Fonction Racine carrée

Fonction Racine carrée Table des matières fonction racine carrée. activité................................................ corrigé activité.......................................... 3.3 à retenir............................................... eercices.............................................. 5.5 corrigé eercices......................................... 6 tp 7. tp................................................. 7. corrigé tp............................................. 3 devoir maison

fonction racine carrée. activité un carré d aire A = cm a un coté de mesure f() =... =... cm un carré d aire A = 5cm a un coté de mesure f(5) =...... cm le coté du carré est donné en fonction de son aire par la formule f() =. un tableau de valeur de la fonction racine carrée à, près :, 5, 5 3 6 8 6 f() =,,7,,8 3, 3,5. tableau de variations de la fonction racine : valeur de + variations de f() = la fonction racine : f() = est... sur... 3 3. tableau de signes de la fonction racine : valeur de + signe de f() = =... >... <... est... sur.... la courbe de la fonction racine est une... 5. etremums de la fonction racine pour [ ; + [ : 3 5 6 7 8 9 3 5 sur [;+ [, le minimum de la fonction racine est... il est atteint pour... sur [;+ [, le maimum de la fonction racine est... il est atteint pour... 6. équations et fonction racine la résolution de l équation = donne graphiquement :... la résolution de l équation = donne algébriquement :... la résolution de l équation = donne graphiquement :... la résolution de l équation = donne algébriquement :... 7. inéquations et fonction cube la résolution de l inéquation < 3 donne :... la résolution de l inéquation > 3 donne :... la résolution de l inéquation < 3 donne :... la résolution de l inéquation > 3 donne :...

. corrigé activité un carré d aire A = cm a un coté de mesure f() = = cm un carré d aire A = 5cm a un coté de mesure f(5) = 5,cm le coté du carré est donné en fonction de son aire par la formule f() = (en cm). un tableau de valeur de la fonction racine carrée à, près :, 5, 5 3 6 8 6 f() =,5,7,,7,,8 3, 3,5. tableau de variations de la fonction racine : valeur de + variations de f() = + ր la fonction racine : f() = est strictement croissante sur [ ; + [ 3 3. tableau de signes de la fonction racine : valeur de + signe de f() = + = = > [ ; + [ < est positif sur [ ; + [ 3 5 6 7 8 9 3 5. la courbe de la fonction racine est une demi parabole couchée 5. etremums de la fonction racine pour [ ; + [ : sur [;+ [, le minimum de la fonction racine est il est atteint pour = sur [;+ [, le maimum de la fonction racine est ineistant iln est atteint pouraucunevaleur de 6. équations et fonction racine la résolution de l équation = donne graphiquement : = 6 la résolution de l équation = donne algébriquement : = = ( ) = = = 6 la résolution de l équation = donne graphiquement : = la résolution de l équation = donne algébriquement : = = ( ) = = = 7. inéquations et fonction racine la résolution de l inéquation < 3 donne : [ ; 9[ la résolution de l inéquation > 3 donne : ]9 ; + [ la résolution de l inéquation < 3 donne : {} la résolution de l inéquation > 3 donne : R

.3 à retenir propriété : (fonction racine) le domaine de définition de la fonction racine carrée f() = = / est D f = [ ; + [ tableau de valeurs, courbe, tableau de signes, tableau de variations, etremums sont donnés par l activité précédente. pour résoudre algébriquement une équation de la forme = a on utilise : quel que soit le nombre réel a : = a = a démonstration : (propriété admise)

. eercices eercice : une entreprise produit centaines de kg d un certain produit par jour, [ ; ] le coût total de production des centaines de kg est donné par C() = où C est en ke chaque centaine de kg est vendu, 3 ke, soit pour centaines de kg vendus, une recette de R() ke (où R() est à préciser ci dessous) le bénéfice pour la fabrication et à la vente de centaines de kg est donné par B() = R() C() (a) détailler les calculs de C(), R(), B() et en déduire si une production de centaines de kg est rentable (donner les résultats à, ke près). (b) déterminer si une production de centaines est rentable. (c) eprimer R() en fonction de puis donner un tableau de valeurs et construire la courbe de R dans le repère donné. 5 3 C() 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 (d) déterminer graphiquement et algébriquement à, centaine de kg près, la production qui assure une recette de,5 ke euros et vérifier la cohérence (e) déterminer de même la production qui correspond à un coût de,5 ke euros (cohérence?) (f) déterminer graphiquement l intervalle des productions qui assurent un bénéfice positif. (g) pour [ ; ], résoudre algébriquement l équation R() = C() et en déduire la valeur minimale de la production qui assure un bénéfice positif strict ( à kg près) (h) eprimer B() en fonction de, compléter le tableau à, et terminer la courbe de B 3 5 6 B() =... B() 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 (i) déterminer graphiquement la production qui correspond à la plus grande perte (j) déterminer en utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice la production qui correspond à la plus grande perte à, près et donner cette perte

.5 corrigé eercices corrigé eercice : (a) Coût pour centaines, C() = 3,6 ke Recette pour centaines, R() =,3 = 3ke Bénéfice = recette - coût = B() 3 3,6 =, 6ke une production de centaines de kg n est pas rentable car le bénéfice est négatif (b) pour une production de centaines : B() =,3,58 ke ce qui est rentable (c) R() =, 3 un tableau de valeurs 5 3 R() =,3 3 6 R() C() 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 (d) production qui assure une recette de,5 ke euros : graphiquement : 8,3 algébriquement :,3 =,5 =,5,3 8,3, cohérent avec le résultat précédent (e) production qui correspond à un coût de,5 ke euros graphiquement : 6,5 algébriquement : =,5 =,5 = 6, 5 (cohérent) (f) intervalle des productions qui assurent un bénéfice positif : R() > C() donc ] ; ] (g) R() = C(),3 = = (,3) = ( ) =,9 = =,9 = = (,9 ) = = = ou,9 = = = ou =,9, la valeur minimale de la production qui assure un bénéfice positif strict ( à kg près) est kg

(h) eprimer B() en fonction de, compléter le tableau à, et terminer la courbe de B 3 5 6 B() =,3,8,83,8,736,69 B() 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 tp (i) graphiquement, la production qui correspond à la plus grande perte est 3 centaines de kg (j) la production qui correspond à la plus grande perte à, près est, 78 centaines de kg pour une perte de, 833 ke comme l atteste le tableau ci dessous :,77,78,79 B() =,3 -,83333 -,833333 -,83339. tp

tp : logiciels et étude de fonction nom, prénom :... buts : modéliser Mathématiquement une situation utiliser le logiciel géogebra conjecturer des résultats faire des démonstrations de certaines conjectures situation : en mer, une personne est en danger en B à m du rivage un sauveteur se trouve sur le sable en A à m du rivage le sauveteur peut se déplacer sur le sable de A à C à une vitesse de m.s en traînant une embarcation puis, à bord de son embarcation, le sauveteur peut se déplacer dans l eau de C à B à une vitesse de,5 m.s on cherche la position (d entrée dans l eau) du point C afin que le temps total de trajet A B C soit minimal (il s agît de trouver la bonne valeur de ) m A O C B m P OP = m OC = m. lancer le logiciel geogebra. entrer (en bas) dans la barre de saisie la commande : A = (, ) afin de construire le point A (changer l échelle avec la molette de la souris pour voir le point A) 3. quelle commande faut-il entrer pour construire le point B(;)? :... construire le point B. quelle commande faut-il entrer pour construire le point P? :... construire le point P 5. construire le point O(;) 6. construire un curseur de nom a avec min =, ma = et increment = (utiliser le menu) (puis cliquer dans la figure) 7. construire le point C avec la commande C = (a, ) déplacer le point C à l aide du curseur de la figure ( 8. construire les segment [AC], [CB] et [OC] dans cet ordre puis utiliser le curseur) (menu ( puis ( puis cliquer sur les points) 9. afficher les longueurs b, c et d des trois segments dans cet ordre ( puis ( puis cliquer sur les segments). entrer dans la barre de saisie la commande : dist = b+c à quoi correspond le nombre dist (dont la valeur s affiche dans la barre de gauche)? :... (a) utiliser le curseur afin de déplacer le point C et trouver la position du point C et donc la valeur de pour laquelle dist est minimale valeur trouvée : =... et dist... que dire alors des points A,C et B? :... (b) démonstration : retrouver ci dessous par le calcul la valeur eacte de dist ainsi qu une valeur approchée à, près (théorème bien connu)

(c) utiliser le curseur afin de déplacer le point C et trouver la position du point C et donc la valeur de pour laquelle dist est maimale valeur(s) trouvée(s) : =... et dist.... rappel : vitesse = distance donc distance = temps vitesse donc temps = distance temps vitesse (a) calculer dans le cas où C est le milieu de [OP], le temps t mis par le sauveteur pour aller de A à C puis le temps t pour aller de C à B puis le temps total t du trajet dea à B t =... t =... t =... (b) entrer dans la barre de saisie les commandes : t = b/, t = c/.5 et t = t+t (c) quelle est la valeur de t affichée dans le cas où C est le milieu de [OP]? : t =... est-ce cohérent avec les calculs précédents? :... (d) déplacer le point C avec le curseur et déterminer une valeur approchée de pour laquelle le temps total t de parcours de A à C est minimum : =... temps minimum : t =.... (a) quelle commande entrer pour afficher le point M(a;t)? :... entrer cette commande et changer d échelle pour voir le point M à l écran (b) clic droit sur M et cocher "Trace activée" (c) utiliser le curseur pour voir la "courbe des temps" (d) placer le point C correspondant au temps minimal, on a alors d =... 3. on cherche maintenant une valeur plus précise du temps minimal et de la position de C correspondante (a) dans la menu Affichage, cocher la case Tableur (b) entrer dans la cellule A et dans la cellule A sélectionner les deu cellules puis étirer jusqu à la cellule A (c) la formule qui donne le temps total de trajet t de A à C est en fonction de est : t = + + ( ),5 + i. pour = on a par calcul : t =... ii. vérifier avec le curseur, est-ce cohérent? :... iii. entrer alors la formule qu il faut dans la cellule B afin qu elle affiche le temps correspondant à la valeur de contenue dans A (dans le tableur, la racine carrée de 3 s écrit 3.5 ) formule à entrer : B = iv. sélectionner la cellule B et étirer jusqu à la cellule B v. trouver grâce au tableau de valeurs la valeur de qui minimise la durée t et donner les valeurs =... et t =.... durée de trajet minimum =... 5. durée de trajet maimum =... 6. le trajet le plus court est-il le plus rapide? (justifier) :... 7. le trajet le plus long est-il le moins rapide? (justifier) :... 8. vaut-il mieu aller jusqu au point O ou jusqu àu point P pour mettre la barque à l eau? (justifier) :... 9. quel est le meilleur point pour mettre la barque à l eau? (justifier) :

. corrigé tp

3 devoir maison

corrigé devoir maison eercice : (5 page 5) 95 9. pour = 95 et = 9 on a : S = 7. pour = 7 et S =,8 on a :,8 =,8 = 7, 8 = 7 = 8 = ( 7) = 66 = 7 = = 66 7 = 6 6 7 on vérifie : S = =,8 donc l individu mesure, 6 m 8 3. (a) pour = 8 on a : S = = 6 5 = 6 5 = 5 = 5 5 (b) 3 5 7 8 9 3 5 7 8 9 graphiquement, la fonction S est croissante sur [ ; ] d où le tableau de variations de S sur [ ; ] valeur de, variations de S() ր,89. pour une taille comprise entre,6m et m on a,89 S, eercice : (5 page 5). si v = 8 alors : 8 = 3,6 9,8h 8 3,6 = 9,8h = ( 8 3,6 ) = 9,8h ( 8 3,6 ) = = h 9,8 = h 539m on vérifie : 3,6 9,8 539 8. si h = 5 alors v = 3,6 9,8 5 8 km/h

eercice 3 : (8 page 57). (a) d après le théorème de pthagore on a : AM = AC +CM AM = 9 + = 8+ AM = 8+ vitesse = distance temps donc temps = distance vitesse avec vitesse = et distance = AM 8+ le temps mis pour parcourir AM est donc : (b) de même, le temps mis pour parcourir MB est donc : 5 5 (c) le temps total de parcours est donc : f() = 8+ + 5 5 tableau de valeurs 3 5 6 7 8 9 f() 5, 5,,9,8,7,6,5,5,,38 3 5 f(),36,353,35,35,36,37 5 3 3 5 6 7 8 9 3. (a) pour arriver le plus vite possible il faut accoster à = km de C (b) le temps mis est d alors,35heures soit h+,35h soit h+,35 mn soit h mn