Favoriser la «construction» d images mentales relatives aux nombres et au calcul Travail effectué dans le cadre du stage TFLR et TFM durant l année scolaire 2009/2010 par : Nathalie LOGMO et Béatrice LEBON Sommaire Constat Problématique Les programmes Les aspects théoriques Les pratiques de classe possibles Conclusion
Constat Dans nos classes, l élève ne sait pas employer les dizaines comme moyen efficace de dénombrement d une collection et il ne sait pas également trouver le nombre de dizaines dans un nombre connu. Ex : 36 = 10 + 10 + 10 + 6 De cette difficulté majeure à dénombrer et à décomposer un nombre résultent des opérations mathématiques mal posées, des erreurs de comparaison, de rangement Dans les évaluations CE1, l item 69 qui consistait à trouver le nombre de triangles dans une grande collection de triangles donnée est très peu réussi! Il en est de même dans les items 66-67-68, dans lesquels l élève devait ordonner, comparer et encadrer des nombres inférieurs à 1000. Cette difficulté est exacerbée dans les items76-77-78-79-80 dans lesquels l élève devait connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition, de la soustraction et de la multiplication par un nombre! Problématique Comment favoriser la construction d images mentales relatives aux nombres et au calcul au CP? En sachant que : «L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.»(b.o. 2008)
Les programmes (B.O. Juin 2008) Dans le premier palier pour la maîtrise du socle commun, les compétences attendues à la fin du CE1 sont : - Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1000; - Calculer : addition, soustraction, multiplication; - Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100; - Restituer et utiliser les tables d addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5; - Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples; - Résoudre des problèmes très simples. Dans les progressions pour le CP, les compétences évaluées sont : - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Ecrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant. - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Connaître la table de multiplication par 2. - Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et commencer à utiliser celles de la soustraction. - Résoudre des problèmes simples à une opération.
Les aspects théoriques Lorsqu on commence à travailler l idée de groupement dans la numération, soulignent les auteurs d Ermel, il faut que les élèves parviennent à considérer une dizaine comme un élément unique, «un paquet de dix», alors que ces derniers ne voient que les dix éléments du paquet. La perception et l habitude ont construit une conception du paquet de dix qui ne permet guère de le décoder comme une dizaine. C est dans «Le domaine des «grands» nombres (< 100) que les procédés de dénombrement ou d écriture liés à la numération écrite (groupements, échanges, compteurs) prendront tout leur intérêt et donc leur sens». D ailleurs, c est dans ce domaine des «grands» nombres que «les désignations écrites seront d abord produites et utilisées et que les algorithmes de calcul écrit deviendront nécessaires.» Connaître le système de numération, c est : - Savoir tirer des informations des codes écrits : Les codes écrits sont composés de chiffres et leur statut se «voit» dans l écriture. Exemple : «Avec 54 jetons, quand j aurai fini de grouper par 10, il me restera 4 jetons, c est sûr!» La valeur du groupement se «lit» dans l écriture. Exemple : «Avec 54 jetons, je peux faire 5 paquets de 10, pas la peine de le faire réellement, j en suis certain!» - Comprendre qu il permet des calculs rapides et efficaces : Exemple : «Je sais que 5 + 3 = 8, donc, 50 + 30 = 80 parce que 5 dizaines et 3 dizaines, ça fait 8 dizaines!» Les nombres possèdent des propriétés qui me permettent de faire du «calcul réfléchi» très rapidement. Exemple : «Ajouter 18, c est ajouter 20 et enlever 2, parce qu ajouter 20, c est ajouter 2 au nombre des dizaines seulement, sans toucher aux autres!»
En conclusion, connaître le système de numération, c est savoir tirer des informations pertinentes des codes écrits pour résoudre des problèmes numériques et justifier sa réponse sans passer par des procédures de comptage. Pour atteindre ces objectifs, il est nécessaire de : - Construire des «images mentales» sur les groupes de dix, indépendamment du comptage. - Passer du groupe de dix à une dizaine. - Echanger dix contre une dizaine. - Comprendre que le groupement est une procédure plus efficace pour le dénombrement que le comptage-dénombrement (passage de la logique du comptage à la logique du calcul). - Utiliser le groupement pour résoudre des problèmes (qui n en font pas explicitement appel). Rémi Brissiaud, à propos de l image mentale des nombres, dit que la plupart de nos pensées sont traitées sous forme d images. Notre univers mental est peuplé de représentations qui servent à décrypter notre environnement et à agir, imaginer et communiquer. En classe, on a donc eu l idée des représentations comme support à l abstraction en particulier dans le domaine de la construction du nombre. L enjeu pédagogique est de construire un dispositif permettant à l élève d entrer dans l abstraction tout en gardant contact avec des représentations concrètes qui favoriseraient à terme la construction d images mentales.
Les pratiques de classe possibles
Mathématiques- familiarisation numérique CP Premier palier du socle commun Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1000 Compétences Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100 Objectif : Maîtriser la comptine de 10 en 10 jusqu à 100. 1- Compter de 10 en 10 Organisation : orale, collective et individuelle. Durée : 10-15 minutes *Observer: 10 enfants sont alignés devant le tableau. Le premier de la file lève ses deux mains. «Combien a-t-il de doigts?» puis le deuxième. «Combien y a-t-il de doigts pour deux enfants?» «Pour deux enfants, il y a dix et dix, et ils ont vingt doigts à eux deux» etc. On finit par «compter les doigts» comme on compte les enfants :«Il y a 1, 2, 3 enfants» ou bien : «Il y a 10, 20, 30 doigts.» etc. *Mémoriser et réciter : - collectivement, individuellement, à deux, à plusieurs - à l endroit : de 10 à 100. - à rebours de 100 à 10. - réciter, s arrêter puis reprendre. - à l endroit en partant d un multiple de 10. - la suite muette : dire une dizaine dans sa tête chaque fois que l enseignant tape dans ses mains. Savoir dire sur quelle dizaine l enseignant s est arrêté. - L enseignant qui se trompe : il récite la comptine et omet une dizaine, les élèves lèvent la main pour indiquer le nombre sauté. 2- «de 10 à 80» Organisation : orale, collective, petits groupes et individuelle. Durée : 5 minutes. - L enseignant décide d un nombre-cible, par exemple 80. Les enfants récitent tous ensemble la suite de 10 à 80. Tous ceux qui continuent au-delà de 80 sont éliminés. Changer de nombre cible. - L enseignant annonce un nombre quelconque, par exemple 57, les enfants devront s arrêter au multiple de 10 qui précède le nombre cible.
3- Compter la monnaie Organisation : orale, collective, petits groupes et individuelle. Durée : 5-10 minutes. Matériel : pièces de 1 et billets de 10. L enseignant définit le nombre de pièces et de billets à sortir, par exemple 7 pièces de 1 et 5 billets de 10. Recherche individuelle puis mise en lumière des deux stratégies principales : - compter d abord les billets puis les pièces : 10, 20, 30, 40, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57. - compter d abord les pièces puis les billets : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 27, 37, 47, 57. Puis montrer l économie de la première procédure qui utilise toujours la comptine de 10 en 10 à partir de 10. 4- Le jeu du «dix de plus, dix de moins» Organisation : orale, collective et individuelle. Durée : 5 minutes. - L enseignant annonce un nombre entre 11 et 90 auquel il faudra enlever 10 ou ajouter 10. 5- Formaliser : copier la comptine de 10 en 10 dans le cahier de mathématiques de 10 à 100 et de 100 à 10. 6- Evaluer : réciter individuellement la comptine de 10 en 10, de 10 à100 et de 100 à 10. restituer par écrit la comptine de 10 en 10, de 10 à 100 et de 100 à 10.
Conclusion En conclusion, les évaluations de CE1 de l année prochaine nous montreront la pertinence ou non de la mise en place de ce dispositif! Enfin, la restitution des séances aurait été certainement plus adaptée sur un support vidéo pour une meilleure lisibilité de leur déroulement en classe!