Gravitation
Force gravitationnelle Entre deux masses ponctuelles et séparées de la distance r et situées aux points M 1 et M 2 : F 2/1 F M r 1/2 1 M 2 u 1/2 u 1/2 vecteur unitaire dirigé de 1 vers 2 m F F 2/1 = F 1/2 1/2 = K 1 m G u r 2 1/2 = K 1 G M r 3 1 M 2 K G (cte de gravitation universelle) = 6,6742(10) 10-11 m 3 kg -1 s -2 (ou N kg -2 ) Cette loi s'applique également à des solides présentant des répartitions de masse sphériques (théorème de Gauss). Ces solides apparaissent alors comme des points sur lesquels seraient concentrées toutes leurs masses.
Champ de gravitation Entre deux masses ponctuelles et séparées de la distance r et situées aux points M 1 et P : F M 2/1 r F 1/2 1 u 1/2 F 1/2 = K G r 2 u 1/2 G P = K G r champ vectoriel «Propriété» de l'espace induite par la présence de la masse u 2 1/2 au point M 1 [G] = m s 2 F 1/ 2 = G P Si G est produit par une distribution de masse quelconque (non plus une masse ponctuelle), son expression diffère de celle qui est donnée ci-dessus, mais la relation ci-contre reste vraie Si la force de gravitation est la seule à s'exercer sur : Un champ de gravitation est localement «équivalent» à un champ d'accélération (Principe d'équivalence d'einstein) si la masse pesante est égale à la masse inerte (ce qui est vérifié à une très grande précision) (Principe d'équivalence de Newton) P F 1/ 2 = G P = m2 P G P = P
Définition : F r Poids Effet de la force de gravitation de la terre sur l'objet (en bleu). De plus, la terre tourne sur elle-même et se déplace autour du soleil. L'objet est donc accéléré si on l'examine par rapport à un référentiel inertiel astronomique (CM du système solaire + axes pointant sur des étoiles). F grav F r F grav = m P = F grav m On définit le poids comme étant la force opposée à celle développée par le ressort : P = F r r p R T P u r n effet max. à l'équateur = r p 2 n n est parallèle au plan équatorial terrestre P = K G m M T R T 2 R T 2 = 0,034 m s 2 Poids à la surface de la terre si l'on suppose que la terre u r m r p 2 n est sphérique et si l'on néglige son accélération dans son mouvement autour du soleil Cet effet est observable en mesurant la période d'un pendule en fonction de la latitude
champ de pesanteur terrestre P m =g Si l'on néglige l'effet de la rotation de la terre sur elle-même nous obtenons : g z=0 = K G M T R T 2 u r = g 0 u r car à la surface de la terre : r=r T g z = K G M T R T z 2 u r = g zu r g z = g 0 2 R T R T z g 0 1 2 z R T g baisse de 0,3 % à 10 km d'altitude à une altitude z R T P z u r D'autres subtilités : - aplatissement de la terre aux pôles : contribution pointant vers l'équateur, là où il y a plus de masse - accélération de la terre dans son mouvement autour du soleil, contribution constante sur toute la terre et dirigée vers le soleil - effet de la lune : phénomène des marées
Les marées Examinées à l'aide du principe d'équivalence : le champ de gravitation lunaire est équivalent à un champ d'accélération de la sorte : lune Terre Accélération dirigée vers le centre de la lune et dont le module est en 1/r 2. Vu par rapport au repère lié au centre de la terre : Conclusion : La couche océanique se déforme avec deux hautes mers et deux basses mers en 24 h 52 mn (compte tenu du mouvement de rotation de la lune autour de la terre) La sphère solide terrestre se déforme également : marées de terre, mais d'amplitudes plus faibles Terre Les marées lunaires freinent la rotation de la terre ce qui change la durée du jour par 0,0165 s tous les 1000 ans et provoque l'éloignement de la lune de 3 cm par an
Problème des deux corps (ex. Terre-Soleil) M 1 ( ) V 1 G r 2 M 2 ( ) r 1 V 2 r =M 1 M 2 =M 1 GG M 2 = G M 1 G M 2 = r 2 r 1 G M 1 G M 2 = 0 = G M 1 G M 1 M 1 M 2 = G M 1 G M 1 r GM 1 = r =r 1 GM 2 = r = r 2 r 1 = r 2 (1) Repère galiléen lié au Centre de Masse G : Tout le reste se fera dans le CM Somme des quantités de mouvement est nulle dans le repère GXYZ V 1 V 2 = 0 V 1 = V 2 (2) (2)/(1) V 1 r 1 = V 2 r 2 La plus grande masse a la plus petite vitesse et elle est la proche du CM. De plus les vitesses sont colinéaires donc contenues dans le même plan qui contient G par ailleurs.
Problème des deux corps : PFD dans GXYZ M 1 ( ) V 1 G u F 2/ 1 r 1 = r 2 F 1/ 2 V 2 M 2 ( ) d 2 GM 1 dt 2 = F 2/1 (3) d 2 GM 2 dt 2 = F 1/2 (4) 3/ 4/ d 2 G M 1 dt 2 d 2 G M 2 F = 2/1 F 1/2 dt 2 = d 2 M 1 GG M 2 dt 2 d 2 r u dt 2 = K G r 2 K G r 2 u = K G r 2 u (5) = d2 M 1 M 2 dt 2 = d2 ru dt 2 Masse réduite : = m 2 = 1 1 1 d 2 r u == K dt 2 G u r 2 Un point matériel portant une masse égale à µ, est soumise à la force gravitationnelle entre les deux masses
Problème des deux corps : Moment cinétique Revoir le cas de la force centrale : le problème à deux corps isolés en est un exemple TMC : d dt L tot/ G = m F ext /G = 0 car le système est isolé, L tot/g =Cte = r 1 V 1 r 2 V 2 L tot /G plan G, r 1, V 1 Le mouvement reste contenu dans le plan : G, r 1, V 1
r G Problème des deux corps : Résolution u en coordonnées polaires, G étant l'origine du référentiel : u r r 2 d 2 r u r m = K 1 dt 2 G u (5) r 2 r = d dt, r = r 2 d 2 r u r dt 2 = d 2 r 2 u r dt 2 5 d 2 r u r dt 2 = d 2 r dt r 2 2 u r 2 dr dt r d dt u = K G r 2 u r d'où, 2 dr dt r d =0 dt 2drr d =0 2 dr r d = 0 2lnrln = Cte r 2 = C Loi des aires (6) d 2 r dt 2 r 2 = K G r 2, r 4 2 = C 2 r 2 = C2 r 3, d 2 r 2 dt C 2 r K 3 G = 0 (7) r 2 r t 0 et t 0 sont les conditions initiales et fixent C
Problème des deux corps : Résolution changement de variable : r= 1 u dr = 1 u 2 du r 2 =C d = C r 2 dt=c u2 dt dt = d C u 2 dr dt = C du d d 2 r dt 2 = d C du d dt = C 2 u 2 d du d d = C 2 u 2 d 2 u d 2 7 d 2 r dt C 2 2 r K 3 G r 2 = 0 C 2 u 2 d 2 u d 2 C 2 u 3 K G u 2 =0 d 2 u d 2 u=k G C 2 (8) u = A cos K G solution : si =0 à t=t C 2 0
Problème des deux corps : Résolution r = 1 A cos K G C 2 = q 1 A qcos avec q= C 2 K G q est la valeur de r lorsque : = 2 6 Loi des aires r 2 = C A est fixé par les conditions initiales à t=t 0 : r 0=r 0 = 1 On pose finalement : r = q 1e cos - e = 0, c'est un cercle ; - 0 < e < 1, ellipse ; - e = 1, parabole - e > 1, hyperbole A. q=e 1 q A A = 1 r 0 1 q la trajectoire est une conique, et e est appelée l'excentricité e est donnée par les conditions initiales et par et Les ellipses et les hyperboles sont les trajectoires les plus courantes : ellipses : astres ou satellites captifs, hyperboles : astres ou sondes libres
Problème des deux corps : mouvement circulaire e = 0 r = r 0 = q = C 2 K G C = r 0 2 r 0 = q = r 4 0 2 K G K G = r 3 o 2 La vitesse angulaire est constante, donc le mouvement est circulaire et uniforme exemple : satellite artificiel autour de la terre en orbite circulaire M T r 0 2 =K G M T r 0 3
Problème des deux corps : mouvement elliptique a : demi grand axe b : demi petit axe c : distance focale r min r max =2 a a= q 1 e 2 loi des aires : T 2 a 3 = 0e1 F 2 a b O T 2 =4 2 a2 b 2 r = a c M r F 1 q 1e cos r min =a c r min = r max = exemple : terre soleil le soleil se trouve sur l'un des foyers de l'ellipse q 1e ( périhélie ) q 1 e ( aphélie ) r max =ac q=2 r max r min r max r min e= r max r min r max r min a=r max r min /2 et c=r max r min /2 c = e a F 1 M F 2 M =2a a 2 = b 2 c 2 b = a 1 e 2 S T =a b = C 2 T ab=c T 2 Aire balayée durant une période C 2 =42 a2 b 2 K G q = 4 2 a 2 a 2 1 e 2 K G q = 42 2 4 K G Pour le système solaire : m soleil a3 K G
Lois de Képler : système solaire 1 ère loi : la nature des trajectoires - Les orbites des planètes sont des ellipses dont l'un des foyers est occupé par le soleil. 2 ème loi : loi des aires En des temps égaux, les surfaces balayées par le rayon vecteur d'une planète sont égales 3 ème loi : loi harmonique - Les carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux cubes des demi grands axes des ellipses parcourues.
caractéristiques des planètes solaires Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton nbre de satellites 0 0 1 2 28 30 20 8 1 demi grand axe en millions de km 57,9 108,2 149,6 227,9 778,3 1429,4 2875 4504,4 5915,8 excentricité de l'orbite 0,2056 0,0068 0,0167 0,0934 0,0485 0,0556 0,0464 0,0095 0,2490 inclinaison de l'orbite sur l'ecliptique 7 O,005 3 O,3947 0 1 O,8497 1 O,3033 2 O,4889 0 O,7732 1 O,7700 17 O,1422 Période de révolution 88 j 224 j 365 j 1 an et 321 j 11 ans et 314 j 29 ans et 167 j 84 ans et 7 j 164 ans et 281 j 247 ans et 362 j Période de rotation propre 58 j 243 j 23,93 h 24,62 h 9,92 h 10,66 h 17,22 h 16,11 h 6,39 ans Diamètre équatorial (relatif à celui de la terre) 0,382 0,949 1,000 0,533 11,209 9,434 4,007 3,883 0,187 Masse (relative à celle de la terre) 0,055 0,815 1,000 0,107 317,800 95,160 14,540 17,150 0,002
Matière cachée dans les galaxies r V Mesure de la vitesse de rotation des étoiles dans une galaxie spirale En supposant que la masse est distribuée dans la galaxie selon une symétrie sphérique, on devrait observer une vitesse de rotation en accord avec la troisième loi de Kepler : T 2 a 3 = 2 4 K G M r où M r est la somme de la masse contenue dans une sphère de rayon r centrée sur le centre de la galaxie observée! donc la masse doit croître comme r! calculée à partir de la masse visible c-à-d les étoiles et la loi de Kepler En prenant une orbite circulaire (pour simplifier) : a=r r2 T = K M r G 2 4 2 r V r = 2r T = K G M r r Lorsque l'étoile observée est à l'extérieur du coeur de la galaxie : M r = cte V r 1 r