Séance : "les droites perpendiculaires " au CM1 Lors de la séance précédente sur l angle droit, les élèves se sont servis d un gabarit d angle droit construit en classe avec une feuille de papier. A l oral : Rappel sur la séance précédente par questionnement «qu est-ce qu on a fait la semaine dernière?» Commentaire [PE1]: Ils s en sont servis pour faire quoi? Il y a plusieurs utilisations du gabarit d angle droit à envisager : Vérifier qu un angle est droit ou ne l est pas Tracer des angles droits, d où plus généralement : Reproduire une figure contenant des angles droits L enseignant demande de ressortir le gabarit élaboré dans la séance précédente et de marquer les 2 angles droits par le symbole mathématique. L enseignant demande ensuite de déplier le gabarit. L enseignant demande "qu est-ce qu on constate? " Réponse attendue : on voit les marques du pliage et 2 angles droits On se demande comment sont les 2 autres angles formés par le pliage. Réponse attendue : " angles droits" ou " on ne peut pas savoir" L enseignant fait replier le gabarit dans l autre sens afin de pouvoir tracer le symbole sur les 2 angles droits restants. Les élèves déplient la feuille complètement et constatent que les 4 angles sont des angles droits. L enseignant demande de repasser sur les traits de la pliure au stylo. Les élèves et l enseignant décrivent le résultat : "on obtient 2 droites qui se coupent et qui forment 4 angles droits : ce sont des droites perpendiculaires. " Réinvestissement : feuille d exercice sur laquelle sont dessinées plusieurs couples de droites ; certaines sont perpendiculaires, d autres pas. Consigne : Ecris quelles droites sont perpendiculaires et quelles droites ne sont pas perpendiculaires Institutionnalisation : "Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit" Commentaire [PE2]: Préciser le contenu de cette feuille d exercice en veillant à ce que les positions des droites proposées soient variées. <en particulier, on évitera les positions prototypiques (droites parallèles aux bords de la feuille) qui risquent de renforcer une confusion fréquente chez les élèves entre verticalité et perpendicularité. Commentaire [PE3]: Comment les élèves vont-ils l écrire? 1. Il est préférable d éviter que ce soit uniquement en «marquant» l angle droit sur la figure car, en procédant ainsi, on ne pointe pas clairement les deux droites perpendiculaires, mais seulement leur point d intersection. On risque alors d entretenir une conception erronée de la perpendicularité comme liée à l intersection des droites alors qu il s agit d une propriété des directions de droites (les droites demeurent perpendiculaires même si, dans la représentation qui en est faite, leur intersection n est pas tracée). 2. On peut éventuellement utiliser une lettre comme désignation de chacune des droites, mais n oublions pas que ces écritures n ont aucun caractère d exigibilité à l école élémentaire ; il faut donc dans ce cas prévoir une autre possibilité de réponse pour les élèves mis en difficulté par le caractère abstrait de ces désignations. 3. Pour ces élèves-là on peut envisager une consigne du type : «Lorsque deux droites sont perpendiculaires, tu les repasses de la même couleur.» Faire changer de couleur pour chaque nouveau couple. L important est que les élèves dans leur réponses soient conduits à désigner les deux droites perpendiculaires (que ce soit de façon symbolique avec des lettres ou par le dessin) et pas seulement leur intersection. Commentaire [PE4]: Accompagner la phrase d institutionnalisation d une illustration en position non prototypique.
Exercice de manipulation : Construire deux droites perpendiculaires en se servant de la règle et l équerre. (un schéma au tableau représente la droite et l emplacement de l équerre) Exercice de reproduction de figure : reproduire avec les instruments géométriques la figure dessiné au tableau (Figure fiche 27) L enseignant fournit aux élèves une feuille sur laquelle la figure a déjà été commencée. (Figure fiche 26 exercice 2) Commentaire [PE5]: Les droites perpendiculaires ont été définies comme droites sécantes formant quatre angles droits. Dans l institutionnalisation, on parle de droites sécantes formant un angle droit. Le passage de 4 à 1 est certainement évident pour vous mais je vous garantis qu il ne l est pas pour les élèves ; il ne peut être que le résultat d un travail qui les conduisent à la conclusion que, pour vérifier la perpendicularité de deux droites, il suffit de vérifier qu elles forment UN angle droit. Si ce passage n est pas pris en charge dans l apprentissage, chaque couple de droites risque d'être proposé quatre fois, avec là encore dérive du repérage des couples de droites perpendiculaires à celui de tous les angles droits (voir ce qui s'et passé en SPA chez Luc lors de la séance du 17 septembre - demandez à vos collègues pour plus de précisions!). Commentaire [PE6]: Il s agit là d un autre apprentissage qu il vaut sans mieux différer à une autre séance pour : Prendre le temps nécessaire pour que les élèves construisent correctement le concept de «droites perpendiculaires» comme propriété de deux droites et non de leur intersection, en comprenant que la seule vérification d UN angle droit assure la perpendicularité et donc le fait que les trois autres angles sont droits sans qu il soit nécessaire de le vérifier avec un instrument. Un temps d entraînement suffisant à l appropriation de la technique de vérification de la perpendicularité (on pourra garder une trace écrite illustrée du type «comment vérifier que deux droites sont perpendiculaires») ; il ne faut pas oublier à l école cette prise en charge de l apprentissage de l utilisation des instruments. Ne pas seulement vérifier que les enfants savent tracer une droite perpendiculaire à une autre à l aide de l équerre, mais apprendre la technique puis proposer des situations pour s entraîner à son utilisation. Commentaire [PE7]: Une autre possibilité pour concevoir la séance d apprentissage du tracé de droites perpendiculaires est de partir d un problème de reproduction de figures. Après quelques essais, on constate que pour reproduire correctement, il faut tracer des droites perpendiculaires ; ceci motive alors l apprentissage de la technique puis l entraînement sur une ou plusieurs séances à son utilisation ; à la fin, on revient au problème de départ : la reproduction de la figure pour constater l efficacité de la technique apprise. On peut ensuite réinvestir sur la reproduction d une autre figure complexe basée sur des droites perpendiculaires.
Découverte de la notion de droites parallèles pour CM1 L'enseignant introduit les droites parallèles comme étant des droites qui ne se coupent pas. Il demande aux élèves de confirmer si les droites tracées au tableau sont des droites parallèles ou non. Commentaire [PE1]: Éviter ce positionnement «parallèles aux bords de la feuille» du premier couple de droites parallèles rencontré. 1) 2) 3) Réponses attendues : 1) les droites ne sont pas parallèles 2) les droites sont parallèles 3) les droites sont parallèles L'enseignant revient sur la définition d'une droite et plus précisément sur le fait qu'elle n'a ni début ni fin. Un élève passe au tableau pour poursuivre les droites de la figure 3) les droites se coupent. L'enseignant revient sur la définition et modifie le terme «ne se coupent pas» en «ne se coupent jamais». Puis l'enseignant demande : «mais alors la figure 2) a-t-elle ses droites réellement parallèles? Comment vérifier?». Réponse attendue : mesurer l'écart entre les 2 droites à plusieurs endroits, si l'écart est le même alors elles sont parallèles. Manipulation avec la feuille d'exercices sur laquelle sont tracés plusieurs couples de droites.(fiche 44) consigne : les droites sont-elles parallèles? Commentaire [PE2]: Il y a deux aspects que les élèves doivent rencontrer dans l étude des droites parallèles à l école : 1. Ce sont des droites qui ne se coupent pas (droites non sécantes) 2.Ce sont des droites dont l écart est constant. Aborder les deux aspects dès la première séance risque de ne pas permettre à beaucoup d élèves de s approprier ce deux aspects. Les trois exemples proposés ne vont pas suffire pour que les élèves s approprient correctement et durablement l attribut principal du concept de droites parallèles. Je conseille donc de redécouper au moins en deux séances consacrées chacune à l un de ses deux aspects. Commentaire [PE3]: Cette fiche pourrait être utilisée comme fiche d exercices à l issue de la séance 1 consacrée au premier aspect («droites non sécantes»). Pour construire cette séance, la démarche préconisée par Britt Mari Barth dans L apprentissage de l abstraction, éd. Retz me semble tout à fait adapté. Je vous la résume en faisant référence à des documents issues de Cap-maths CM1 : Définition obtenue à partir de l observation successive de 8 paires de droites : guide pédagogique page 123 + fiches photocopiables 34 à 41 ; on a des exemples «positifs» (ici qui ont la propriété de parallélisme) et des exemples «négatifs» (ici qui n ont pas la propriété de parallélisme) qui permettent aux élèves de dégager les «attributs du concept» de parallélisme (ici, droites qui ne se coupent pas) en éliminant des attributs parasites (ici, parallélisme aux bords de la feuille, verticale, horizontale, ). On installe ainsi une définition en essayant d éviter certaines confusions classiques.
L enseignant commence par la Figure 2 (les droites sont parallèles), l'enseignant guide les élèves et demande de justifier. Réponses attendues : parallèles car écart constant pas parallèles car écart différent L enseignant explique que l'écart entre 2 droites se mesure sur une perpendiculaire à l'une d'elles. Une seconde mesure sur une autre perpendiculaire suffisamment éloignée de la première est nécessaire pour déterminer si l'écart est le même. (manipulation de l'enseignant au tableau) Institutionnalisation : 2 droites parallèles sont des droites qui ne se coupent jamais, donc l'écart entre les 2 droites est toujours le même. Ci-dessous petite synthèse de la progression de Cap-Maths CM1 sur les droites parallèles : o Droites parallèles comme étant des droites qui ne se coupent pas. o Définition obtenue à partir de l observation successive de 8 paires de droites : guide pédagogique page 123 + fiches photocopiables 34 à 41 ; la démarche proposée est proche de celle de Britt-Mari Barth dans «L apprentissage de l abstraction», Éditions Retz, avec des exemples «positifs» (ici qui ont la propriété de parallélisme) et des exemples «négatifs» (ici qui n ont pas la propriété de parallélisme) qui permettent aux élèves de dégager les «attributs du concept» de parallélisme (ici, droites qui ne se coupent pas) en éliminant des attributs parasites (ici, parallélisme aux bords de la feuille, verticale, horizontale, ). On installe ainsi une définition en essayant d éviter certaines confusions classiques. o Droites parallèles et écart constant. o Certains des exemples (fiches 42 et 43) sont choisis pour qu on ne puisse pas conclure «à l œil», ce qui va conduire à des «mesures d écart» entre les droites. o Tracé de droites parallèles : à l aide de l écart constant ou de la double perpendicularité. o Traces de parallèles à une droite donnée avec ou sans contrainte de position (droite parallèle à qui passe par ), avec ou sans contrainte relative aux instruments (instruments libres ou seulement l équerre). (Guide pédagogique pages 131-132) o Parallélisme comme critère de reconnaissance de certains polygones. o Jeu de portrait sur des polygones (guide pédagogique page 209, manuel page 111 + fiches 77 et 76). Commentaire [PE4]: Ici, on peut laisser les élèves tâtonner et faire diverses propositions pour mesurer l écart. La confrontation des propositions doit faire apparaître la nécessité pour que les mesures permettent une conclusion de les effectuer sur une même direction. Par commodité, on choisit celle perpendiculaire à l une des deux droites. Commentaire [PE5]: Le «donc» risque fort de ne pas être compris par beaucoup d élèves qui ne fonctionnent pas au CM1 dans le cadre d une géométrie «déductive». On pourrait proposer : «Pour reconnaître que deux droites sont parallèles, on peut vérifier que l écart entre les deux droites est toujours le même.» accompagné d une illustration. DE façon générale, il convient de privilégier les traces écrites opératoires (celles qui disent comment faire) aux traces écrites déclaratives (celles énoncent un propriété mais n explicitent pas en général la façon de l utiliser.