Remédiation Mathématiques 1 Additions - Soustractions de nombres relatifs 1.1 Rappels de cours Méthode (Somme de deux nombres relatifs) : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, il faut additionner leurs valeurs absolues et garder le signe commun. Pour additionner deux nombres relatifs de signes opposés, il faut soustraire leurs valeurs absolues et reporter le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue. Exemple 1.1 : 2+5=7 7+16=9 8+( 19)= 11 4+( 7)= 11 32+45=13 56+12= 44 Exercice 1.1 Application immédiate (1) Effectuer sans calculatrice les additions de relatifs suivantes. 7+( 12) 14+9 59+61 70+( 76) 49+( 6) 53+152 67+( 63) 49+( 16) 41+( 46) 157+( 165) 27+( 46) 246+189 Méthode (Différence de deux nombres relatifs) : Soustraire une quantité b à une quantité a revient à additionner a et l opposé de b. En d autres termes : a - b = a + (-b) Exemple 1.2 : 7 12=7+( 12)= 5 4 9= 4+( 9)= 13 17 14=17+( 14)=3 14 ( 10)= 14+10= 4 Remarques : 1. Les calculatrices de la marque Texas Instruments distinguent la soustraction de l opposé par deux touches différentes (la soustraction se trouve à droite du 6, alors que le - de l opposé se trouve en dessous du 3). 2. Il est inutile - si vous n en ressentez pas le besoin - de noter la transformation de la soustraction en addition. Il est en revanche indispensable de garder en tête que lorsque vous faîtes une soustraction, vous effectuez en fait une addition. Exercice 1.2 Application immédiate (2) Effectuez sans calculatrice les soustractions suivantes : 7 4 14 ( 10) 18 22 28 ( 32) 13 7 48 41 50 50 42 ( 16) 426 428 700 ( 800) 28 ( 8) 70 40 Remarque : le calcul mental est extrèmement important, à la fois afin d exercer son cerveau, mais aussi parce que de plus en plus de formations dans le supérieur interdisent la calculatrice (par exemple les concours pour les écoles d ingénieur, de commerce, certaines universités, etc...). Aussi n hésitez pas à vous exercer par le biais de jeux de calculs (application Math Workout pour Smartphone, ou le site Mathenpoche) ainsi que dans la vie quotidienne (calculez la somme que doit vous rendre la boulangère, etc...) Lycée M.Utrillo - Stains 1 http ://flp.maths.free.fr
1.2 Exercice de base Exercice 1.3 Opérations multiples Effectuer les opérations suivantes, toujours sans calculatrice! 3 8 4+11 5 ( 6) 7 ( 19) 12+14 8+18 50+35 17 ( 12) 34+( 39) 40 48 12+8 16 20 Exercice 1.4 Suite d opérations Effectuer les calculs suivants : A= 4+( 7) 10+20 ( 5)+4+( 12) B = 12 8+( 5) ( 10)+20 30 C = 4 20+( 5) 6+8 7 10 D = 5 7+10 ( 4) 3+2+( 6) E = 6 4+( 12) ( 5)+3 ( 2)+7 F = 1 2+3 4+5 6+7 8+9 10 Exercice 1.5 Un peu d histoire 1. Cicéron est né en l an 23 et est mort en l an 57. Combien de temps a-t-il vécu? 2. Antoine (l empereur, pas le chanteur) est né en l an 35 et a vécu 57 ans. En quelle année est-il mort? 3. L empire de Césarius a été créé en 330 et s est terminé en 213. Combien de temps a-t-il duré? 4. Antonionius est mort en l an 158 à l âge de 63 ans. En quelle année est-il né? 1.3 Exercices d application On retrouve des calculs de relatifs pour réduire des expressions algébriques, ou pour trouver les coordoonées d une somme de vecteurs. Voici quelques exemples. Exercice 1.6 Ordonner des expressions algébriques Réduire les expressions algébriques suivantes (c est-à-dire regrouper les quantités semblables) : A= 3x+ 4y 5x ( 7)+2y 10 B = 5x 9z+ 5 12x+ z 10+3z C = 4s+ 5t 4 ( 5s)+2t 12 D = 3x+ 2y 7 ( 5x) 2y ( 11) Exercice 1.7 Additions et soustractions de vecteurs 1. Dans chacun des cas suivants, déterminez les coordonnées du vecteur u + v. u ( 3 ; 4) v (5 ; 2) u (5 ; 7) v ( 10 ; 6) u ( 6 ; 5) v ( 12 ; 7) 2. Déterminer pour ces mêmes vecteurs les coordonnées du vecteur u v. Exercice 1.8 Coordonnées du vecteur AB On rappelle que si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans un repère (O ; i ; j ), alors le vecteur AB a pour coordonnées (x B x A ; y B y A ). Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du vecteur AB dans chacun des cas suivants : A(4 ; 2) B( 5 ; 3) A( 3 ; 2) B(10 ; 1) A(6 ; 3) B( 7 ; 4) A( 7 ; 8) B(11 ; 5) A( 7 ; 2) B( 9 ; 4) A(0 ; 5) B( 8 ; 4) Lycée M.Utrillo - Stains 2 http ://flp.maths.free.fr
2 Équations du 1 er degré 2.1 Rappels de cours Méthode La résolution d une équation de degré 1 se fait selon les étapes suivantes : On passe les "x" d un côté et les nombres de l autre. Pour trouver x, on divise la quantité de nombre par la quantité de x. Exemple 2.1 Résolution de 3x 11=9x 5 3x 11 9x = 5 (on a fait passer le 9x du côté gauche) 6x 11= 5 6x = 5+11 (on a fait passer 11 du côté droit de l égalité) 6x = 6 x = 6 6 x = 1 Exercice 2.1 Résolutions d équations simples Résoudre dansrles équations suivantes : 4x 12=0 5x+ 30=0 7x+ 12=0 3x 5=7 6x 11= 17 4x+ 7= 9 12x+ 3= 4x 5 4x+ 7=6x 2 7x+ 3= 5x 1 11x+ 16=3x 8 4x+ 5= 5x+ 9 7x 4=5x+ 1 3(x 4)=4x+ 2(2x 7) 4(x+ 5)=7(x 1)+3x 4 5x+ 2(x 1)= x+ 5+4(5 x) x 2+3(x+ 7)=6x+ 4(1 2x) 4x+ 7=3(x 5) 7(x 3)+1 2x+7 5(2x 3)= 4(x 2)+6x Méthode Pour résoudre un problème nécessitant une résolution d équation, il faut : Nommer la quantité recherchée par une inconnue Expliciter les données de l énoncé en une équation Résoudre l équation et conclure Exemple 2.2 Problème d âges Martin a 30 ans de plus que son fils. Dans 5 ans, Martin aura le double de l âge de son fils. Quel âge a Martin? Quel est l âge de son fils? Soit n l âge de Martin. Martin a n année, son fils en a 30 de moins, soit n 30. Dans 5 ans, Martin aura n+ 5 ans alors que son fils en aura n 30+5 = n 25. Or à ce moment-là, il en aura le double, donc n+ 5 = 2 (n 25) Ainsi, on a : n+ 5 = 2n 50 55 = n Ainsi, Martin a 55 ans, et son fils en a 25. Lycée M.Utrillo - Stains 3 http ://flp.maths.free.fr
2.2 Exercices d application Exercice 2.2 Nombre d années 1. Résous l équation 50+ x = 3(8+ x). 2. Justine a 8 ans et sa grand-mère a 50 ans. Dans combien d années, l âge de sa grand-mère sera-t-il le triple de l âge de Justine? Exercice 2.3 Téléphonie - Comparatifs (obsolète) Un opérateur de téléphone portable propose trois formules. L unité de durée des communications est la minute. Formule «libre» : pas d abonnement, 0,50 par minute. Formule «éco» : forfait 2 heures mensuelles pour 25, chaque minute supplémentaire est facturée 0,30. Formule «pro» : durée et nombre de communications non limités, prix mensuel 40. 1. Calcule le coût de 3 heures de communication pour chaque formule. 2. Détermine pour quelle durée un client aura le même montant à payer avec la formule «libre» qu avec la formule «éco». 3. Détermine pour quelle durée un client aura le même montant à payer avec la formule «libre» qu avec la formule «pro». 4. Détermine pour quelle durée un client aura le même montant à payer avec la formule «pro» qu avec la formule «éco». Exercice 2.4 Problème de vitesses Deux personnes A et B n ont qu une bicyclette pour rejoindre la gare qui est à 23 km. B s empare du vélo et file à 15 km.h 1, cependant que A le suit à pied, à 6 km.h 1. Après un certain trajet, B s arrête et poursuit son chemin à pied à 5 km.h 1. A trouve la bicyclette et rejoint la gare à 11 km.h 1. Les deux personnes arrivent en même temps à la gare. À quelle distance de la gare B a-t-il abandonné le vélo? Combien de temps a duré le trajet? Exercice 2.5 Un peu de statistiques L examen d entrée dans une école d électronique comporte trois épreuves notées chacune sur 20 et affectées de coefficients : mathématiques : coefficient 4 ; physique : coefficient 3 ; français : coefficient 2. Pour être reçu à cet examen, il faut obtenir une moyenne sur 20 supérieure ou égale à 10. 1. Alain a obtenu 10 en mathématiques, 12 en physique et 8 en français. Est-il reçu? Justifier la réponse. 2. Lise a obtenu 8 en mathématiques et 11 en français. Quelle doit être sa note minimale en physique pour être reçue? 3. Julien a obtenu 10 en physique. Sa note en mathématiques est le double de sa note en français. Sa moyenne est 10. Quelles sont ses notes de mathématiques et de français? Exercice 2.6 Puis de la physique Sur une route horizontale, la résistance R offerte par l air à l avancement d un véhicule est donnée par : R = 1,0854v 2 C x où v est la vitesse en m/s, R est en Newtons et C x est le coefficient de pénétration dans l air. Lycée M.Utrillo - Stains 4 http ://flp.maths.free.fr
1. Une voiture roule à 120 km/h ; son C x est de 0,361. Calcule une valeur approchée de R. 2. Une voiture roule à 60 km/h ; sa résistance à l air est de 150 Newtons. Calcule une valeur approchée de son C x. Exercice 2.7 Des poules et des lapins Dans la cour de la ferme, il y a des poules et des lapins. J ai compté 40 têtes et 106 pattes. Combien y-a-t-il de poules et de lapins? Exercice 2.8 Un petit jeu de cryptographie pour finir... On se propose de découvrir l expression cachée ci-dessus sachant que : est solution de l équation 2x 25=41 x est solution de l équation est solution de l équation est solution de l équation est solution de l équation est la solution positive de l équation (x 5)(2x 3)+(7 2x)(x 5)=0 ( 5(x 7)=3 x+ 1 ) 3 (2x 3)(x 1)=2(x 2 61) 4(2x 13 (x 3))= x+ 29 x 2 144=0 Il suffit maintenant de remplacer chaque nombre solution par la lettre correspondante à son rang dans l alphabet (A= 1 ; B= 2 ; C= 3 ;... ). Exercice 2.9 Rayon d une tarte Trois amis se réunissent régulièrement et, à chaque rencontre, partagent équitablement une tarte (au chocolat) de rayon 15 cm. Depuis qu un quatrième ami s est joint à eux, ils partagent équitablement une nouvelle tarte (aux poires) de rayon R, telles que les nouvelles parts aient la même aire que les anciennes. Calcule la valeur de R à 0,1 mm près par défaut. Lycée M.Utrillo - Stains 5 http ://flp.maths.free.fr