Quelques applications du cours sur les séries de Fourier
Plan de la séance 1 Transformée de Fourier rapide 2 La transformée en cosinus Série de Fourier à deux variables La compression J.P.E.G Filtrage et convolution Analyse de Fourier sur des maillages
Transformée de Fourier rapide ou comment calculer rapidement?
Transformée de Fourier discrète La transformée de Fourier discrète d un signal f est définie par la formule suivante : ˆf [j] = 1 N 1 f N k=0 ( kt N ) ( exp 2πi ) N jk ou en notation matricielle : w = e 2πi N, x k = f ( ) kt N ˆf [0] 1 1 1 1 ˆf [1] ˆf [2] = 1 1 w w 2 w n 1 1 w 2 w 4 w 2(n 1) N........ ˆf [n 1] 1 w n 1 w 2(n 1) w (n 1)2 j = 0,..., N 1. x 0 x 1 x 2,. x n 1
Transformée de Fourier Rapide Coût du calcul? O(N 2 ) opérations Comment le faire efficacement la FFT ˆf [2j] = 1 N ˆf [2j+1] = 1 N Applications? N/2 1 k=0 N/2 1 k=0 [ ( kt f N [ ( kt f N ) ( kt + f N + N )] ( exp 2πi ) 2 N/2 jk ) ( kt f N + N )] ( exp 2πi ) 2 N/2 jk
Le format JPEG
AHHHHHHHHHHHH!!!!
Principe de la compression On dispose d un signal f que l on décompose dans une base (ou juste une famille génératrice) (g m ) m f = + Le signal compressé est donné par : c m g m f = Q(c m )g m m I où Q(c m ) est une approximation de c m. Par exemple, on ne peut pas représenter fidèlement avec une machine n importe quel nombre réel. La compression est d autant meilleure que f f est petit.
Séries de Fourier Comment utiliser les séries de Fourier pour analyser/compresser un signal? Plus le signal est globalement régulier plus les coefficients de Fourier décroissent rapidement. Le phénomène de Gibbs. Comment limiter ce phénomène symétriser le signal Transformation en cosinus
Théorème de Shanon et aliasing
Série de Fourier d une image 1 Séries de Fourier d une fonction de deux variables? S n (f )(x, y) := c p,q e i(qx+py) (p,q) n c p,q = 1 4π 2 f (x, y)e i(qx+py) dxdy [0,2π] 2 2 Qu est ce qu une image? 3 La série de Fourier d une image? Une version discrète...
Représentation du spectre d une image
Exemple du phénomène de Gibbs pour une image
La compression JPEG
Principe de la compression JPEG
Découpage par blocs Exemple :
Découpage par blocs (Zoom)
Calculs des coefficients de Fourier
Compression On effectue un seuillage : c p,q 0 si (p, q) > N ou c p,q < ε
Compression (suite)
Résultat
Résultat
Exemple d une compression
Et JPEG 2000? Qu est ce qu une ondelette? On définit une famille ψ s,τ d ondelettes à partir de l ondelette mère : t R, ψ s,τ (t) = 1 ( ) t τ Ψ s s On définit la transformée en ondelette continue de f L 2 (R) par : g(s, τ) = Il existe une formule d inversion... f (t)ψ s,τ (t) dt
Complément sur la convolution Si D n est le noyau de Dirichlet alors : n S n (f ) = c k (f )e k = f D n n C est un filtre passe-bas. On a un filtrage Gaussien en convolant avec une Gaussienne f G a, avec G a (x) = 1 2 πa e x 2 4a 2
Débruitage de signal Principe : chaque point/pixel est remplacé par la valeur moyenne d un voisinage défini. Principe : convolution avec une Gaussienne :
Débruitage de signal grâce aux Gaussiennes
Un maillage
Des vecteurs propres...
Compression de maillage
Débruitage de maillage
FIN!! Références : Cet exposé est très largement inspiré de Du site http ://www.lmpt.univtours.fr/ licois/vulgarisation/fetedelascience/ Du Site de gabriel Peyre. Wikipédia Polycopié d analyse de l ENS cachan et des Cours du Master MVA. Une exploration des signaux en ondelettes (S.Mallat)