Notes de cours Sciences des matériaux MSM14

ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE MASTER SCIENCES DE L INGÉNIEUR Notes de cours Sciences des matériaux MSM14 Olivier HUBERT Professeur des Universités Ecole Normale supérieure de Cachan LMT-Cachan (ENS de Cachan - CNRS (UMR 8535) - Université Paris 6) 61 Avenue du Président Wilson, 94235 Cachan, France. Téléphone: 01 47 40 22 24, Télécopie: 01 47 40 22 40 hubert@lmt.ens-cachan.fr Année universitaire 2012-2013

Table des matières 1 CHAPITRE1-COHESION,LIAISONSETMATERIAUX 10 1.1 Cohésion des solides: élasticité... 10 1.1.1 Potentiel de liaison... 11 1.1.2 Conséquence 1: élasticité... 11 1.1.3 Conséquence 2: dilatation thermique... 13 1.2 Types de liaisons et propriétés... 14 1.2.1 1.2.2 Liaison covalente... Liaison ionique... 14 14 1.2.3 Liaison métallique... 15 1.2.4 Liaisons de faible intensité - Van der Waals, Hydrogène... 15 1.3 Classification des matériaux................................... 1.3.1 Les métaux et alliages: matériaux de "structure" les plus fréquents... 16 16 1.3.2 Les matériaux polymères... 18 1.3.3 Les céramiques et verres... 20 1.3.4 Structure des composites... 21 2 CHAPITRE2-CRISTALLOGRAPHIEETDIFFRACTIONDESRAYONSX 2.1 Eléments de cristallographie................................... 23 23 2.1.1 2.1.2 Structures et réseaux................................... Indices de Miller-Bravais... 23 24 2.1.3 Réseau réciproque... 26 2.2 Diffraction des rayons X - Condition de diffraction de Bragg.................. 28 2.3 Diffusion d une onde électromagnétique............................. 30 2.3.1 Diffusion par un électron........................... 30 2.3.2 Diffusion par un atome... 30 2.3.3 Diffusion par un réseau d atomes - facteur de structure... 31 2.3.4 Autres facteurs, intensité de diffraction... 33 2.4 Applications... 34 3 CHAPITRE3-CHANGEMENTDEPHASE 35 3.1 Notions d élaboration... 35 3.1.1 Elaboration des aciers... 35 3.1.2 Elaboration des alliages d aluminium... 36 3.1.3 Elaboration des alliages cuivreux... 36 3.2 Diagrammes d équilibre... 38 3.2.1 Thermodynamique de l équilibre............................. 38 3.2.2 Quelques définitions................................... 42 3.2.3 Construction du diagramme d équilibre... 44 3.3 Changement de phase hors équilibre, autres chargements... 50 3.3.1 Transformation displacive... 50 3.3.2 Transformation martensitique des aciers... 52 3.4 Influence d un chargement mécanique sur la transformation de phase... 52 4 CHAPITRE4-CINETIQUEDETRANSFORMATION 4.1 Compléments d analyse thermique... 55 55 4.1.1 Bilan thermique - équation de la chaleur... 55 4.1.2 La surfusion: typique exemple de source... 56 4.1.3 Interprétation en terme de variance, règle de Tamman.................. 58 4.2 Diffusion... 58 4.2.1 Conservation de la masse et loi de Fick... 60 4.2.2 Coefficient de diffusion... 61 4.2.3 Solutions classiques à l équation de diffusion - traitements de surfaces... 61 4.2.4 Microstructure et diffusion... 63 4.3 Introduction aux traitements thermiques............................. 63 3

4.3.1 Recuits-trempes-revenus... 63 4.3.2 Diagrammes TTT et TRC, modèles de croissance... 63 5 CHAPITRE5-PLASTICITEMICROCRISTALLINE 5.1 Contrainte à la rupture théorique... 64 64 5.1.1 5.1.2 Modèle de cohésion - traction... Modèle des sphères jointives... 64 66 5.2 Théorie des dislocations... 66 5.2.1 5.2.2 Microstructure réelle: défauts de structure........................ Plasticité cristalline, Dislocations... 66 67 5.2.3 Sources d écrouissage à l échelle cristalline... 71 5.2.4 Comportement à chaud: viscoplasticité, polygonisation, recristallisation... 73 5.3 Modèles de plasticité microcristalline... 75 5.3.1 Cission critique - Déformation à l échelle du grain... 75 5.3.2 Ecrouissage cinématique - Modèle composite de Mughrabi... 75 6 CHAPITRE6-PLASTICITEMACROSCOPIQUE 76 6.1 Eléments de formalisme thermodynamique... 76 6.2 Elasticité macroscopique... 76 6.2.1 Loi de comportement élastique isotherme et anisotherme... 76 6.2.2 Elasticité isentropique... 76 6.3 Critères de plasticité... 76 6.4 Lois de comportement plastique... 79 6.4.1 Surface de charge et écrouissages - uniaxial et multiaxial... 79 6.4.2 Eléments de formalisme thermodynamique... 80 6.4.3 Modèles classiques de plasticité............................. 82 7 Références bibliographiques desfigures 83 4

Avant propos Ce cours est orienté vers l aspect connaissance des matériaux dans le cadre de fonctions mécaniques, en particulier pour: 1/ la tenue mécanique 2/ la mise en forme. Les concepts fondamentaux de contrainte, déformation et énergie de déformation ont été vus.onutilisemaintenantcesconcepts pour l analyse du comportement des matériaux en relation avec leur microstructure. Un préalable sur la physique des matériaux est nécessaire afin de mieux associer le comportement général d une pièce àuneoriginephysiqueprécise.laconnaissancedumatériaupasse par celle de sa microstructure. On verra donc les concepts fondamentaux de cristallographie, applicables à tous les matériaux cristallisés (métaux, céramiques, polymères cristallins). Les phases en présence dans le matériau conditionnent également le comportement. Nous verrons la construction, les propriétés et les applications des diagrammes d équilibre, en particulier pour la prévision des microstructures et donc des propriétés mécaniques. Au chargement mécanique vient se superposer un chargement thermique: nous devrons introduire les principales lois de conservation associées àcenouveaumodedechargement:équation de la chaleur et équation de diffusion sont ainsi les deux grands outils qui permettent de traiter de problèmes de ce type. Nous introduirons ainsi les traitements thermiques et les traitements de surface pilotés par les mécanismes de diffusion. Les quelques mécanismes métallurgiques qui s opèrent sans diffusion seront discutés. Ils ont un rôle crucial pour la compréhension des matériaux à très haute limite d élasticité et du comportement des alliages à mémoire de forme. Le lien entre la microstructure ainsi obtenue et la tenue mécanique, ou l éventuelle prévision des efforts de mise en forme d une pièce nécessitent de s intéresser ensuite aux mécanismes irréversibles à l échelle de la microstructure.la notion de défauts et en particulier les défauts linéaires constitués pas les dislocations sera introduite, pour une bonne compréhension des mécanismes de plasticité à l échelle microscopique et d écrouissage. On verra que le déclenchement de la plasticité s effectue au delà d un seuil qui n est pas sans rappeler la notion beaucoup plusmacroscopiquedelimited élasticité. Le lien entre ce seuil local de glissement et la limite d élasticitémacroscopiquen estpassi aisé à obtenir. On préfère ainsi raisonner à l échelle macroscopique à l aide de lois de comportement écrites à cette échelle, même si les mécanismes microscopiques sous-jacents doivent toujours rester à l esprit.les lois de comportement non-linéaires associées à la plasticité seront ainsi introduites, d abord dans un cadre uniaxial puis multiaxial, sous-tendueparuneapprochethermodynamiquedont nous ne ferons qu effleurer le contenu. 5

SUITE DU MODULE: -MSP20-Miseenformedesmatériaux-outilsnumériques. -MSM20-mécaniquenon-linéaire. -MSM22-Analyseducomportementnonlinéairedesstructuresparlaméthodedesélémentsfinis -ContenudesTDs:Déterminationetconnaissancedesmicrostructures, mécanismes hors équilibre et àl équilibre,diffusion,plasticitémicroscopique,plasticité macroscopique tridimensionnelle Intervenants: O.Hubert, E.Morice, P.Mella GROUPE 1: OH GROUPE 2: EM GROUPE 3: PM -ContenudesTPs:observationdesphénomènes:traitementsthermiques, diffusion, transformation hors équilibre et à l équilibre, plasticité Intervenants: P.Mella, L.Gentot, K.Lavernhe, E.Morice GROUPES: à définir EVALUATION MODULE -1eresession:examen:70%(3h00)sansdocument;30%-TPs; -2emesession:examen:70%(3h00)sansdocument;30%-TPs;. 6

-RAPPELDESCONSIGNESDUCOURSetTD: => Présence obligatoire et à l heure des élèves normaliens: => Présence fortement conseillée et à l heure de l ensemble des étudiants => HORAIRES: 8h00-9h55 ou 10h05-12h00 ou 14h00-15h55 ou 16h05-18h00 -RAPPELDESCONSIGNESDETP: Toutes les séances de TP sont obligatoires pour tous! => HORAIRES: 8h00-12h00 ou 14h00-18h00 En cas de retard : retardinférieurà30minutes:1pointdemoins(0et15min),2points(15à30minutes). retardsupérieurà30minutes:refoulédelaséancedetp+considéré comme absent. En cas d absence à une séance de TP : Cas1:pasdejustificationvalable.0àlaséancedeTP. Cas2:justificationvalidée.0àlaséancedeTPMAISautorisation de rattraper à voir avec le responsable du TP ou du module. Port OBLIGATOIRE de la blouse en TP (retrait d 1 point sinon). Compte-rendus de TP: à déposer en ligne sur MOODLE (site d e-learning de l ens - accès par login et mot de passe), rubrique MSM14, 2 semaines après la séance (fermeture administrative du site internet après la date) 7

bibliographie: -M.FAshby,D.R.HJones,Matériauxetmicrostructure-Dunod, 1991. -J.Masounave,J.P.Baïlon,J.M.Dorlot,Desmatériaux,1998. -J.Barralis,G.Maeder,Précisdemétallurgie,Nathan,2005. -L.Chevalier,Mécaniquedessystèmesetdesmilieuxdéformables, ellipses, 2004. -Y.Adda,J.M.Dupouy,J.Philibert,Y.Quéré,Elémentsdemétallurgie physique (T1-3-5), INSTN CEA, 2000. -J.Lemaitre,J.L.chaboche,Mécaniquedesmatériauxsolides, Dunod, 2004. -J.François,A.Pineau,A.Zaoui,Comportementmécaniquedes matériaux I et II, Hermes, 1999. -J.Bénard,A.Michel,J.PhilibertetJ.Talbot,"Métallurgie générale", ed. masson, 1991. - B. Cullity,"ElementsofX-RayDiffraction", ed. Addison-Wesley, 1956. -C.Kittel,"Physiquedel étatsolide-coursetproblèmes"ed. Dunod (7ème édition) 2005. - J.-P. Eberhart,"Méthodesphysiquesd étudedes minérauxet des matériaux, ed. Doin éditeurs, 1976. -Illustrationdiversestrouvéessurinternetetlibresd utilisation non commerciale. 8

CHAPITRE 0 - INTRODUCTION Science des matériaux: Dans ce module nous nous intéresserons à la description des matériaux en relation avec leur comportement mécanique: élasticité (programme de L3) et plasticité tridimensionnelle. L objectif de ce cours est de: donnerlesélémentspermettantdecomprendrelesgrandesclasses de matériaux cristallographieetutilisationd outilsd analysedestructure (DRX) notiondephases transformationsàl équilibrediffusivesetdisplacives,transformationshorséquilibre diffusionettraitementsthermiques plasticitémicroscopique et macroscopique,lois de comportements non-linéaires Notations diverses employées: Mécanique u(m): déplacement; V (M): vitesse(eulerienne); Γ(M): accélération(eulerienne) F:tenseurgradientdetransformation,telque,legradientdelatransformationpermetlepassage de la configuration initialeà la configuration déformée. On définit ainsi pour tout vecteur initial d l 0 : d l = F.d l 0 E: tenseurdesdéformationsgreen-lagrange. :tenseurdesdéformations(hpp). D:tenseurdestauxdedéformations. :tenseurdescontraintes(cauchy). DX Dt = X t + X. V :dérivéeparticulaire. E = 1 2.(t FF I) = 1.(C I) 2 = 1 2.( u +t u) D = 1 2 (grad( V (M)) + t grad( V (M))) Thermodynamique U: énergieinterne(j)=>u:énergieinternelocale(j.m 3 ) E c :énergiecinétique(j)=>e c :énergiecinétiquelocale(j.m 3 ) W :travail(j)=>w:travaildesforcesextérieureslocales(j.m 3 ) P :puissancedesforcesextérieures(watt=j.s 1 )=>p:puissancedesforcesextérieureslocales (J.m 3 ) T :température( o K 1 )) => également quantité locale Q: quantitédechaleur(j)=>q:quantitédechaleurlocale(j.m 3 ) H:enthalpie(J)=>h: enthalpielocale(j.m 3 ) S:entropie(J. o K 1 )=>s: entropielocale(j. o K 1.m 3 ) F :énergielibre(j)=>f: énergielibrelocale(j.m 3 ) G:enthalpielibre(J)=>g:enthalpielibrelocale(J.m 3 ) 9

1 CHAPITRE 1 - COHESION, LIAISONS ET MATERIAUX Introduction à la structure et aux propriétés des principales classes de matériaux: matériaux cristallisés, alliages, polymères, composites, céramiques. Relations entre structure et propriétés thermiques et mécaniques: Les propriétés chimiques et résistance à la corrosion, propriétés électriques et magnétiques, voire certaines propriétés optiques seront aussi évoquées Matériau= matière transformée pour réaliser un objet. Transformation de la matière => obtenir des propriétés adaptées à l utilisation. Correspondance directe: matière => matériau, quand il existe à l état naturel. Une transformation de la matière est souvent nécessaire pour fabriquerunmatériau.celadépendde l usage. On développe les propriétés adaptées à l utilisation. On note plusieurs grandes classes de matériaux, parmi lesquelles: métauxetalliages céramiques verres semi-conducteurs polymères composites Les différentes propriétés recherchées habituellement sont: mécaniques électriques optiques magnétiques thermiques La propriétéqui nous intéresseest la propriétémécanique. Car les matériaux réels se déforment quand on les soumet à des efforts. 1. Le type de matériau rentre alors en compte: on pourra les qualifier de: -souple-rigide-plusoumoinsrésistant -visqueux 2. La sollicitation exercée sur le solide intervient également: exemple: un matériau pourra être plus ou moins résistant à un effort de traction ou de torsion. 3. La géométrie du solide, c est à dire sa structure, intervient également (équilibre). Le lien entre matériau et propriétés mécaniques (relation contrainte-déformation, limite d élasticité) s effectue souvent au niveau de la structure microscopique du matériau: sa microstructure. Exemple 1: bois: matériau fibreux => comportement anisotrope Exemple 2: acier(fe-c,avecde0à2%decarbone).acierdoux(peudecarbone) => limite d élasticité = 200MPa, Acier trempé (refroidissement rapide) => limite d élasticité = 1400MPa à cause du changement de structure. NB: impact également sur d autres propriétés! 1.1 Cohésion des solides: élasticité La plupart des matériaux utilisés sont solides à Température ambiante.ilsontleurformeproprece qui signifie qu une énergie est nécessaire pour déformer les matériaux. Il existe donc des forces de cohésion à l échelle atomique.=> ces mêmes forces imposent un arrangement à l échelle atomique. Ceci se traduit par exemple pour les métaux et alliages par les structurescristallines.energienécessaire pour déformer les matériaux => énergie de cohésion Forces de cohésion assurent la tenue de la matière soumise à unétatdecontrainte. 10

1.1.1 Potentiel de liaison La structure satisfait une énergie minimale. La distance entre atomes satisfait cette énergie minimale, entre attraction et répulsion électrostatique des noyaux. 2Modèlesd interactionsexistent: modèleclassiquedesressorts(linéaire) modèleélectrostatique(cristauxioniques) Potentiel électrostatique (2 atomes) : U c = qq 4πɛ 0 r Energie d interaction (Coulomb) pour 2N atomes : U c = N Z2 e 2 4πɛ 0 r M Avec M :constantedemadelung(1910)-m =1,7476 pour NaCl Z:degréd ionisation(nbred électronséchangés) ɛ 0 :permittivitéduvide(=8,854.10 12 A.s.V 1.m 1 ) Energie de répulsion (exclusion de Pauli) : U r = B r n => Extension du modèle électrostatique aux assemblage d atomes ou de molécules non ionisées. => l ensemble de ces énergies définit l énergie de liaison (ou potentiel de liaison-figure 67)minimale àladistanced équilibreentrelesdeuxatomes. U l = U c + U r Forme générale: U l = A r m + B r n avec n > m m=1 pour un milieu ionisé, =6 pour une liaison de Van der Waals; n=10 pour une répulsion électrostatique nucléaire. 1.1.2 Conséquence 1: élasticité => Tout écart r r 0 àlapositiond équilibrer 0 provoque une force qui tend à ramener l atome en place. Cette force d interaction entre les atomes dérive directement du potentiel de liaison F i + GradU l = 0 L action F nécessaire au déplacement r r 0 vaut l opposée à F i. => On peut exprimer une raideur locale (système assimilé à un ressort): k = df dr r=r 0 = d2 U l dr 2 r=r 0 approximation uniaxiale loi de comportement élastique (Hooke) = 1 E ν E tr( ) 11

FIG. 1 Potentiel de liaison - NaCl; force locale extérieure appliquéeet raideurde liaisonk associée. soit E = dσ rr dɛ rr r=r0 = r 0 S 0 df dr r=r 0 = r 0 S 0 d 2 U l dr 2 r=r 0 avec S 0 :sectiondetravailauquelserapportelaforce(n)pourexprimer une contrainte σ. La raideur k est donc proportionnelle en première approximation à la dérivée seconde de l énergie de liaison à la position d équilibre, donc inversement proportionnelle au rayon de courbure ρ du puits de potentiel (Lien direct avec le module de compressibilité -en touterigueur-,puismoduled Youngdu matériau considéré). => Lien direct également avec l amplitude de l énergie de liaison, donc avec la profondeur du puits. On montre que: d 2 U l = U dr 2 l (r 0 ) mn = 1 r=r 0 r0 2 ρ La vaporisation du matériau correspond à un position à l équilibre à l infini. L énergie de sublimation correspond donc à l énergie de liaison à la position d équilibre au zéro absolu. A une énergie de liaison forte correspond finalement une température de vaporisation (et donc de fusion) élevée et en règle générale un module d Young élevé. En accord avec le tableau de la figure 2. FIG. 2 Tableau récapitulatif de quelques modules d Young classiques. 12

1.1.3 Conséquence 2: dilatation thermique Une augmentation de température engendre des vibrations du réseau qui correspondent à une élévation du potentiel d une quantité Q (quantité de chaleur). Chaque atome peut alors se déplacer entre deux positions extrêmes: r min et r max (figure 3). FIG. 3 Influence d une augmentation de température sur la position moyenne des atomes. Compte tenu de la dissymétrie du puits, l agitation thermique correspondante s effectue à r moyen >r 0. l écart se traduit à l échelle de la pièce par une dilatation du matériau et par une diminution du module d Young (diminution de k). A noter qu en fonction de la profondeur du puits pour deux matériaux différents A et B,lecoefficientdedilatation(α =1/T r/r 0 (K 1 )) sera plus ou moins élevé (figure 4). A un module d Young élevé correspond un coefficient de dilatation faible. Cette règle est assez générale. Q Q FIG. 4 Influence de l intensité de la liaison sur le coefficient de dilatationpour deux matériaux A et B [10]. D autres phénomènes physiques (transition ordre-désordre magnétique,ferroélectrique)peuventà leur tour venir modifier les positions des atomes et la raideurdumatériauassocié.cf.figure5. NB: La démonstration ci-dessus peut se faire à partir d un développement limité aux 2ème et 3ème ordre du potentiel de liaison à l équilibre. L ensemble de ces facteurs conduit à ce que la matière adopte une configuration à énergie minimale. Au zéro absolu, les distances régulières que doivent respecter les atomes entre eux conduisent à des arrangements cristallins compacts. On retrouvera typiquement des arrangements cubiques ou hexagonaux dans le cas des liaisons dites peu peu "directionnelles"(métallique-figure10),desarrangements de moindre symétrie pour cristaux ioniques ou covalents. 13

FIG. 5 Evolution du module d Young du nickel et du nickel oxydé avec la température. Transitions d ordre ferromagnétique et antiferromagnétique [7] 1.2 Types de liaisons et propriétés Les liaisons qu on rencontre dans la nature peuvent être de différents types. On les classe généralement en fonction de leur intensité, de la plus élevée vers la plus faible. 1.2.1 Liaison covalente => mise en commun des électrons de valence par plusieurs atomes. => apparaît entre éléments à couche électronique supérieureincomplète Exemple 1:2atomesà7électrons=>miseencommunde2électronspourcompléter chacun à 8. => obtention d un corps extrêmement stable => liaison d autant plus forte que les électrons sont proches du noyau(éléments légers:basse masse molaire). => liaison directionnelle (arrangement particulier dans l espace) Exemple 2: Carbone(4électrons)=>4atomes => caractéristiques: pas d électrons de conduction, puits de potentiel profond. matériauxisolantsousemi-conducteurs réfractaires grandedureté => quelques exemples: C-C,diamants,graphite Silicium carbures,nitrures polymèresthermodurcissables(résines,...) Cas particuliers: -Sn(50électrons):tendancemétallique -Al-N(hétéropolaire):tendanceionique(électronégativité) 1.2.2 Liaison ionique 14

=> perte ou gain d un électron de manière à rendre complète la couche électronique supérieure => liaison de forte intensité Exemple 1: LiF = (Li+) + (F ) => liaison ionique surtout entre atomes de masse molaire différentes => plus les électrons sont proche du noyau, plus la liaison estforte. => liaison non directionnelle (arrangement respectant les équilibres électrostatiques). Exemple 2: NaCl FIG. 6 Structures cristallines des métaux et alliages [2] => Il peut apparaître une "conductivité ionique" à haute température. => quelques exemples: silice(sio 2 ), alumine (Al 2 0 3 ), zircone (ZrO 2 ) touslesoxydesmétalliques 1.2.3 Liaison métallique Pour les métaux, les forces qui assurent la cohésion résultent de l ionisation des atomes du métal qui perdent des électrons de valence et circulent entre les ions. => mise en commun des électrons de conduction au milieu d un réseau ionique. => liaison de bonne intensité Exemple 1: Na >Na + + e => nuage d (e )libres => arrangement cristallin des atomes à cause des forces d attraction et de répulsion: ions(+) et nuage( ) => empilement généralement hautement symétrique et compact. L arrangement cristallin se fait sur des échelles variables (du nanomètre jusqu à plusieurs centaines de microns). Une pièce métallique est généralement formée d agrégats polycristallins. => nuage d électrons libres => conductivités thermique et électrique élevées 1.2.4 Liaisons de faible intensité - Van der Waals, Hydrogène => Van der Waals: liaisons par formation de dipôles électriques, de type électrostatique (entre molécules, entre ions et molécules...) => Hydrogène: cas particulier de Van des Waals - 10 fois plus intense => polarisation des molécules avec la présence d atomes lourds fortement électronégatifs. Exemple 1: formationdemilieuxàhautetempératured ébullition:assemblage de molécules d eau. Exemple 2: ChloruredeVinyle-réticulationparl intermédiairedesliaisons hydrogène dû à la forte éléctronégativité du chlore => liaisons de faibles intensités, avec faible conductivité => polymères, cellulose 15

FIG. 7 Molécule de Chlorure de Vinyle [2] 1.3 Classification des matériaux On distingue plusieurs grandes classes de matériaux. L appartenance à telle ou telle classe dépend en priorité du type de liaisons que les atomes adoptent entre eux. La structure adoptée par le matériau va alors dépendre du caractère plus ou moins orienté de la liaison: FIG. 8 Matériaux et liaisons [10] Uneliaison"nondirectionnelle"auratendanceàfavoriserunestructureordonnéedetypecristaux. Il s agit en particulier de la liaison métallique et donc caractéristique des métaux et alliages; Leschargesdansuneliaisonioniquen autorisentqu uncertain nombre de combinaisons compatibles avec l équilibre électrostatique du matériau. Les liaisonsfaibles,quisontégalement d origine électrostatiques obéissent aux mêmes règles. La liaison covalente est directionnelle par définition. Lescompacitésdanslesliaisonsautresquemétalliquessont alors beaucoup plus faibles: les matériaux sont alors moins denses. 1.3.1 Les métaux et alliages: matériaux de "structure" les plus fréquents Matériaux métalliques: alliages dont un élément principal au moins est un métal => liaison métallique: possibilité de mouvements relatifs sans modification de la liaison => déformation plastique. 16

Les matériaux métalliques à l état solide se trouvent sous forme cristalline =>monocristaux ou "grains" pour un polycristal) 50 µm FIG. 9 Polycristal de fer pur [4] Au sein d un cristal, les atomes sont arrangés de manière périodique. 3 types d assemblages sont rencontrés pour les alliages métalliques: CubiqueàFacesCentréesCFC(ex.Cuivre,Aluminium,Nickel, Argent, Platine, Or) - FCC en anglais CubiqueCentréCC(Ferα, Chrome,Tantale,Vanadium,Molybdène)-BCCenanglais Hexagonalcompact HC(Titane, Zirconium,Cadmium,Zinc, Hafnium) - HCP en anglais (hexagonal close-packed). FIG. 10 Structures cristallines des métaux et alliages [3] Le modèle cristallin d empilement de sphère laisse une bonnepartduvolumeàdesvides.ondéfinit la compacité comme le rapport, pour une maille, du volume de matière effective (contenue dans les sphères) sur le volume occupée par la maille (ou un volume donné). La compacité maximale est obtenue pour les structures CFC et HC et elle n atteint que 0,74. Il est ainsi possible de définir des "sites" sphériques ou ellipsoïdaux définis par un rayon caractéristique de la taille et distribués un peu partout dans la maille. Deux types de site existent ainsi définis par leur nombre de coordinence (nombre d atomes en contact). sitesoctaédriques:6atomesencontact sitestétraédriques:4atomesencontact La figure suivante montre les deux types de sites pour les structures CC et CFC. Ces sites ont un rôle essentiel dans l élaboration des alliages, en particulier pour l acier (Cf. TD). 17

FIG. 11 Sites octaédriques (rouge) et tétraédriques (bleu) pour lesstructuresccetcfc.[2] Les matériaux métalliques sont rarement employés sous forme monocristalline(saufpourdesapplications très particulières: aubes de turbine,...) On utilise des polycristaux (figure 12), dont les grains sont assemblés selon des orientations cristallines qui peuvent être quelconques ou non (fonction de l histoire thermomécanique). => Cadre des milieux hétérogènes. DL 100µm Caractéristique des métaux et alliages usuels FIG. 12 Fe-3%Si NO - attaque au nital-4% [4] -alliages à base de fer: aciers= fer + carbone + autres éléments -aciers inoxydables au moins 13% de chrome (+ Nickel et autres): résistance élevée à la corrosion -aluminium et ses alliages: industrie aéronautique, allègement des structures -cuivre et alliages: conduction, corrosion, esthétique, qualité de friction (coussinets, connexions) 1.3.2 Les matériaux polymères Les matériaux polymères sont constitués de molécules géantes (macromolécules) organiques sur lesquelles peuvent être greffées des radicaux (fluor, soufre, silicium etc...). un même motif est répété, le monomère. Par exemple: Vinyle=> PVC,ou,danslecasdupolyéthylène: Monomère: Ethylène CH 2 = CH 2 Polymère: Polyéthylène ( CH 2 CH 2 CH 2 ) n => liaisons covalentes (mise en commun): associées souvent àundipôleélectrique;orientées. => lorsque la température augmente (T >T g ): état "vitreux"= fusion des liaisons faibles; T g :température de transition vitreuse du polymère. 18

FIG. 13 Macromolécule - liaisons covalentes et électrostatiques [3] Arrangement tridimensionnel: polarisés et rigidité moléculaire => polymère ramifié => conséquences sur la cristallinité => conséquences sur le comportement mécanique (rigidité, viscosité: lien entre contrainte et vitesse de déformation) Les matériaux polymères peuvent présenter une structure amorphe (polymères enchevêtrés (ou gélifiés) ou polymères à structure particulaire (ou "en pelotes")), ou cristallisée (Cf. figure 14). Les zones cristallisées peuvent prendre la forme de plaquettes ou de sphères (sphérolites). La structure cristalline est alors souvent complexe, de moindre symétrie que les métaux - lien étroit avec le procédé d obtention. On distingue: Polymères thermoplastiques FIG. 14 Sphérolites dans du polypropylène - lumière polarisée. [2] Ils sont constitués de macromolécules linéaires ou faiblement ramifiées. Alatempératureambiantelesliaisonsfaiblesentremacromolécules ne sont pas fondues. => Lorsqu on augmente la température, ces liaisons fondent ce qui permet la mise en forme et/ou le recyclage du matériau. Selon la rigidité moléculaire, les mouvements des molécules sont plus ou moins faciles. Plus les interactions entre groupements (radicaux) seront fortes, plus la structure dupolymère tendra à s organiser. Classement en 3 structures: atactique, isotactique et syndiotactique. (a) (b) (c) FIG. 15 Atactique, isotactique, syndiotactique 19

atactique :faiblerigiditémoléculaire-lesgroupementssontdistribués aléatoirement de chaque coté de la molécule.=> peu ou pas de cristallisation isotactique :lesgroupementsdumêmecotédelachaîne.=>formehélicoïdale dans l espace afin de minimiser les énergies d interaction.=> cristallisation rapide et susceptible d atteindre des taux de cristallinité élevés, typiquement supérieurs à 80% syndiotactique :lesgroupementsalternentdepartetd autredelachaîne=>la molécule peut présenter une forme de zigzag dans un plan=> cristallisationplusfaible que la forme isotactique(maxi 60%). Polymères thermodurcissables Ces polymères sont constitués de réseaux à mailles serrées. On peut les fabriquer à base de polymères thermoplastiques. Sous l effet de la chaleur ou en employant un catalyseur: nombreuses liaisons covalentes entre chaînes (réticulation de la résine). Les ponts entre chaînes ne pourront plus être "fondus" en augmentant la température, ces polymères ne sont pas recyclables. Exemples: larésineépoxy,résinepolyuréthane => plus grande rigidité que pour les thermoplastiques. Meilleures caractéristiques mécaniques en général (polymère technique - bonne usinabilité) Polymères élastomères Ces polymères sont constitués de réseaux à mailles larges => liaisons faibles fondues à température ambiante. => ponts covalents entre chaînes (faible nombre) sous l effet de la chaleur ou en employant un catalyseur (Identique aux polymères thermodurcissables: pas recyclables) Exemple:Lecaoutchoucnaturel. => un polymère linéaire de l isoprène (caoutchouc naturel liquide) => chargement en soufre + un traitement thermo-chimique (vulcanisation) => ponts soufre entre chaînes Un élastomère est peu rigide mais capable de très grandes déformations viscoélastiques (lien entre contrainte et vitesse de déformation élastique). 1.3.3 Les céramiques et verres Les céramiques sont définies comme des produits inorganiquescristallisées. Les verres sont définis comme des produits inorganiques amorphes. NB: il existe également des verres "métalliques". Le terme de céramique étant très large, il englobe une vaste gamme de matériaux : -céramiquestraditionnelles -oxydespurs -verres -carburesetnitrures -cimentetbétons On distingue: Céramiquesnaturelles:argile(kaolin),pisée,rochesdetoutes natures.. 20

Céramiquesartificielles:ferrites(aimants),matériauxréfractaires (SiC, Si 3 N 4 ); biomécanique (Al 2 O 3, ZrO 2 ). Liaisons ioniques ou covalentes: => Céramiques ioniques: Structure type NaCl,stabilitéélectrostatique.Exemple:magnésie(MgO), la zircone, ou l alumine. => Céramiques covalentes: Silice SiO 2,corpsdebasedelaformationduverre(onyajouted autres éléments).. le diamant, de même le carbure de silicium. => état amorphe, cristallin ou semi-cristallin => Liaison directionnelles: pas de possibilité de se déformer. => mise en forme par frittage essentiellement (mécanisme de diffusion) - réaction chimique pour les bétons - dépôt par pulvérisation cathodique (plasma). Exemple d un ferrite Fe 2 O 3 MO FIG. 16 Faciès de rupture d un ferrite Ni-Zn fritté à 1200 o C[6]. => ferrite nickel-zinc, structure cristallographique cubique à faces centrées => M correspond à un mélange Ni 0,48 Zn 0,52. => utilisation pour transformateurs en électronique 1.3.4 Structure des composites Composite= mélange de matériaux de différentes natures. Mélange d éléments= on parle d alliages, pas de composites. Exemple classique: Mélanges polymères + fibres (métalliques, ou céramiques): CC, verre-époxy, SMC Métal + fibres céramiques (bore, alu), titane-alumine (composites à matrice métallique) => haute caractéristique mécanique grâce à un transfert de charge (contrainte de cisaillement) entre la matrice et la fibre. 21

FIG. 17 Faciès de rupture d un composite verre-epoxy. [2] 22

2 CHAPITRE 2 - CRISTALLOGRAPHIE ET DIFFRACTION DES RAYONS X 2.1 Eléments de cristallographie 2.1.1 Structures et réseaux Quand un matériau est cristallisé, cela signifie que les atomes sont arrangés de manière périodique en suivant un motif de base, le type de motif définit la structure du matériau. => Expérience de Laue (1912), interprétation de Bragg (1915)puisd Ewald(1921). => 7 systèmes cristallins possibles (maille primitive), associés à 14 réseaux de Bravais (mailles élémentaires) => maille primitive= 1 atome par maille (corps pur) => maille élémentaire= plusieurs atomes possibles => notion de motif => dupliqué aux noeuds du réseau - simple ou primitif (P), centré (I), facescentrées(f), bases centrées (A,B,C). => nombreuses structures Structure= motif x réseau. => multiplicité m:nombred atomesparmaille Les 7 systèmes cristallins sont: FIG. 18 Illustration des 14 réseaux de Bravais [1] triclinique: a b c et α β γ monoclinique: a b c et α = β =90 o γ orthorhombique: a b c et α = β = γ =90 o rhomboédrique(outrigonal): a = b = c et α = β = γ 90 o 23

hexagonal: a = b c et α = β =90 o γ =120 o tétragonal(quadratique): a = b c et α = β = γ =90 o cubique: a = b = c et α = β = γ =90 o Les 14 réseaux de Bravais (figure 18) sont: triclinique:simple(m=1) monoclinique:simple(m=1), centré (m=2) orthorhombique:simple,centré(m=2), bases centrées (m=2), faces centrées (m=4) rhomboédrique:simple(m=1) hexagonal:simple(m=6! - maille primitive monoclinique) tétragonal:simple(m=1), centré (m=2) cubique:simple(m=1), centré (m=2), faces centrées (m=4 - maille primitive rhomboédrique) Du fait de la périodicité du réseau, on peut repérer tout atome duréseaucristallinettoutplandu réseau cristallin par des indices entiers relatifs (indicesdemiller),notésgénéralement(h,k,l). 2.1.2 Indices de Miller-Bravais M O FIG. 19 Repérage d un atome à l aide de la base associée au motif Considérons un cristal dont les atomes (noeuds) sont repérés parlespointso,a,betctelsque: OA = a. e x OB = b. ey OC = c. ez où ( e x, e y, e z ) désigne une base normée de l espace, et a, b, etc les coordonnées des points A, B et C (en m) à l intérieur de la base. Ces 3 vecteurs définissent une maille correspondant à un des 7 systèmes cristallins. Le volume de la maille est donné par: V =( OA OB). OC On choisit maintenant une base métrique associée à la maille telle que: Notion de rangée e 1 = a. e x e 2 = b. e y e 3 = c. e z La position d un atome M quelconque se définit maintenant à l aide de coefficients sans dimension: OM = u. e 1 + v. e 2 + w. e 3 => Les indices (u,v,w) sans dimension correspondent au vecteur directeur d une droite reliant périodiquement différents atomes. Ils désignent une rangée. => si la maille définie par ( e 1, e 2, e 3 ) est primitive, (u,v,w) sont nécessairement entiers relatifs. 24

=> la notation [uvw] désigne une direction particulière. => compte tenu des symétries du cristal, certaines directions peuvent être jugées "équivalentes". On notera une famille de directions par <uvw>. Notion de plan réticulaire Considérons un plan (π) compris à l intérieur de la maille définie par les 3 vecteurs ( e 1, e 2, e 3 ).Ce plan coupe les 3 axes aux points en A, B et C tels que: C ' M C' 1/l M A ' O ' B A' 1/h O 1/k B' FIG. 20 Plan réticulaire dans le motif. OA = α. e 1 α, β et γ sont nécessairement inférieurs à 1. L équation du plan (π) est donnée par: OB = β. e 2 x α + y β + z γ =1 OC = γ. e 3 Compte tenu caractère discret des positions atomiques et donc des plans, 1/α, 1/β et 1/γ correspondent à des entiers relatifs. Leur plus petit multiple commun correspond à trois nombres entiers relatifs (h,k,l) qui sont les indices de Miller du plan considéré. L équation du plan élémentaire est: hx + ky + lz =1 et tout plan parallèle et équidistant par rapport à O (éventuellement en dehors du motif) s écrit: hx + ky + lz = q q, étantunnombreentiernaturel(enparticuliervraipourq =0:planparallèlepassantparO). On emploie la désignation suivante: (hkl) désigne un plan particulier {hkl} désigne une famille de plans (plans obtenus par symétrie ou homothétie) NB:utilisationde4indicespourleHC(3vecteursdebaseà120 o +vecteurnormalàlabase: surdétermination) => (hkml) tel que m=-(h+l) Exemple de plans du système cubique (figure 21). Pour le cubique, le repère est orthonormé. Prenons le plan (hkl) passant par O. Son équation est: hx + ky + lz =0 soit un point M appartenant au plan, M est tel que: OM = u. e 1 + v. e 2 + w. e 3 25

(u,v,w) sont les coordonnées du point M vérifiant l équation du plan, soit: hu + kv + lw =0 On nomme OM le vecteur construit à partir de (h,k,l) On constate que: soit, compte tenu du résultat précédent: OM = h. e 1 + k. e 2 + l. e 3 OM. OM = a 2 (hu + kv + lw) OM. OM =0 traduisant le fait que OM est un vecteur orthogonal au plan (π). FIG. 21 Repérage des plans dans le réseau cubique [9] 2.1.3 Réseau réciproque Soit ( e 1, e 2, e 3 )lesvecteursdebasedelamailleduréseaudirect(réel). e 1 s exprime en unité de longueur (m, Å). on note ( e 1, e 2, e 3 )lesvecteursdebaseduréseauréciproque. Définis tel que: soit, On observe également: e 1 = e 2 e 3 e 1.( e 2 e 3 ) => dimension inverse d une longueur. réseau réciproque et cristallographie e 1. e 1 =1 e 2. e 2 =1 e 3. e 3 =1 e 2 = e 3 e 1 e 1.( e 2 e 3 ) e = 1 ecos( e, e ) e 3 = e 1 e 2 e 1.( e 2 e 3 ) Soit un vecteur R du réseau réciproque défini à partir des indices de Miller: 26

C' 1/l R H O 1/k A' 1/h B' FIG. 22 Repérage du vecteur du réseau réciproque associé au plan (hkl) Soit par ailleurs le plan (π) défini par R = h. e 1 +k. e 2 +l. e 3 hx + ky + lz = q Le vecteurs non colinéaires U = 1 h e 1 1 k e 2, V = 1 h e 1 1 l e 3 et W = 1 k e 2 1 l e 3 appartiennent au plan. On observe que: R. U =0 R. V =0 R. W =0 Le vecteur R est donc perpendiculaire au plan (hkl). On définit par ailleurs l angle φ tel que φ =( OA, R), etlepointh, appartenantauplan(hkl) et correspondant à l intersection de R avec le plan. On a: OA. R = 1 h e 1.h e 1 =1= OA. R.cosφ Le point H correspond également à la projection du point A sur l axe R.Onadonc: OH OA = cosφ On remplace dans la première équation et on obtient: R. OH =1 OH représente la distance entre O et le plan (hkl), soitladistanceentrechaqueplandelafamille {hkl}. Onnoteracettedistance:d hkl.cettequantitéestessentielleendiffraction.ellevaut: d hkl = 1 R ou d 2 hkl = 1 R 2 = 1 R. R AN: réseau cubique: d hkl = a h2 + k 2 + l 2 Les plans du réseau direct correspondent à des points (noeuds) dans le réseau réciproque distants de R. Réseau réciproque et transformée de Fourrier 27

soit f( r) une propriété du réseau direct - r:positiondansleréseaudirect. On définit la transformée de Fourrier de f( r) par: F ( K)=TF(f( r)) = V f( r).exp(2jπ( r. K))dv => F ( K) représente l amplitude de la propriété dans l espace réciproque ou espace des "phases". K abienunedimensioninverseàdesmètres. Soit T translation de réseau, assurant l invariance de la propriété f( r),onpeuténoncerunecondition de périodicité selon: TF(f( r)) = TF(f( r + k T )) k entier relatif. Cette condition est vérifiée si et seulement si: Soit: T. K =1. Ainsi, K est le vecteur réciproque de T. exp(2jπ(k T. K)) = 1 Ainsi l amplitude de la transformée de Fourrier est maximalequandr est un vecteur reliant 2 noeuds du réseau réciproque. F ( R)= f( r).exp(2jπ( r. R))dv V f( r) non nulle en chaque position d atome => en r = k T,latransforméedefourrierestalorsmaximale. ATTENTION: pas vrai si position d atomes à l intérieur de la maille (exemple r = 1 2 T ). 2.2 Diffraction des rayons X - Condition de diffraction de Bragg L analyse cristallographique se fait généralement à l aide d une source de rayons X monochromatique cohérente. Elle est obtenue à l aide d un tube à rayons X(désexcitationd atomeslourdsd une cible impacté par un faisceau électronique - 10-30 kev), ou d un synchrotron (émission par accélération centripète de particules chargés portées à grande vitesse). Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement du nuage électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une réémission d ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion Rayleigh. La diffraction correspond à une diffusion d ensemble coopérative (faisceau réfléchi cohérent) pour quelques angles d incidence particuliers du faisceau relativement au plan du cristal. La longueur d onde des rayons X étant de l ordre de grandeur des distances interatomiques (quelques angström), les interférences des rayons diffusés vont être alternativement constructives ou destructives relativement au plan considéré et à l angle d incidence. Les directions dans lesquelles les interférences sont constructives, appelées «pics de diffraction», peuvent être déterminées très simplement par la formule suivante, dite loi de Bragg : 2d hkl sin(θ) =nλ En plaçant par exemple un émetteur ponctuel et un détecteur courbe, on mesure pour certains angles θ un pic d intensité correspondant à une diffraction (faisceau réfléchi cohérent - figure 23). Il suffit ensuite d identifier ce pic (indices h,k,l correspondants) relativement à la structure du matériau (règle 28

θ O g θ d(hkl) H θ θ O' K k ko FIG. 23 Illustration de la relation de Bragg FIG. 24 Diagramme de diffraction d une zéolithe. des sinus croissants => Cf TD). Exemple du diffractogramme de poudred unezéolithe(aluminesilice): figure 24 Sphère d Ewald On associe à l onde incidente et à l onde réfléchie un vecteur d onde notés k et k définis selon: k = 1 λ u et k = 1 λ u Ces deux vecteurs sont de même normes (inverse de la longueur d onde) mais forment entre eux un angle 2θ selon la définition de Bragg. Si k est pris comme fixe et k mobile de même origine, k décrit un cercle (2D) ou une sphère (3D). C est la sphère d Ewald de rayon 1 λ. On note R le vecteur défini par: R = k k Le triangle formé par R, k et k est isocèle. La norme de R vaut donc: R =2sinθ. k = 2 λ sinθ Lorsque l angle θ correspond à une angle de diffraction, alors on a, d après la relation de Bragg: R = 1 d hkl. R correspond donc à un vecteur joignant 2 noeuds du réseau réciproque. On adopte alors la représentation géométrique suivante: Remarquons que ce mode de représentation correspond à l expérience de Laue de diffraction de monocristal. Les distances entre la tache centrale du faisceau etlespointsdediffractionsontdoncdes mesures du réseau réciproque. 1 Condition minimale sur λ pour obtenir une diffraction: d hkl l angle ultime θ =90 o. < 2 1 λ,soit:λ < 2d hkl, correspondantà 29

k k' R k FIG. 25 Vecteurs d onde et sphère d Ewald 2.3 Diffusion d une onde électromagnétique 2.3.1 Diffusion par un électron Supposons un champ électrique incident tel que: E = E 0.exp(iωt). e x une particule de charge q subit une force égale à q E tendant à modifier la position instantanée x et créant une accélération ẍ. Onde perçue par un observateur La radiation vue par un observateur dépend de la distance à la source r et de l angle α entre l axe de vibration et l axe source-observateur, selon: E rad = q 4πɛ 0 rc 2.sinαẍ. e x ɛ 0 =8,854.10 12 A.s.V 1.m 1 => L influence de l angle d observation indique que l intensité de diffraction changera avec l angle de diffraction. => Dépendance en inverse de la masse (effet d inertie): peu oupasd effetdunoyaudel atomesurle phénomène. Le facteur de diffusion vaut l amplitude complexe de l onde réémise normée à 1: le terme complexe traduit les frottements internes. 2.3.2 Diffusion par un atome f 0 =1+f + jf Ce facteur tient compte de la distribution électronique de l atome: on parle de facteur de diffusion de l atome. L onde réémise par l atome dans le prolongement du faisceau incident (cas limite) est égale à Z, numéro atomique: cela correspond à la situation où les électrons diffusent en phase dans la direction du faisceau (θ =0). Dans le cas général, le facteur de diffusion de l atome vaut, de matière similaire au facteur de diffusion de l électron. f a = f a0 + f a + jf a 30

FIG. 26 Facteur de diffusion du cuivre en fonction de l angle d incidence. Notons que f a0 est une fonction du rapport sinθ,commeillustréfiguresuivante: λ Les termes f a et f a peuvent être vus comme des facteurs correctifs, dépendant de l énergiedu faisceau. 2.3.3 Diffusion par un réseau d atomes - facteur de structure La diffusion par un réseau d atomes nécessite de revenir sur la notion de déphasage. Nous repartons de la définition de l onde incidente et de l onde réfléchie dans lecadregénéraldesfonctionsd onde: soit ψ i la fonction d onde incidente: c est une fonction du temps et de l espace, associée à: ψ i (t, r) =E 0 exp(j(ωt 2π( r r 0 ). k + φ 0 )) avec: r: positiondupointdiffusantdanslamatière.et r 0 :positiondel émetteur. Cette définition utilise le vecteur d onde incidente k et un déphasage initial φ 0 (qu on peut prendre égale à 0). soit ψ r la fonction d onde réfléchie: c est une fonction du temps et del espace,associéeà: avec: x: positiondudétecteur. ψ r (t, r) =f a ( r).e 0 exp(j(ωt 2π( x r). k + φ d )) Son amplitude est en théorie associée au facteur de diffusion de l atome qui diffuse le rayonnement. φ d correspond au déphasage spatial au moment de la diffusion. Onaainsi: supposons r 0 = 0 pour simplifier. Le déphasage total spatial vaut: On recompose l onde réfléchie: φ d = 2π( r r 0 ). k φ = 2π(( r.( k k )+ x. k ) ψ r (t, r) =f a ( r).e 0 exp(j(ωt 2π x. k )) exp(2jπ r.( k k)) 31

où ( k k)= K est un vecteur de l espace réciproque. Si on utilise la condition de diffraction de Bragg (ou Ewald), on de plus avoir: K = R,définissantlafamilledeplanenconditiondediffraction. La fonction d onde réfléchie par un atome s écrit: ψ r (t, r, R)=f a ( r)e 0 exp(j(ωt 2π x. k )) exp(2jπ r. R) L onde sommée obtenue s obtient en réalisant l intégrale sur le volume diffractant de la fonction d onde. ζ(t, R)= ψ r (t, r)dv = f a ( r)e 0 exp(j(ωt 2π x. k )) exp(2jπ r. R)dv V V La forme intégrale se transforme en somme discrète. D abord sur la maille, puis sur le réseau. En effet, r désigne une position spatiale. Toute position d atome peut être décomposée en somme de la position d un atome de la maille élémentaire et d un vecteur translation de réseau assurant une invariance: r = r m + U R on obtient: Facteur de structure On a: ψ r (t, r) =f a E 0 exp(j(ωt +2π r. k )) exp(2jπ r m. R)exp(2jπ U R. R) f a ( r) =f a ( r m + U R )=f a ( r m ) par invariance de réseau. Puis on intègre sur la maille (à U R fixé): ζ m (t, R)=E 0 exp(j(ωt 2π x. k )) exp(2jπu R. R) f a ( r m )exp(2jπ r m. R).dv m v m On reconnaît une forme: F ( R)= f a ( r m )exp(2jπ r m. R).dv m v m C est le facteur de structure valant également la transformée de Fourrier du facteur de diffusion. On transforme cette intégrale sur le volume de la maille en somme discrète sur les noeuds de la maille: F ( R)= i f ai exp(2jπ r i. R) L indice i représente le numéro de l atome du motif considéré. i varie de 1 à N, N étant le nombre d atomes du motif. Avec : r i = x i. e 1 + y i. e 2 + z i. e 3 et R = h. e 1 +y i. e 2 +z i. e 3. On note par habitude: F hkl = i f i exp(2jπ(hx i + ky i + lz i )) Exemples: CS:N=1,soitF hkl = f 1 -diffractionquelquesoitleplan. CC:N=2,soitF hkl = f 1 + f 2 exp(jπ(h + k + l)) -diffractionplanssommedesindicespaire. CFC:N=4,soitF hkl = f 1 +f 2 exp(jπ(h+k))+f 3 exp(jπ(h+l))+f 4 exp(jπ(k+l)) -diffraction plans indices de même parité. 32

etc... On intègre sur le réseau: un monocristal ζ r (t, R)=E 0 exp(j(ωt 2π x. k ))F ( R) exp(2jπu R. R)dv r v r On reconnaît une forme: L( R)= exp(2jπu R. R).dv r v r C est le facteur de forme valant également la transformée de Fourrier de 1 pour cristal degrande dimension. Le facteur de forme prend des valeurs "connues": Cristal "infini": L( R)= exp(2jπ U R. R)dv r => δ( K) Cristal "borné": L( R)= v r exp(2jπ U R. R)dv r => sinus cardinal (pour grains < 1µm) => La largeur de raie de diffraction est donc liée inversementàlatailleducristal. 2.3.4 Autres facteurs, intensité de diffraction Atempératurenonnulle,lesatomessontanimésd unmouvement u (amplitude <0,1Å). Le facteur de structure est donc modifié par la température: F hkl = f i.exp(2jπ(( r i + u i ). R)) = f i.exp(2jπ( u i. R)).exp(2jπ( r i. R)) i=1:n où u i désigne le mouvement d origine thermique de l atome i du motif. On obtient après qqes lignes de calcul: F hkl = F 0 hkl exp( B(sinθ) λ )2 ) où F 0 hkl est le facteur de structure au zéro absolu et B =8π2 <u 2 > est le facteur de Debye-Waller. Autres facteurs: Polarisation, Lorentz, absorption Prise en compte de la multiplicité des plans cristallins: nombre dépendant de la famille de plan considéré: m hkl. Exemple: m 100 =6pour la structure cubique, m 111 =8etc... Intensité intégrale diffractée L intensité mesurée pour un plan vaut le carré de la fonction d onde mesurée (flux de vecteur de Poynting): i=1:n En première approximation, on calculera: I hkl = ζ( R) 2 I hkl = I 0.m hkl.(fhkl.f 0 hkl) puis I hkl = I 0.m hkl.fhkl 0 2 forme négligeant les termes complexes. Le facteur de diffusion diminuant à mesure que l angle augmente, les pics de diffraction font de même => globale diminution de f i en 1/2d hkl => diminution de l intensité en 1/4d 2 hkl. 33

2.4 Applications Les applications de la diffraction sont nombreuses. On peut par exemple: identifierlanatured unmatériau(typedestructure,arrangement atomique, paramètres de maille) observersonétatmécano-métallurgique(déplacementouélargissement du pic - variation du paramètre de maille) en faisant tourner l échantillon autour de ses trois axes,associer l intensité du pic à une orientation, et ainsi accéder à la texture cristallographique. Qqes exemples en TD. REFERENCES [1] FRANCOIS, D., PINEAU, A., ZAOUI, A., "Comportement mécanique des matériaux -élasticitéplasticité", Hermes, 1998. [2] Illustration diverses trouvées sur internet et libres d utilisation non commerciale. - http://fr.wikipedia.org [3] MF. ASHBY DRH. JONES, Matériaux 2.microstructure et miseenœuvre,dunod1991 [4] HUBERT, O., CLAVEL, M., GUILLOT, I., HUG, E. Magnetism and internal stresses: concept of magnetoplastic anisotropy. Jal de Physique IV. Vol 9. Pages 207-216. 1999 [5] ARNOLD, G., HUBERT, O., BILLARDON, R. Identification of kinematic and isotropic hardenings using a pure bending test machine. 5th International ESAFORM Conference on Material Forming. Pages 507-510. 2002. [6] VIEILLE, B., Thèse de doctorat, ens-cachan, 2007. [7] TATAT, M., Thèse de doctorat, ensma,poitiers, 2012. [8] MASOUNAVE, J., BAILON, J.P., DORLOT, J.M., "Des matériaux", Presses polytechnique Montréal, 1998. [9] BARRALIS, J., MAEDER, G., "Précis de métallurgie", Nathan, 2005. [10] CHEVALIER, L., "Mécanique des systèmes et des milieux déformables", ellipses, 2004. [11] ADDA, Y., DUPOUY, J.M., PHILIBERT, J., QUERE, Y., "Eléments de métallurgie physique (T1-3-5)", INSTN CEA, 2000 [12] LEMAITRE, J., CHABOCHE, J.L., "Mécanique des matériauxsolides",dunod,2004. [13] BENARD, J., MICHEL, A., PHILIBERT, J. et TALBOT, J., "Métallurgie générale", ed. masson, 1991. [14] CULLITY B.D., "Elements of X-Ray Diffraction", ed. Addison-Wesley, 1956. [15] KITTEL C., "Physique de l état solide - Cours et problèmes " ed. Dunod (7ème édition) 2005. [16] EBERHART, J.-P., "Méthodes physiques d étude des minéraux et des matériaux, ed. Doin éditeurs, 1976. 34