Chapitre 6 Le levier La première étude du levier est attribuée à Archimède ( 287-212) qui aurait déclaré : «Donnez-moi un point d appui et je soulèverai le monde.» Le levier permet en e et de soulever une charge avec une force plus faible que le poids de cette charge (pourvu qu on ait un bon point d appui et un levier approprié aux charges appliquées). Plus simple que le palan (voir section 4.3), c est un des premiers mécanismes utilisés par l homme, bien avant l invention de la roue. L e et de levier est fondamental pour étudier l équilibre statique. Il nous permettra de présenter le moment de force, qui est à la base du levier. Figure 6.1 Principe du levier. 55
56 Physique des mécanismes 6.1 Le travail du levier La figure 6.2 illustre l e et de levier présenté à la figure 6.1 où une charge de poids mg est soulevée par une force F<mg. Puisqu il y a conservation de l énergie mécanique, le travail accompli pour soulever la masse doit être égal à l énergie potentielle que cette dernière acquiert Fh 1 = mgh 2. (6.1) La force F appliquée pour soulever la masse m est donc plus faible que le poids de cette masse (P = mg) selon le rapport h 2 /h 1 F = P h 2 h 1. (6.2) Les triangles formés par la course du levier de chaque côté du point d appui sont identiques. Les rapports hypoténuse sur hauteur sont par conséquent égaux l 1 h 1 = l 2 h 2 h 2 h 1 = l 2 l 1. (6.3) On peut donc écrire l équation (6.2) en utilisant le rapport des bras de levier F = P l 2 l 1. (6.4) 6.2 Le moment de force Si le levier est en équilibre à l horizontale sur son point d appui, les forces sont perpendiculaires à l axe des bras de levier (figure 6.3). La capacité des forces de faire basculer le levier est maximale. Par contre, si le levier n est plus à l horizontale, les composantes des forces qui pourront le faire basculer seront seulement les composantes perpendiculaires à l axe des bras de levier. La capacité d une force de faire pivoter un objet autour d un axe de rotation est appelée moment de force. Le moment de force est le produit de la composante perpendiculaire à l axe du bras de levier de la force par le bras de levier = F l = Flsin. (6.5)
Chapitre 6. Le levier 57 h 1 l 1 l 2 h 2 Figure 6.2 Travail du levier. F 1 F 2 θ 1 θ 2 l 1 l 2 Figure 6.3 Moment de force.
58 Physique des mécanismes 6.3 Le centre de gravité Le centre de gravité d un corps est l endroit où la somme de tous les moments de forces produits par la force gravitationnelle sur tous les éléments de masse du corps est nulle. En d autres mots, on peut considérer que la force gravitationnelle agissant sur un corps s applique en un seul point que l on nomme centre de gravité. Le corps peut donc être tenu en équilibre s il est appuyé sur un point passant dans l axe vertical du centre de gravité (figure 6.4). 6.4 L équilibre statique Un corps solide est en équilibre statique si deux conditions sont remplies : 1. Si la somme des forces agissant sur lui est nulle F 1 + F 2 + + F n =0 ÿ Fi =0. (6.6) 2. Si la somme des moments de forces agissant sur lui est nulle l1 F 1 + l 2 F 2 + + l n F n =0 ÿ i =0. (6.7) La figure 6.5 montre deux joueurs de basketball. Le joueur de gauche peut être immobile. La force normale du plancher est égale et opposée à son poids et la projection de son centre de gravité est à l intérieur de ses points d appui (polygone de sustentation). Il n y a donc pas de force résultante sur lui, ni de moment de force. Par contre le joueur de droite ne peut être immobile. La normale du plancher peut être égale et opposée à son poids, mais la projection de son centre de gravité est à l extérieur de son point d appui. Il existe donc un moment de force résultant. Si le joueur tentait de s immobiliser dans cette position, il basculerait et tomberait. Et cela peu importe la force qu il pourrait avoir dans le mollet!
Chapitre 6. Le levier 59 cg cg Figure 6.4 Un corps tient en équilibre sur un point de l axe vertical passant par son centre de gravité (cg). mg N 1 N 2 mg N F = N 2 1 + N τ = N L mgl 1 2 mg = 0 2 = 0 F = N mg = 0 τ = mgl > 0 Figure 6.5 Projection du centre de gravité à l intérieur et à l extérieur du polygone de sustentation.
60 Physique des mécanismes Exemple 6.1 Une enseigne est tenue en équilibre par un câble et une tige (figure 6.6). Calculez la tension dans le câble et les composantes horizontale et verticale de la force que la charnière exerce sur la tige. Solution Comme l enseigne est immobile, on pourrait prendre n importe quel point de l espace, calculer la somme des moments de forces autour de ce pivot fictif et la faire égaler à zéro. En choisissant un pivot là où s applique une des forces, on élimine un des moments de forces dans l équation résultante. En e et, puisqu une des forces s applique au pivot, son bras de levier est nul, donc son moment de force est nul.
Chapitre 6. Le levier 61 T 2,7 m T y θ T x x x F x F y 400 N l = 3 m L = 4,5 m Figure 6.6 L équilibre d une enseigne.
62 Physique des mécanismes 6.5 Exercices 6.1 Une tige est utilisée pour soulever une pierre de 1 kn. Quelle force F doit être appliquée à l extrémité de la tige pour la maintenir immobile (en supposant un frottement su sant pour empêcher la pierre de glisser)? 1,3 m 4,1 m F 6.2 Un bloc de 7 kg est suspendu par deux cordes, trouvez le module de la tension dans chaque corde. T 2 T 1 60 40 7 kg T 1 6.3 Un bloc de 3 kg est suspendu par deux cordes, dont l une est horizontale. Trouvez le module de la tension dans chaque corde. T 2 30 3 kg 6.4 Un funambule de 70 kg se tient au milieu d une corde de longueur 100 m. Si le centre de la corde s abaisse de 1,5 m, trouvez le module de la tension dans la corde.
Chapitre 6. Le levier 63 6.5 Une force de 100 N est appliquée à l extrémité d une clé de 40 cm. Quel est le moment de force qui en résulte par rapport au centre de l écrou? 40 cm 6.6 Deux personnes transportent un poids de 500 N à l aide d une planche de masse négligeable. Si le poids se trouve au tiers de la planche, déterminer la force que chacune doit fournir pour supporter le poids (négligez le poids de la planche). 6.7 Trouvez les forces F 1 et F 2 supportant la poutre. La répartition des poids sur la poutre est telle qu indiquée et le poids de la poutre est négligeable. 8000 N 5000 N F 4000 N 1 F 2 2 m 4 m 3 m 3 m 6.8 Une plongeuse d un poids de 600 N se tient à l extrémité d un tremplin d une longueur de 3 m et de masse négligeable. Le tremplin est fixé sur deux socles séparés de 0,75 m. Quels sont les grandeurs et les directions des forces exercées sur le tremplin (a) par le socle A et (b) par le socle B. (c) Quel socle est étiré et quel socle est comprimé? A 0,75 m B 3 m
64 Physique des mécanismes 6.9 Une tige homogène de 10 kg est tenue en équilibre par une charnière et une corde sans masse enroulée sur une poulie. La charnière et la poulie sont sans frottement. Quelle est la tension dans la corde? L L/4 3L/4 6.10 Un poids de 200 N est suspendu à un crochet fixé par deux vis. Si la force qui retient les vis dans le mur est la même pour les deux vis, déterminez le minimum que doit avoir cette force pour que le crochet tienne en place (négligez la masse du crochet.) 24 cm 6 cm 6 cm 6 cm 200 N