Chiffre Probabilité

Exercice - Révisions () PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE Exercice - Révisions () On fait tourner une roue de loterie. La flèche indique le chiffre sur lequel elle s arrête au hasard. ) Quel est l univers Ω de cette expérience aléatoire? ) Compléter le tableau ci dessous : Chiffre Probabilité ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) On considère l événement suivant : A : «la roue s arrête sur un chiffre pair». Calculer p(a) et p ( A ). On jette un dé bien équilibré et on note le chiffre obtenu. ) Quel est l univers Ω de cette expérience aléatoire? ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) On considère A et B les événements suivants : A = {6} B = {6} a) Déterminer p(a) et p(b) sous forme de fraction irréductible. b) Que représentent les événements A B et A B? Déterminer p(a B) et p(a B). c) Que représente les événements A et B? Déterminer p ( A ) et p ( B ). Exercice - Révisions () R A M E Dans un sac, on met les quatre lettres R, A, M et E. On tire au hasard successivement et sans remise les quatre lettres du sac et on les dispose au fur et à mesure de gauche à droite. On forme ainsi un mot de quatre lettres (qui n a pas forcément une signification). ) À l aide d un arbre, donner toutes les issues possibles. ) Quelle est la probabilité d obtenir le mot «RAME»? ) Quelle est la probabilité d obtenir un mot de la langue française? ) Soit A l événement «Obtenir un mot commençant par M» et B l événement «Obtenir un mot commençant par une voyelle». Déterminer p(a) et p(b). http://rallymaths.free.fr/

Exercice - Révisions () PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE On pioche une carte au hasard dans un jeu de cartes bien battues. ) Quel est l univers Ω de cette expérience aléatoire? ) Les éventualités sont-elles équiprobables? ) On note A et R les événements suivants : A = R = a) Déterminer p(a) et p(r) sous forme de fraction irréductible. b) Que représentent les événements A R et A R? Déterminer p(a R) et p(a R). c) Que représente l événement A? Déterminer p ( A ), p ( A R ), p ( A R ). Exercice - Révisions () A A 8 6 7 R R Total Total 8 Une urne contient huit boules : trois boules vertes numérotées, et 7 et quatre boules rouges numérotées,,, 6, 8. On pioche une boule au hasard dans cette urne. On considère les événements suivants : A : «La boule porte un numéro pair» R : «La boule est rouge» ) Compléter le tableau ci-contre. ) Déterminer p(a), p ( A ), p(r), p ( R ) sous forme de fraction irréductible. ) Déterminer p (A R) et p (A R). ) Déterminer p ( A R ) et p ( A R ). ) Déterminer p ( A R ) et p ( A R ). http://rallymaths.free.fr/

PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE Exercice 6 6 6 Exercice 7 6 6 Exercice 8 On lance deux dés bien équilibrés : un rouge et un bleu. On note X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus. ) Compléter le tableau en indiquant, pour chaque case, la somme des chiffres. ) Quelles sont les différentes valeurs prises par X? ) Déterminer la loi de probabilité de X. On lance deux dés bien équilibrés : un rouge et un bleu. On note Y la variable aléatoire égale au plus grand des deux chiffres obtenus. ) Compléter le tableau en indiquant, pour chaque case, le plus grand des deux chiffres. ) Quelles sont les différentes valeurs prises par Y? ) Déterminer la loi de probabilité de Y. Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d une variable aléatoire X : ) Quelles sont les valeurs prises par X? ) Calculer p. Exercice 9 x i - - 0 p (X = x i ) 0, 0, 0, p 0, Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d une variable aléatoire X : x i - p (X = x i ) 0, 0,8 p 0,7 p ) Quelles sont les valeurs prises par X? ) Calculer p et p sachant que les événements X = et X = sont équiprobables. ) Calculer p (X < ). http://rallymaths.free.fr/

Exercice 0 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE R B V Exercice Une roue de loterie est divisée en trois secteurs : un vert (V), un rouge (R) et un bleu (B) d angles au centre respectifs 60, 0 et 80. Lorsqu elle s arrête de tourner, un repère fléché indique l une des trois couleurs avec une probabilité proportionnelle à l angle du secteur concerné. ) Déterminer la loi de probabilité sur l ensemble des issues Ω = {V, R, B}. ) Le joueur perd e si la flèche indique la partie bleue, gagne 0, e si la flèche indique la partie rouge et x euros si la flèche indique la partie verte. On note G le gain algébrique du joueur (positif ou négatif). a) Calculer E(G) en fonction de x. b) Comment choisir x pour que le jeu soit équitable? On dispose de trois roues comportant secteurs angulaires de même aire. On gagne si la roue s arrête sur le bleu. Quelle roue choisir? Justifier par le calcul. Mise, e Gain 8 e Mise e Gain e Mise e Gain e http://rallymaths.free.fr/

Exercice - Tirage simultané On a disposé dans une urne les huit cartes suivantes extraites d un jeu de cartes : Ω = PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE Règle du jeu : On tire deux cartes simultanément de l urne après avoir misé une certaine somme m. Si les deux cartes tirées sont de même «couleur» (coeur, ou carreau, ou trèfle, ou pique), le joueur gagne e. Si les deux cartes tirées forment une «paire» (deux as, deux sept ), le joueur gagne e. ) Expliquer pourquoi il y a 8 7 = 8 tirages possibles. ) Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de même «couleur»? Deux cartes formant une «paire»? ) L organisateur du jeu désire avoir un gain moyen d au moins e par partie. Quel est le montant minimal de la mise m qu il doit fixer pour satisfaire cette contrainte? Exercice Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Chaque sortie du pile P rapporte points, chaque sortie de face F fait perdre points. On considère la variable aléatoire X égale au nombre (positif ou négatif) de points obtenus après les trois lancers. ) Compléter l arbre ci-contre décrivant toutes les issues possibles. ) Déterminer l ensemble des valeurs prises par X. et la loi de probabilité de X. ) Calculer l espérance E(X), la variance V(X) et l écart type σ(x). http://rallymaths.free.fr/

Exercice PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE 6 R Exercice 7 8 9 0 6 Une roue comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un rouge. On propose les deux jeux suivants : Jeu : si la roue s arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 000 euros, sinon, il perd 8 000 euros. Jeu : si la roue s arrête sur un secteur vert, le joueur ne gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 0 000 euros. 0 0 6 ) Calculer pour chaque jeu l espérance et la variance du gain du joueur. ) Quels sont les critères qui peuvent expliquer qu un joueur préfère l un ou l autre jeu? Une roulette est composée de 7 cases : case noire numérotée 0 ; 8 cases rouges numérotées par un chiffre pair (sauf 0) ; 8 cases vertes numérotées par un chiffre impair. Stratégie : Bob mise e sur «rouge». Si un numéro rouge sort il gagne e en plus de sa mise qu il récupère ; sinon il perd sa mise. Stratégie : Alice mise e sur le numéro 7. Si le numéro 7 sort elle gagne e en plus de sa mise qu elle récupère ; sinon elle perd sa mise. Les gains algébriques réalisés par Alice et Bob définissent deux variables aléatoires notées respectivement X et Y. ) Comparer les espérances de gain de Bob et d Alice. Dans chaque cas, le jeu est-il favorable au joueurs? ) Calculer les écarts types de X et de Y. Les comparer et interpréter ces résultats. Exercice 6 - Répétition de deux expériences identiques 7 Sur un stand de tir, on propose la cible ci-contre. Les rayons des cercles sont, 6 et 9 cm. Un tireur a une probabilité de 0 % de rater la cible. La probabilité de toucher une zone de la cible est proportionnelle à la surface de la zone touchée. ) Montrer que la probabilité de toucher la zone jaune (au centre) est de 0 % et la zone rouge (intermédiaire) de 0 %. ) On note X la variable aléatoire donnant le score du tireur. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer E(X) et σ(x). ) Un tireur tire deux coups. On note Y la variable aléatoire donnant le score du tireur. a) Déterminer la loi de probabilité de Y. b) Calculer E(Y) et σ(y). c) Peut-on conjecturer un lien entre les paramètres de X et de Y? 6 http://rallymaths.free.fr/

Exercice 7 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE 7 On dispose de deux dés cubiques non truqués. L un a cinq faces rouges et une face verte, l autre a une face rouge, deux vertes et trois bleues. On jette les deux dés. On gagne e si les deux faces obtenues sont rouges, e si elles sont vertes et on perd e si les deux faces sont de couleurs différentes. On appelle X la variable aléatoire égale au gain ou à la perte ainsi réalisés. ) Déterminer la loi de probabilité de X. ) Calculer l espérance, la variance et l écart type de X. Exercice 8 ) Une grande surface organise un un jeu en guise d opération commerciale. Chaque client se voit remettre avec son ticket de caisse une carte à gratter. Il découvre alors un gain de e avec une chance sur 0, un gain de 0 e avec une chance sur 0, un gain de 0 e avec une chance sur 00, sinon il découvre le message «Retentez votre chance». On appelle X la variable aléatoire égale au gain d un client. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer l espérance, la variance et l écart type de X. ) Une grande surface concurrente reprend le jeu en offrant un gain de e avec une chance sur, un gain de e avec une chance sur 00, un gain de 00 e avec une chance sur 000 sinon il ne gagne rien. On appelle Y la variable aléatoire égale au gain d un client de cette grande surface concurrente. a) Calculer l espérance, la variance et l écart type de Y. b) Comparer les jeux de ces deux magasins. Exercice 9 Le cycle d allumage d un feu tricolore est le suivant : feu vert pendant 0 secondes ; feu orange pendant secondes ; feu rouge pendant secondes. Un automobiliste rencontre trois feux (identiques à celui décrit ci-dessus) qui fonctionnent de manière indépendante. ) Calculer les probabilités des événements suivants : A : «l automobiliste rencontre trois feux verts consécutifs» ; B : «l automobiliste rencontre un seul feu rouge» ; C : «l automobiliste rencontre au moins un feu vert». ) Soit X, la variable aléatoire égale au nombre de feux verts rencontrés par l automobiliste. Donner la loi de probabilité de X. ) Calculer E(X). Que représente ce nombre? 7 http://rallymaths.free.fr/

Exercice 0 PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE 8 e e 0 e e e Exercice e e e e e La roue d une loterie comporte 0 secteurs identiques dont rapportent e, rapportent e et rapporte 0 e. Le joueur doit miser e avant de lancer la roue. ) Le jeu est-il favorable au joueur? ) Déterminer le montant que devrait avoir la mise pour que le jeu soit équitable. ) Avec cette nouvelle mise, les gains du jeu sont-ils plus dispersés qu avant ou non? Une urne contient boules rouges et boules noires. Un joueur tire successivement et sans remise deux boules de l urne. Soit x un réel positif. Lors de chacun des deux tirages, le joueur gagne x e s il obtient une boule rouge et perd e s il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euro au terme des deux tirages. ) Justifier que X {x; x ; }. ) Déterminer la loi de probabilité de G. ) Exprimer l espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x. ) Pour quelle valeur de x a-t-on E(G) 0? Interpréter ce résultat par une phrase. 8 http://rallymaths.free.fr/