PROPORTIONNALITÉ Objectifs : Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle. Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. Mettre en œuvre la proportionnalité dans les cas suivants : - comparer des proportions, - utiliser un pourcentage, - *calculer un pourcentage, - *utiliser l échelle d une carte ou d un dessin, - calculer l échelle d une carte ou d un dessin. 1. Reconnaître une situation de proportionnalité 1) Définition Deux grandeurs sont proportionnelles si l on peut calculer les valeurs de l une en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l autre par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : La quantité d essence achetée et le prix payé sont proportionnels car, pour trouver le prix payé, on multiplie la quantité achetée par le prix d un litre. Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est le prix d un litre. 2) Tableau de proportionnalité Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la 2 ème ligne peuvent être calculés en multipliant (ou en divisant) les nombres de la 1 ère ligne par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : 3 croissants coûtent 2,40. a) Quel est le prix de 7 croissants? de 5 croissants? c) Quel nombre de croissants peut-on acheter avec 9,60? Le nombre de croissants et le prix sont proportionnels. On peut organiser les données et les calculs dans un tableau de proportionnalité. ~ 1 ~
Par conséquent, 7 croissants coûtent 5,60 et 5 croissants coûtent 4. On peut acheter 12 croissants pour 9,60. 3) Reconnaître un tableau de proportionnalité Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on peut effectuer des quotients d un nombre de la seconde ligne du tableau par le nombre correspondant à la première ligne. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est un tableau de proportionnalité ; sinon, il ne l est pas. Exemple 1 : La longueur des lacets est fonction du nombre de paires de trous de la chaussure. Nombre de paires de trous 3 4 5 6 7 Longueur des lacets en cm 45 60 75 90 110 Est-ce un tableau de proportionnalité? 45 = 15 ; 60 = 15 ; 75 = 15 ; 90 = 15 ; 110 15,7. 3 4 5 6 7 45 110 Comme, alors ce n est pas un tableau de proportionnalité. 3 7 Exemple 2 : Un cinéma propose les tarifs ci-dessous. Est-ce un tableau de proportionnalité? Nombre de séances 2 3 7 Prix à payer en 13 19,50 45,50 13 = 6,5 ; 19,50 = 6,5 ; 45,50 = 6,5. 2 3 7 13 19,50 45,50 Comme = =, alors c est un tableau de proportionnalité. 2 3 7 ~ 2 ~
2. Traiter une situation de proportionnalité 1) Utilisation de la propriété multiplicative Exemple : 5 bananes identiques pèsent 500 g. Calculer la masse de 20 bananes. Le nombre de bananes et la masse sont proportionnels. Or il y a 4 fois plus de bananes. Donc la masse est 4 fois plus grande. 4 5 bananes = 20 bananes et 4 500 g = 2000 g = 2 kg Par conséquent, 20 bananes pèsent 2 kg. 2) Utilisation du passage à l unité Exemple : Pour faire des crêpes pour 5 personnes, on a besoin de 400 g de farine, 3 œufs et 1 litre de lait. Quelle quantité de farine sera nécessaire pour 4 personnes? Le nombre de personnes et la quantité de farine sont proportionnels. On calcule d abord la quantité de farine nécessaire pour une personne. 400 g 5 = 80 g Pour 4 personnes, il faut 4 fois plus de farine ; d où : 4 80 g = 320 g. Par suite, il faut 320 g de farine pour faire des crêpes pour 4 personnes. 3) Utilisation de la propriété additive Exemple : À allure régulière, j'ai constaté que je parcours 18 km en 4 h. Quelle distance vais-je parcourir en 6 h? À allure régulière, la distance parcourue et le temps sont proportionnels. Or 6 h = 4 h + 2 h. Et en 2 h, je parcours 9 km (2 fois moins qu'en 4 h). Donc en 6 h, je parcours 27 km (18 km + 9 km). 4) Calculer une quatrième proportionnelle Dans un tableau de proportionnalité à 4 cases, pour compléter la case manquante, on multiplie les cases en diagonale entre elles, puis on divise par le nombre restant. Exemple : Compléter le tableau de proportionnalité suivant : Durée de communications du forfait téléphonique en h Prix du forfait en 35 3 7,5 35 7,5 262,5 = = 87,5. Par conséquent, 7,5 h de communications coûtent 87,50. 3 3 3. Pourcentages 1) Appliquer un pourcentage a Calculer a % d un nombre revient à multiplier ce nombre par. 100 ~ 3 ~
Exemple : Dans un pot de Nutella de 400 g, il y a 13 % de noisettes. Quelle est la quantité, en grammes, de noisettes dans ce pot? On effectue le calcul suivant : 13 400 0,13 400 52 100 = =. Il y a 52 g de noisettes dans un pot de 400 g de Nutella. 2) Calculer un pourcentage Une automobile qui coûtait 8000 est vendue 6800. À quel pourcentage du prix initial correspond la remise? Construisons un tableau de proportionnalité : On a : Prix d origine en 8 000 100 Remise en 1 200 t somme % 1 200 100 t = = 15 ; donc le pourcentage de réduction est égal à 15 %. 8 000 4. Échelle 1) Définition Sur un plan à l échelle, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. L échelle d un plan est le quotient d une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante lorsque ces longueurs sont exprimées dans la même unité. Exemple : Un plan est à l échelle dans la réalité. 1 400 signifie que 1 cm sur ce plan représente 200 cm 2) Application : utiliser une échelle Exemple : Une Citroën DS3 à l échelle 1 a une longueur de 329 mm. Calculer la longueur 12 réelle de cette voiture. Construisons un tableau de proportionnalité : Modèle réduit 1 329 Modèle réel 12 x 12 329 3 948 x = = = 3 948. 1 1 Par conséquent, la longueur réelle de la Citroën DS3 est de 3 948 mm, ou encore 3,948 m. 3) Application : calculer une échelle Exemple : Un bateau de 25 m correspond à une longueur de 10 cm sur son modèle réduit. Quelle est l échelle de réduction? ~ 4 ~
Construisons un tableau de proportionnalité sachant que 25 m = 2 500 cm : Modèle réduit 10 1 Réalité 2 500 x 2 500 1 2 500 x = = = 250. Par conséquent, l échelle est 10 10 1. 250 ~ 5 ~