L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun

9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun

1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet de modéliser l évolution dynamique d un système aléatoire : X n représente l état du système à l instant n. Propriété 9. Propriété de Markov L évolution future du système ne dépend du passé qu à travers de sa valeur actuelle. Autrement dit, conditionnement à X n, (X 0,..., X n ) et (X n+k, k N) sont indépendantes. Les applications des chaînes de Markov sont très nombreuses : réseaux, génétique ddes populations, mathématiques financières, gestion de stock, alogirthmes stochastiques d optimisation, simulation. On se place maintenant sur E un espace discret, c est-à-dire un espace au plus dénombrable muni de la topologie discrète où tous les points de E sont isolés. On considère la tribu E = P(E). Définition 9.3 Matrices stochastiques Une matrice P = (P (x, y)) x,y E est dite matrice stochastique si ses coefficients sont positifs et la somme sur une ligne des coefficients est égale à 1 : a. P (x, y) 0 ; b. z E P (x, z) = 1 ; pour tous x, y E. On donne une nouvelle définition des chaînes de Markov basée sur les probabilités. Définition 9.4 Chaîne de Markov II Soit P une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (X n, n N) à valeurs dans E est appelée chaîne de Markov de matrice de transition P si pour tous n N, x E, on a : P (X n+1 X n,..., X 0 ) = P (X n+1 = x X n ) = P (X n, x). On dit que la chaîne de Markov est issue de µ 0 si la loi de X 0 est µ 0. Remarques 9.5. a. Comme l espace d état est discret, l équation de la définition précédente est équivalente à : pour tous x 0,..., x n E, tels que P (X n = x n,..., X 0 = x 0 ) > 0 : P (X n+1 = x X n = x n,..., X 0 = x 0 ) = P (X n+1 = x X n = x n ) = P (X n, x). b. Si P (X 0 = x) = 1, autrement dit µ 0 est la masse de Dirac en x on dira plus simplement que la chaîne de Markov. Proposition 9.6 La loi d une chaîne de Markov (X n, n N) est entièrement caractérisée par sa matrice de transition, P et la loi de X 0, µ 0. De plus, on a, pour tous n N, x 0,..., x n E, P (X 0 = x 0,..., X n = x n ) = µ 0 (x 0 ) n P (x k 1, x k ). k=1 54 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES

Démonstration. Soit n N et x 0,..., x n E. Si P (X 0 = x 0,..., X n 1 = x n 1 ) > 0, une utilisation successive de la formule des probabilités conditionnelles donne : P (X 0 = x 0,..., X n = x n ) = P (X 0 = x 0 )P (X 1 = x 1 X 0 = x 0 ) P (X n = x n X 0 = x 0,..., X n 1 = x n 1 ) n = µ 0 (x 0 ) P (x k 1, x k ). Si P (X 0 = x 0,..., X n 1 = x n 1 ) = 0, k=1 soit P (X 0 = x 0 ) = 0, c est-à-dire µ 0 (x 0 ) = 0 et donc l égalité de la proposition reste vraie ; soit il existe m {1,..., n 1} tel que P (X 0 = x 0,..., X m 1 = x m 1 ) > 0 et P (X 0 = x 0,..., X m = x m ) = 0. Dans ce dernier cas, on peut utiliser l égalité de la proposition avec n = m et obtenir que : 0 = P (X 0 = x 0,..., X m = x m ) = µ 0 (x 0 ) m P (x k 1, x k ). k=1 On en déduit que l égalité de la proposition reste vraie avec les deux membres nuls. En conclusion, l égalité de la proposition est toujours vérifié. On donne un exemple de chaînes de Markov qui sera le but de l exposé. Exemple 9.7. La marche aléatoire symétrique simple sur Z, S = (S n, n 0), est définie par : n S n = S 0 + Z k k=1 où Z = (Z n, n 1) est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, P (Z n = 1) = P (Z n = 1) = 1/, et S 0 est une variable aléatoire à valeurs dans Z indépendante de Z. On vérifie facilement que la marche aléatoire simple est une chaîne de Markov à valeurs dans Z de matrice de transition : P (x, y) = 0 si x y = 1 1/ si x y = 1 pour x, y Z. Chaînes de Markov au lycée D après un article de Louis-Marise Bonneval paru dans le bulletin APMEP n o 503. L expression «chaîne de Markov» ne figure dans aucun libellé de programme de lycée. Mais on peut lire dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale S, sous le titre «Matrices et suites» : Il s agit d étudier des exemples de processus, déterministes ou stochastiques, à l aide de suites ou de matrices. Exemples de problèmes Matrice aléatoire simple sur un graphe à deux ou trois sommets. Matrice aléatoire sur un tétraèdre ou un graphe à N sommets (étude asymptotique d une marche aléatoire). et dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale ES : Les graphes probabilistes permettent d étudier des phénomènes d évolution simples, et de faire le lien avec les suites. Contenus : Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : matrice de transition, état stable d un graphe probabiliste. L article suggère cinq problèmes permettant de mieux cerner la notion de marches aléatoires. 9.. CHAÎNES DE MARKOV AU LYCÉE 55

1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat d assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : bas, intermédiaire, haut. La première année, l assuré paye le tarif intermédiaire. S il n a été responsable d aucun accident pendant une année, il passe au tarif inférieur l année suivante (s il est déjà au tarif bas, il y reste). S il a été responsable d au moins un accident au cours d une année, il passe au tarif supérieur l année suivante (s il est déjà au tarif haut, il y reste). La compagnie d assurance estime à 10% la probabilité qu un assuré pris au hasard soit responsable d au moins un accident au cours d une année. Quelle sera à long terme la répartition des assurés entre les trois catégories de tarif? Une ronde sur un triangle Nous sommes au XIV e siècle, dans le château de Poitiers. Il est triangulaire, flanqué d une tour à chaque sommet : Est, Nord, Sud. Partant de la tour Est, la sentinelle fait sa ronde sur le rempart. À chaque sommet du triangle, pour tromper l ennemi (et l ennui), il jette une pièce : pile, il continue dans le même sens ; face, il repart en sens inverse. Pourra-t-il assurer une surveillance comparable dans les trois directions? 3 La collection d autocollants Chaque semaine, Anna achète une tablette de chocolat Cébon. Chaque tablette contient un autocollant représentant soit une étoile, soit un cœ ur, soit un trèfle à quatre feuilles. Anna les collectionne pour décorer son journal intime. En supposant les trois motifs équirépartis entre les tablettes, combien de tablettes suffit-il d acheter pour être sûr à plus de 95% d avoir les trois types de dessin? 4 Pertinence d une page web Le réseau Internet peut être représenté comme un gigantesque graphe (non probabilisite), dont les N sommets sont les pages, et les flèches les liens qui pointent d une page à une autre. Un moteur de recherche, pour être utile, doit classer les pages par ordre de pertinence. Comment mesurer la pertinence d une page? 5 Les urnes d Ehrenfest On dispose de deux urnes A et B, et de N boules numérotées de 1 à N. Au début, toutes les boules sont dans l urne A. De temps à autre, on tire au hasard un numéro entre 1 et N, et on change d urne la boule correspondante. Au bout de combien d étapes peut-on espérer que toutes les boules soient à nouveau dans l urne A? 6 Bonus : Un exercice de 1 re S Une fourmi parcourt les côtés d un carré ABCD en partant du sommet A et met 1 minute à parcourir un côté. Arrivé à l un des sommets, elle choisit au hasard l un ou l autre des deux côtés issus de ce sommet pour poursuivre sa marche. On dit que la fourmi a traversé le carré lorsqu elle atteint pour la première fois le sommet C. On observe la fourmi pendant au plus 4 minutes et on note X le temps de la traversée. On pose X = 0 si la fourmi n a pas atteint le point C pendant l observation. 1. Faire un schéma du carré et les déplacements possibles de la fourmi.. Représenter cette expérience aléatoire à l aide d un arbre. 3. Déterminer la loi de proabilité de la variable aléatoire X. 4. Quelle est la probabilité que la fourmi ait traversé le carré pendant les 4 minutes. 56 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES

3 Un cas particulier de chaîne de Markov : marches aléatoires sur Z 3 1 Une activité d introduction sur Algobox Activité A. Sur un axe horizontal, un pion placé à l origine O du repère se déplace de la manière suivante : Si le lancer d une pièce équilibrée donne Pile, on déplace le pion d une unité vers la droite. Si le lancer d une pièce équilibrée donne Face, on déplace le pion d une unité vers la gauche. Quelle est la probabilité que le pion ne revienne jamais à sa position initiale? On va simuler la situation de la manière suivante : on effectue un certain nombre de déplacements, fixé par l utilisateur, et on teste si le pion est revenu à sa position initiale au cours de ces déplacements (on peut compter le nombre de fois où il est revenu à sa position initiale). VARIABLES alea EST_DU_TYPE NOMBRE X EST_DU_TYPE NOMRBE C EST_DU_TYPE NOMBRE I EST_DU_TYPE NOMRBE N EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME AFFICHER "Entrer le nombre de déplacement souhaités" LIRE N X PREND_LA_VALEUR 0 TRACER_POINT (0,0) POUR I ALLANT_DE 1 A N DEBUT_POUR alea PREND_LA_VALEUR floor(*random()) SI (alea==0) ALORS DEBUT_SI X PREND_LA_VALEUR X-1 FIN_SI SINON DEBUT_SINON X PREND_LA_VALEUR X+1 FIN_SINON TRACER_POINT (I,X) SI (X==0) ALORS DEBUT_SI AFFICHER "Le pion est revenu à sa position initiale après " AFFICHER I AFFICHER " deplaçements." C PREND_LA_VALEUR C+1 FIN_SI FIN_POUR AFFICHER "Le pion est revenu " AFFICHER C AFFICHER " fois à sa position initiale." FIN_ALGORITHME En exercice, vous expliquerez le fonctionnement de l algorithme. 9.3. UN CAS PARTICULIER DE CHAÎNE DE MARKOV : MARCHES ALÉATOIRES SUR Z 57

3 Nombre de chemins et probabilités On appelera chemin de (m, a) et (n, b) une ligne brisée, c est-à-dire une suite de segments joignant les points successifs (m 0, a 0 ), (m 1, a 1 ),..., (m r, a r ) qui commence au point (m 0, a 0 ) = (m, a) et se termine au point (m r, a r ) = (m, b) et tel que, pour tout 0 i < r, on ait m i+1 = m i + 1 et a i+1 = a i + 1 ou a i 1. Propriété 9.8 Soient (m, a) et (n, b) deux couples d entiers. Si b a n m et si n m et b a ont même parité, alors le nombre de chemins de (m, a) et (n, b) est exactement n m C n = n m + b a Démonstration. Étant donné un chemin joignant les points (m 0, a 0 ), (m 1, a 1 ),..., (m r, a r ), il est clair que la partié de m i+1 est l inverse de la parité de m i, tout comme la parité de a i+1 est l inverse de celle de a i. Si la suite m 0, m 1,..., m r change un nombre pair de fois de parité, il en va de même pour la suite a 0, a 1,..., a r (idem dans le cas impair), et donc les extrémités (m, a) et (n, b) vérifient la propriété «n m et b a ont même parité». De même, si b a > n m, alors pour joindre (m, a) et (n, b), il faudrait au moins b a montées (ou descentes), en seulement n m étapes. Enfin, si b a n m et n m et b a n ont pas même parité, alors tout chemin joignant (m, a) et (n, b) est obtenu en «montant» n m + b a fois et en «descendant» n m b a. En effet, si p désigne le nombre de montées, c est-à-dire le nombre d indices i tels que a i+1 = a i +1, et d le nombre de descentes, c est-à-dire le nombre d indices i tels que a i+1 = a i 1 alors on a n m = p + d (les n m pas du chemin étant soit des montées, soit des descentes), et b a = p d (la progression totale est égale au nombre de fois où l on a monté, p, multiplié par la valeur de la montée, 1, plus le nomber de fois où l on a descendu, d, multiplié par la valeur de la progression dans ce cas, 1). En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient bien p = n m + b a. Un chemin joignant (m, a) à (n, b) est alors caractérisé par l ordre dans lequel on monte et on descend, c est-à-dire par les indices i où l on monte. Il s agit donc de choisir n m + b a indices parmi n m, soit un nombre de chemins de. n m n m + b a Théorème 9.9 Principe de réflexion Soient a et b deux entiers strictement positifs, et m < n deux entiers. Alors le nombre de chemins joignant (m, a) à (n, b) et touchant l axe des abscisses est exactement le nombre de chemins joignant (m, a) à (n, b). Démonstration. La prevue de ce principe est assez simple : elle repose sur l idée qu un chemin joignant (m, a) à (n, b) passe nécessairement par la valeur 0. On peut alors établir une correspondance bijective entre les chemins de ces deux types par symétrie d une partie de ces chemins (à partir du moment où l on touche l axe des abscisses) par rapport à ce même axe. 58 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES

S n (m, a) (n, b) n (n, b) 3 3 Application sur des exemples Exemple 9.10. Au cours d un scrutin opposant deux candidats A et B, le candidat A obtient 600 voix et le candidat B en obtient 400. Quelle est la probabilité pour que A ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement? Nous allons modéliser le dépouillement par un chemin dans le plan. Lors du processus de dépouillement, on ouvre les enveloppes uen à unbe, cahcune contenant un bulletin «A» ou un bulletin «B». Si l on affecte la valeur 1 aux bulletins «A» et la valeur 1 aux bulletins «B», alors on peut représenter le déroulement du dépouillement par un chemin qui part du point (0, 0), va monter 600 fois et descendre 400 fois, donc qui arrive au point (1000, 00). On considère que tous les ordres possibles d apparition, au cours du dépouillement, des bulletins «A» et «B» sont équiprobables. Le nombre total de dépouillements possibles est C 600 1000. On cherche le nombre de chemins de (0, 1) à (1000, 01) qui ne touchent pas l axe des abscisses. C est le nombre total de chemins de (0, 1) à (1000, 01) (à savoir C 600 1000 ) moins le nombre de chemins de (0, 1) à (1000, 01) qui touchent l axe, c est-à-dire le nombre de chemins de (0, 1) à (1000, 01), soit C 399 1000. La probabilité cherchée, sous l hypothèse que tous les dépouillements possibles sont équiprobables, est donc : C 600 1000 C399 1000 C 600 1000 = 1 1000! 399!601! 1000! 400!600! = 1 400 601 = 01 601 0,334 La probabilité que le candidat ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement est d environ 0,334. Exemple 9.11. 100 personnes font la queue à un guichet de cinéma. La place coûte 5 e. 60 personnes ont un billet de 5 e, tandis que les 50 autres ont des billets de 10 e. Combien faut-il prévoir de billets de 5 e en caisse pour qu avec une probabilité d au moins 95%, tous les spectateurs soient servis, dans l ordre dans leuel ils se présentent à la caisse. Si l on appelle S 0 le nombre de billets de 5 e dans la caisse au moment initial, et ue l on trace la courbe représentative du nombre de billets de 5 e dans la caisse en fonction du nombre de spectateur qui ont déjà acheté leur billet, on obtient exactement un graphe du type voulu. À chaque fois qu un spectateur passeà la caisse, soit il a un billet de 5 e et paye avec, auquel cas le nombre de billets de 5 e dans la caisse augmente d un, soit il n a qu un billet de 10 e, auquel cas le nombre de billets de 5 e dans la caisse diminue d un, qui correspond à la monnaie qu on lui rend. Au total, sur les 100 spectateurs, 60 donnent un billet de 5 e et 40 en reçoivent un, et donc on a à la fin S 0 + 0 billets de 5 e. La courbe tracée est donc un chemin de (0, S 0 ) et (100, S 0 + 0). Pour que tous les spectateurs soient servis, dans l ordre dans lequel ils se présentent à la caisse, il faut que le chemin ne traverse pas l axe des abscisses. Il s agit donc de trouver le plus petit S 0 pour lequel la probabilité de traverser l axe des abscisses soit inférieur à 5%. Là aussi, étant donné S 0, la probabilité p S0 pour que le chemin traverse l axe des abscisses est la probabilité pour qu un chemin 9.3. UN CAS PARTICULIER DE CHAÎNE DE MARKOV : MARCHES ALÉATOIRES SUR Z 59

de (0, S 0 + 1) à (100, S 0 + 1) touche l axe des abscisses. C est donc le rapport du nombre de chemins de (0, S 0 + 1) à (100, (S 0 + 1)) au nombre de chemins de (0, S 0 + 1) à (100, S 0 + 1). On trouve : p S0 = C50 (S 0+11) 100 C 60 100 = 60!40! 40 (39 S 0 )!(61 + S 0 )! = k=40 S 0 k 61+S0 k=61 k. On calcule les valeurs successives de p S0 lorsque S 0 varie. On trouve les valeurs approchées suivantes : S 0 0 1 3 4 5 p S0 0, 656 0, 41 0, 49 0, 144 0, 080 0, 04 Il faut donc 5 billets au départ dans la caisse pour qu avec une probabilité d au moins 95%, tous les spectateurs soient servis. 3 4 Premier retour en 0 Lemme 9.1 La probabilité pour que S n soit nul est P (S n = 0) = Cn n n. Démonstration. En effet, le nombre de chemins de (0, 0) à (n, 0) est exactement C n n puisqu il correspond au nombre de façon de choisir les n montées (et donc les n descentes). Comme il y a par ailleurs n trajectoires possibles de longueur n ( choix possibles à chaque étape), et que toutes les trajectoires sont équiprobables, on a bien : P (S n = 0) = Cn n n. Si E := {n 1, S n = 0}, notons : T 0 = inf E si card(e) < + + sinon. T 0 correspond à l instant de premier retour en 0. S il est fini, il est nécessairement pair. La probabilité pour que le premier retour en 0 ait lieu à l instant n est : Théorème 9.13 P (T 0 = n) = 1 (Cn 1 n 1 n Cn n ) = (n )! n 1 n!(n 1)!. Démonstration. On distingue deux cas selon que l on a S 1 = 1 ou S 1 = 1. Si S 1 = 1, alors il s agit de calculer le nombre de chemins de (1, 1) à (n, 0) qui ne touchent pas l axe des abscisses avant l étape n. Mais le dernier pas est alors imposé : on a nécessairement S n 1 = 1, puisque l on cherche des chemins qui aboutissent à la valeur 0 sans avoir jamais touché l axe des abscisses. Il s agit donc de dénombrer le nombre de chemins de (1, 1) à (n 1, 1) ne touchant pas l axe des abscisses, c est-à-dire le nombre total de chemins moins le nombre de chemins qui touchent l axe. D après le principe de reflexion, ce dernier est égal au nombre de chemins de (1, 1) à (n 1, 1). Au total on trouve : C n 1 n Cn n. Conditionnellement à l hypothèse S 1 = 1, on trouve donc une probabilité pour que T 0 = n de Cn 1 n Cn n n 1. Le premier terme du produit est la probabilité pour que la marche aléatoire passe de la valeur S 1 = 1 à la valeur S n 1 = 1 sans toucher l axe (rapport du nombre de trajectoires favorables sur le nombre total de possibilités), et le facteur 1/ 60 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES

correspond à la probabilité pour que S n soit nul lorsque l on a S n 1 = 1 (il faut que le dernier pas soit de 1). Lorsque S 1 = 1, la situation est totalement symétrique, donc on trouve exactement la même probabilité. Au total, on a trouvé : P (T 0 = n) = Cn 1 n Cn n n 1. En revenant aux expressions définissant les nombres C k n on obtient : P (T 0 = n) = 1 (n )! (n )! n 1 (n 1)!(n 1)! n!(n )! (n )! = n 1 (n (n 1)) n!(n 1)! (n )! = n 1 n!(n 1)! On remarque, enfin, que cette dernière expression nous permet d obtenir la relation P (T 0 = n) = P (S n = 0) P (S n = 0). En effet, on a : Ainsi : P (S n = 0) P (S n = 0) = Cn 1 n C n n n = 1 (n )! n 4 (n 1)!(n 1)! (n)! n!n! (n )! = n n!n! (4n n(n 1)) (n )! = n 1 n!(n 1)!. P (T 0 = n) = P (S n = 0) P (S n = 0). 3 5 Modèle du joueur En exercice. Exemple 9.14. Une personne dispose d un capital de départ c (c entier). Elle joue à pile ou face de manière répété une somme de 1, jusqu à atteindre un but b qu elle s est fixée au départ, ou bien jusqu à ce qu elle ne puisse plus jouer (lorsque sa fortune atteint la valeur 0). Quelle est la probabilité pour qu elle atteigne son objectif b? 4 Marches aléatoires sur Z d 4 1 En deux dimensions On considère une marche aléatoire sur le réseau plan Z. Il y a ici quatre mouvements possibles à chaque site : en avant, en arrière, à droite, à gauche. FIGURE 9.1 Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau Z Pour de longues marches, la distribution de la position finale du marcheur se comporte asymptotiquement comme une distribution gausienne. 4 En trois dimensions On considère une marche aléatoire sur le réseau cubique Z 3. Il y a ici six mouvements possibles à chaque site : en avant, en arrière, à droite, à gauche, en haut et en bas. 9.4. MARCHES ALÉATOIRES SUR Z D 61

FIGURE 9. Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau Z 3 4 3 Récurrence et dimensionnalité 1. Récurrence Considérons une marche aléatoire isotrope (c est-à-dire tels que chaque mouvement, à un instant fixé, ait la même probabilité d être choisi) sur le réseau Z d à d dimensions spatiales. On peut toujours choisir de prendre le point de départ de cette marche comme origine O du système de coordonnées cartésiennes. La question de la récurrence consiste à se demander si on peut trouver au moins un instant t positif fini pour lequel la particiule repasse par l origine O. Définition 9.15 Marche aléatoire récurrente La marche aléatoire sera dite récurrente si et seulement si la probabilité que la particule repasse à l origine O pour un certain instant t ultérieur fini vaut 1.. Théorème de Pólya Le théorème de Pólya permet de relier récurrence et dimensionnalité de l espace. Théorème de Pólya Théorème 9.16 Pour d = 1 et d =, la marche aléatoire isotrope est récurrente. Pour d 3, la marche aléatoire n est pas récurrente ; on dit alors qu elle est transitoire ou transient. On sait calculer la probabilité que le marcheur, parti initialement de l origine, revienne à l origine, et ce pour toutes les dimensions d >. Cette probabilité p(d) admet l expression suivante : où u(d) est une intégrale à d dimensions : u(d) = Pour d = 3, on obtient l expression analytique suivante : où Γ(x) est la fonction Gamma d Euler. u(3) = p(d) = 1 1 u(d) d π π dx 1 dx d (π) d. π π d cos x 1 cos x d 6 3π 3 Γ( 1 4 )Γ( 5 4 )Γ( 7 11 4 )Γ( 4 ) 1, 516... 6 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES

On obtient donc en trois dimensions une probabilité de retour à l origine : p(3) 0, 3405... Des valeurs numériques pour u(d) (avec 4 d 8) ont été trouvés : d 4 5 6 7 8 u(d) 0, 193 0, 135 0, 105 0, 0858 0, 079 5 Marches aléatoires sur un groupe On considère un groupe (G, ), qu on suppose multiplicatif. On se donne une suite Y = (Y n ) n 1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi (qu on appelle ν), variables aléatoires toutes à valeurs dans (G, ). On se donne aussi une variable aléatoire X 0 à valeurs dans (G, ), de loi quelconque, et indépendante de Y = (Y n ) n 0. On pose alors, pour n 1 : X n = X n 1 Y n. Définition 9.17 Marche aléatoire sur G La suite X = (X n ) n 0 est alors une chaîne de Markov, et est dite marche aléatoire sur G de pas ν. On accepte aussi comme marche aléatoire, une suite définie par la relation de récurrence : X n = Y n X n 1. Pour distinguer les deux types de chaînes de Markov ainsi définies, on parle parfois de marche aléatoire droite et de marche aléatoire gauche. Le terme général p g,h de la matrice de transition de chaine de Markov est défini, pour (g, h) G, par : p g,h = ν(g 1 h) ou bien p g,h = ν(h g 1 ), suivant que la marche aléatoire est droite ou gauche. On peut vérifier que : g G p g,h = g G ν(g 1 h) = g G ν(g 1 ) = g G ν(g) = 1, car g g h et g g 1 sont des bijections de G dans G. Ainsi, une mesure uniforme sur G estune mesure stationnaire. 6 Marches aléatoires grandeur nature Une expérience scientifique originale s est déroulée le 16 octobre 005 dans les rues de Toulouse. Environ 300 lycéens, partis de la place du Capitole, ont parcouru les rues de la ville, en lançant à chaque carrefour le dé pour décider de leur trajectoire (mode d emploi distribué aux participants). Le but était de modéliser le célèbre mouvement brownien, à l occasion du centième anniversaire de l article d Albert Einstein qui en établissait la théorie. Chaque participant devait relever sa position après 10, 0, 30, 40, 50, et enfin 60 carrefours. Les cartes ci-contre figurent ces différents moments de l évolution du «nuage de participants». L expérience avait bien entendu des enjeux mathématiques et physiques, disciplines où la théorie des marches aléatoires est très présente et bien connue. Mais un résultat frappant fut l apparition de phénomènes liés à la géographie particulière de la ville. Les résultats théoriques classiques peuvent s établir facilement dans le cas de la marche aléatoire sur un «réseau régulier à maille carrée» (certains plans de villes américaines s approchent bien de ce modèle). On peut les résumer ainsi : le nuage de participants reste approximativement centré sur le point de départ 9.5. MARCHES ALÉATOIRES SUR UN GROUPE 63

il s étale de façon isotrope (identique dans toutes les directions : le nuage est «rond»), suivant une loi en racine carrée du nombre de carrefours parcourus. Sur les cartes ci-contre, on a ainsi tracé des cercles englobant 90% des participants à une phase donnée de l expérience. Ces résultats s étendent aux «réseaux irréguliers homogènes», c est-à-dire dans lesquels les quantités remarquables (la densité de carrefours, les nombres de rues par carrefours) sont globalement équivalentes aux différents endroits du réseau. Pour l expérience de Toulouse, la théorie est bien respectée, à deux perturbations près : une zone de très faible densité de carrefours, au nord-est de la place du Capitole, a donné lieu à une faible concentration de particules, mais aussi à quelques trajectoires très longues ; plus marquée, une sorte de «barrière» a été très peu franchie par les participants. Il s agit d une ligne, prolongeant la Garonne, qui contient très peu de points de franchissement. Le nuage de participants a en quelque sorte «rebondi» sur cette barrière. 64 LEÇON 9. MARCHES ALÉATOIRES