4 Une voiture de course se déplace sur une piste circulaire de 200 m de rayon. Sachant que la voiture est animée d une vitesse constante de 80 m/s, déterminez (a) la vitesse angulaire de la voiture et (b) la grandeur et la direction de l accélération de la voiture. 8.5 Un pignon de rayon r 1 =10cm est couplé par une courroie à une roue de rayon r 2 =25cm. Immobile au départ, la vitesse angulaire du pignon augmente à un taux constant de 1,6 rad/s 2. Déterminez le temps qu il faut à la roue
Chapitre 8. Les engrenages 89 pour atteindre une fréquence de rotation de 100 tours/min, en supposant que la courroie ne glisse pas. 8.6 Deux poulies sont utilisées avec une courroie dans l une ou l autre des trois positions. Si l accélération angulaire de l arbre A est 8 rad/s 2 et si le système est initia- A r 1 r 2 r 3 lement au repos, calculez le temps requis pour que l arbre B atteigne une fréquence de rotation de 300 tours/min avec la courroie dans chacune des trois positions. (r 1 = r 3 r 2 r 1 B 10 cm, r 2 =15cm, r 3 =20cm) 8.7 À quelle vitesse un moteur de 37,3 kw peut-il soulever une charge de 1500 kg? 8.8 Supposons que le moteur d une voiture produise 2,24 10 4 W de puissance effective à une vitesse constante de 27 m/s. Quelle est la force de frottement qui agit sur la voiture à cette vitesse? 8.9 Des boîtes sont transportées d un endroit à un autre dans un entrepôt à l aide d un convoyeur qui roule à une vitesse constante de 0,5 m/s. À un endroit donné, le convoyeur se déplace de 2 m vers le haut, le long d un plan incliné à 10 par rapport à l horizontale puis de 2 m à l horizontale et enfin de 2 m vers le bas, le long d un autre plan incliné à 10 par rapport à l horizontale. Supposez qu une boîte de 2 kg roule sur le convoyeur sans glisser. Quelle est la puissance du convoyeur (a) lorsque la boîte s élève le long du plan incliné à 10, (b) lorsqu elle se déplace à l horizontale et (c) lorsqu elle redescend le long du plan incliné à 10?
90 Physique des mécanismes 8.10 Un moteur entraîne un pignon P relié à un treuil T tel qu illustré ci-contre. Le rayon du tambour du treuil est r =18cm et celui de sa roue d engrenage est R =36cm. Si un poids de 100 N est hissé sur une hauteur h =1men1s, P R r T (a) quelle est la puissance e ective du moteur en supposant que la masse du treuil est négligeable? h (b) À quelle vitesse tourne-t-il? 100 N