ENSEIRB - Année 1 Traitement du Signal Numérique : Pierre Hanna hanna@labri.fr Traitement du Signal Numérique p.1/27
Transformée de Fourier discrète Le signal numétrique est de durée finie transformée de Fourier discrète (DFT pour discrete Fourier Transform) : X( f ) = N 1 x[n]e j 2π f n Fe n= Traitement du Signal Numérique p.2/27
Échantillonnage et DFT signal échantillonné s à partir d un signal analogique s: s(t) = s(nt e )δ(t nt e ) n= Comme s(nt e ) = s(t) (t non nul pour t = nt e ), nous pouvons écrire: s(t) = s(t) n= = s(t)x(t) δ(t nt e ) Or, nous avons: x(t) = = 1 T δ(t nt e ) n= exp 2π jmf et m= Traitement du Signal Numérique p.3/27
Échantillonnage et DFT Il vient donc: s(t) = 1 T exp 2π jmfet s(t) m= Or, d après la propriété vue précédemment (décalage en fréquence), nous avons montré que: S(exp(2π j f t)x(t)) = X( f f ) Nous pouvons donc écrire: S( f ) = 1 T S( f mf e ) m= réplication périodique du spectre original S Traitement du Signal Numérique p.4/27
DFT La transformée de Fourier discrète s écrit : X(k) = N 1 x[n]e j 2πkn N n= signal réel spectre conjugué-symétrique fréquence maximale: fréquence de Nyquist F e /2 spectre discret (échantillonné, par pas de F e /N Hertz) spectre périodique (de période N) un facteur de normalisation N 2 est souvent employé dans l équation pour obtenir la valeur exacte des amplitudes du spectre. Traitement du Signal Numérique p.5/27
Principe de la STFT La transformée de Fourier impose une hypothèse de stationnarité du signal sur son contenu fréquentiel. Or le spectre du signal évolue parfois rapidement dans le temps. Il est donc nécessaire de réduire la durée du signal étudié, pour rendre cette hypothèse de stationnarité la plus valide possible. C est pourquoi les méthodes d analyse basées sur la transformée de Fourier considèrent des fenêtres temporelles successives, pouvant éventuellement se chevaucher. Les spectres associés sont dits à court terme. = Transformée de Fourier à court-terme ou Short-time Fourier Transform (STFT) Traitement du Signal Numérique p.6/27
Transformée de Fourier à court terme.4.3.2.1 amplitude.1.2.3.4.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1 temps (s) STFT : une fenêtre d analyse de courte durée est déplacée le long du signal. Les fenêtres peuvent éventuellement se chevaucher (ici recouvrement de 5%). Traitement du Signal Numérique p.7/27
STFT X[k] = 1 N N 1 x[n]w[n]e j 2π N nk n= où X[k] est l estimation du spectre à court terme. La fenêtre rectangulaire w qui définit la portion considérée de signal s écrit: w[n] = 1, n {;1;...N 1} w[n] =,sinon = compromis entre la résolution temporelle/résolution fréquentielle. Traitement du Signal Numérique p.8/27
Fenêtres d apodisation Le spectre continu associé à une sinusoïde pure est théoriquement une fonction de Dirac. Dans le cas discret, ce n est pas le cas. Explication : x = s w X = S W = le choix de la fenêtre multiplicative w est prépondérant Traitement du Signal Numérique p.9/27
Importance du fenêtrage... (s) t s multiplication par la fenêtre d analyse convolution par son spectre db 2 4 6 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 casiers compromis en précision: temps / fréquence, fréquence / amplitude Traitement du Signal Numérique p.1/27
Choix de la fenêtre d analyse nécessaire de définir une fenêtre dont les effets sont limités : le spectre des fenêtres est composé de lobes consécutifs qui peuvent donner lieu à plusieurs raies pour un signal composé d une seule sinusoïde pure. Le lobe principal est plus ou moins large : le maximum n est pas toujours le bon erreur sur la fréquence Le choix d une fenêtre dépend de l analyse à effectuer ainsi que de la nature du signal étudié. La fenêtre idéale n existe pas. Traitement du Signal Numérique p.11/27
Choix de la taille de la fenêtre Il est nécessaire de s assurer que les sinusoïdes composant le signal étudié sont séparé d une distance suffisamment important par rapport à la résolution fréquentielle imposée par la taille de la fenêtre d analyse : f k+1 f k F s N Traitement du Signal Numérique p.12/27
Zoom casiers de la transformée 5 1 15 Amplitude (db) 2 25 3 35 4 45 2 4 6 8 1 12 14 16 Fréquence (casiers) le pic principal et ses voisins... Traitement du Signal Numérique p.13/27
Zoom (suite) 1 1 Amplitude (db) 2 3 4 5 6 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Fréquence (casiers) Traitement du Signal Numérique p.14/27
Fenêtres 1.8 2.6.4 X(f)/dB 4 6.2 8 Ws/2 Ws 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins 1.8 2 amplitude.6.4 X(f)/dB 4 6.2 8 Ws/2 Ws temps/ech 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins Fenêtres rectangulaire et de Hann avec à gauche leur représentation temporelle et à droite leur spectre d amplitude associé. Traitement du Signal Numérique p.15/27
Fenêtres 1.8 2 amplitude.6.4 X(f)/dB 4 6.2 8 Ws/2 Ws temps/ech. 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins 1.8 2 amplitude.6.4 X(f)/dB 4 6.2 8 Ws/2 Ws temps/ech 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins Fenêtres de Blackman et de Bartlett avec à gauche leur représentation temporelle et à droite leur spectre d amplitude associé. Traitement du Signal Numérique p.16/27
Limites dues à la taille des fenêtres Technique du bourrage par zéro (zero-padding) : interpolation. coût plus important interpolation limitée Exemple : si deux fréquences sont trop proches (résolution fréquentielle), le zéro-padding n aidera pas toujours. Traitement du Signal Numérique p.17/27
Fenêtres deux fréquences sont trop proches : X(f)/dB X(f)/dB 1 1 2 3 4 5 6 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins 1 1 2 3 4 5 6 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 f/bins figure du haut : l interpolation par bourrage de zéro deux sinusoïdes de fréquences proches figure du bas : malgré le bourrage de zéro, ces deux fréquences ne peuvent être distinguées Traitement du Signal Numérique p.18/27
Fenêtre Bartlett n N 2, w 2n Bartlett,N [n] = N N 2 < n < N, w 2n Bartlett,N [n] = 2 N 1 1 1.8 2 3 amplitude.6 X(f)/dB 4 5.4 6 7.2 8 9 N/2 N N/2 N temps/ech. 1 5 5 f/bins Traitement du Signal Numérique p.19/27
Fenêtre Hann w Hann,N [n] =.5.5cos( 2πn N ) 1 1 1.8 2 3 amplitude.6 X(f)/dB 4 5.4 6 7.2 8 9 N/2 N N/2 N temps/ech. 1 5 5 f/bins Traitement du Signal Numérique p.2/27
Propriétés des fenêtres Le tableau ci-dessous présente quelques propriétés utiles pour le choix d une fenêtre d analyse. Fenêtre lobes secondaires / lobe principal largeur lobe Rectangulaire 13dB 2 bins Bartlett 26dB 4 bins Hann 31dB 4 bins Hamming 42dB 4 bins Blackman 58dB 6 bins Propriétés des différentes fenêtres d analyse. Traitement du Signal Numérique p.21/27
Choix des fenêtres Nous pouvons toutefois citer deux caractéristiques essentielles (qui sont données par la tableau) : La largeur du lobe principal permet de contrôler la précision fréquentielle. Plus il est étroit, meilleur est la résolution fréquentielle. Les lobes secondaires doivent pouvoir être négligés par rapport au lobe principal. Plus la différence d amplitude est importante, plus la différence sera notable entre le lobes. Il est important de noter qu il est nécessaire d effectuer un compromis entre ces deux propriétés, car il n existe pas de fenêtre idéale. Par ailleurs, il est important de remarquer que certaines fenêtres permettent de reconstruire un signal par chevauchement (rectangulaire, Bartlett, Hann,... ). Traitement du Signal Numérique p.22/27
Améliorations de l analyse de Fourier interpolation parabolique [Serra, Smith: 1986] forme du lobe principal de la fenêtre d analyse: parabole pic principal et ses voisins gauche et droit: curve fitting sommet de la parabole fréquence et amplitude du pic algorithme triangulaire [Keiler, Zölzer: 1999] fenêtre d analyse dont le spectre est connu: triangle curve fitting avec deux demi-droites vocodeur de phase [Portnoff: 1976, Allen: 1977, Moorer: 1978, etc.] utilisation de la relation entre fréquence et phase réassignement spectral [Auger, Flandrin: 1995] Fourier à l ordre 1 [Desainte-Catherine, Marchand: 2] Traitement du Signal Numérique p.23/27
Interpolation parabolique (1/2) a l = 2log 1 (S[m 1]) a c = 2log 1 (S[m]) a r = 2log 1 (S[m + 1]) d = 1 2 ˆm m + d a l a r a l 2a c + a r (d ] 12, 12 ) [ fréquence estimée: ˆf = ˆm F e N amplitude estimée: â db = a c (a l a r ) d 4 Traitement du Signal Numérique p.24/27
Interpolation parabolique (2/2) résultat parfait à condition d utiliser une fenêtre d analyse dont le spectre est une parabole... fenêtre gaussienne: w(t) = αe βt2 le spectre d une gaussienne est une gaussienne: W ( f ) = Ae B f 2 et en échelle logarithmique: log( W ( f ) ) = log(a) B f 2 degré 2 en f parabole problème: largeur de la gaussienne... Traitement du Signal Numérique p.25/27
Fenêtre d analyse: fenêtre de Hann fenêtre de Hann: w Hann [n] = 1 2 ( 1 cos ( )) 2πn N ( n < N) sa dérivée: w Hann[n] = π N sin ( 2πn N ) son spectre... Traitement du Signal Numérique p.26/27
Spectre de la fenêtre de Hann cette fenêtre peut s exprimer sous la forme: w[n] = 1 2 [ 1 cos ( 2πn N )] r[n] où r est la fenêtre rectangulaire de taille N, dont le spectre de Fourier est: N R( f ) = N 1 e i2π f n/f e = 1 e i2π f N/F e n= 1 e i2π f /F e = e iπ f (N 1)/Fe sin(π f F N e ) sin( π f F e ). (car e i2π f /Fe 1) en exprimant la fenêtre de Hann sous la forme: w[n] = 1 2 r[n] 1 4 ei2πn/n r[n] 1 4 e i2πn/n r[n] on obtient le spectre continu W: W( f ) = 1 2 R( f ) + 1 4 R ( f F e N ) + 14 R ( f + F e N ) Traitement du Signal Numérique p.27/27